基于離散憶阻的二階超混沌系統(tǒng)及其動力學研究

張瑞笛，袁 方，李玉霞

(山東科技大學 電氣與自動化工程學院，山東 青島 266590)

不同于傳統(tǒng)的電阻、電容、電感等基礎(chǔ)電路元件，憶阻器本質(zhì)上是非線性電子器件。憶阻器的提出和制備引起學術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注[1]，引發(fā)了一系列基于憶阻性質(zhì)的新一代智能電腦[2]和類腦機器[3-4]的討論與探索。研究人員發(fā)現(xiàn)，當憶阻器應(yīng)用于混沌系統(tǒng)時，能夠產(chǎn)生豐富復(fù)雜的動力學行為，這是由于憶阻器存在內(nèi)部狀態(tài)變量，使得基于憶阻器的動力系統(tǒng)行為除受系統(tǒng)參數(shù)控制外，還與憶阻器內(nèi)部狀態(tài)變量有關(guān)，使憶阻混沌系統(tǒng)對初始值更為敏感。

對憶阻混沌系統(tǒng)豐富而復(fù)雜動力學行為的研究，有利于理解憶阻器在電路系統(tǒng)中的動力學行為，并構(gòu)造出新的憶阻混沌系統(tǒng)[5]。對于憶阻器應(yīng)用于混沌系統(tǒng)的探索取得了豐碩的成果。圍繞連續(xù)憶阻器，文獻[6]利用線性二次型問題的最優(yōu)控制理論，實現(xiàn)了蔡氏憶阻混沌系統(tǒng)的同步方案，并利用數(shù)值仿真驗證了方法的有效性；文獻[7]設(shè)計了一個基于憶阻器和憶感器的混沌系統(tǒng)并分析了系統(tǒng)動力學行為；文獻[8-9]研究了其構(gòu)建的憶阻混沌系統(tǒng)中的初始位移調(diào)控行為；文獻[10]基于磁控憶阻仿真器和有源荷控憶阻仿真器，設(shè)計了一個新的五階混沌電路系統(tǒng)，并驗證了系統(tǒng)數(shù)值分析的正確性。Chua等[11]將憶阻器的概念擴展到記憶系統(tǒng)(或廣義憶阻器)的動力學系統(tǒng)中，將憶阻器視為記憶系統(tǒng)的一種特殊情況。

通常，系統(tǒng)可以被劃分為連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)，據(jù)此對憶阻系統(tǒng)也做出類似劃分。離散憶阻系統(tǒng)不需要復(fù)雜模擬器件進行調(diào)試，可以直接在數(shù)字平臺上實現(xiàn)，并可用于描述離散系統(tǒng)的動力學特性。一些研究人員對離散憶阻系統(tǒng)進行了研究，如He等[12]提出分數(shù)階離散憶阻系統(tǒng)模型并構(gòu)建正弦映射，觀察其多穩(wěn)定性；通過引入離散憶阻系統(tǒng)的方法改善原Hénon映射的性能[13]；文獻[14]提出一種基于離散憶阻的高維混沌系統(tǒng)，仿真表明離散憶阻不僅擴大了原系統(tǒng)的超混沌區(qū)域，而且提高了系統(tǒng)的復(fù)雜性。Bao等[15]提出一個具有兩種特殊情況的代數(shù)二階超混沌系統(tǒng)，實現(xiàn)了離散時間映射中的初始位移調(diào)控共存吸引子，并基于單片機硬件平臺實現(xiàn)了該系統(tǒng)；文獻[16]基于采樣開關(guān)的憶阻器-電容器電路推導得到一種二階離散映射模型，并通過相圖、迭代序列和吸引盆證實了其復(fù)雜的動力學行為。文獻[17-19]提出幾種新的二階離散映射構(gòu)建思路，并分析了多種復(fù)雜動力學行為，如超混沌、初始位移調(diào)控等。

一般來說，與混沌系統(tǒng)相比，超混沌系統(tǒng)至少有兩個正李雅普諾夫指數(shù)和更復(fù)雜的動力學特性。為了實現(xiàn)超混沌，一個連續(xù)系統(tǒng)至少需要四維空間，而一個離散系統(tǒng)最少只需要二維[19]，這大大降低了系統(tǒng)的復(fù)雜度。同時，離散超混沌系統(tǒng)的模型是由較微分方程更為簡單的代數(shù)方程構(gòu)成的，具有更高的計算效率和較低的工業(yè)成本。本研究提出的二階離散憶阻系統(tǒng)在一定參數(shù)條件下可以表現(xiàn)出超混沌的動力學行為，說明該系統(tǒng)比一般混沌系統(tǒng)具有更加復(fù)雜的動力學特性。從安全角度考慮，超混沌系統(tǒng)比混沌系統(tǒng)具有更復(fù)雜的相空間，因此用其設(shè)計加密系統(tǒng)能夠獲得比混沌系統(tǒng)更高的安全性。初始位移相關(guān)的多穩(wěn)定性通常是混沌系統(tǒng)的固有性質(zhì)，如果系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號在振幅和頻率上可控或可改變，那么系統(tǒng)在安全通信中具有潛在的價值。

與傳統(tǒng)的連續(xù)憶阻器相比，離散憶阻系統(tǒng)更易于在離散域系統(tǒng)和數(shù)字電路中得到應(yīng)用[13]。研究離散憶阻系統(tǒng)的混沌映射及其動力學特性、利用離散憶阻系統(tǒng)的記憶性和非線性特性來進一步提高經(jīng)典離散混沌系統(tǒng)的性能具有重要的意義。目前，對于離散憶阻系統(tǒng)及離散憶阻混沌系統(tǒng)的研究較少，尤其是對由離散憶阻構(gòu)成的混沌系統(tǒng)的隱藏超混沌吸引子研究鮮有報道。本研究設(shè)計了一個基于離散正弦憶阻的二階離散憶阻超混沌系統(tǒng)，利用數(shù)值仿真方法研究其豐富的動力學行為，并基于DSP平臺分析系統(tǒng)硬件實現(xiàn)的可行性。

1 離散憶阻系統(tǒng)數(shù)學模型

根據(jù)憶阻器的定義，一個理想的離散荷控憶阻系統(tǒng)數(shù)學模型描述[17]為：

(1)

式中：vn、in和qn分別為第n次迭代時v(t)、i(t)和q(t)的采樣值；qn+1為第n+1次迭代時q(t)的采樣值；M(qn)代表憶阻值M(q)在第n次迭代時的采樣值；c表示一次迭代的步長，常量。本研究使用離散正弦憶阻系統(tǒng)，數(shù)學表達形式為：

(2)

令c=0.004 8，設(shè)置初始條件q0=0，將離散電流源表示為in=Asin(2πfn)，其中：A表示電流源的振幅，f表示電流源的頻率。通過MATLAB數(shù)值仿真模擬，可以獲得離散憶阻系統(tǒng)模型在V-I平面的特性曲線，即離散憶阻的捏滯回線。設(shè)置激勵振幅A=1，在不同激勵頻率下離散憶阻系統(tǒng)的V-I特性曲線如圖1(a)所示。設(shè)置激勵頻率f=2，在不同激勵振幅下離散憶阻系統(tǒng)的V-I特性曲線如圖1(b)所示。很明顯，離散正弦憶阻系統(tǒng)的捏滯回線取決于激勵信號的頻率f和振幅A，較小的電流信號振幅或較高的頻率都會使捏滯回線更緊縮。

圖1 不同激勵時離散憶阻系統(tǒng)的捏滯回線

在雙極性周期性離散電信號的作用下，離散化處理后的離散正弦憶阻系統(tǒng)在V-I平面的特性曲線為一個過原點的捏滯回線，當離散電信號頻率增大時，捏滯回線的波瓣面積減小，當頻率無窮大時，捏滯回線將收縮為一條單值函數(shù)[20]。由此可知，使用的離散正弦憶阻系統(tǒng)保持憶阻器的特性。

2 二階離散憶阻超混沌系統(tǒng)

圖2 二階離散憶阻超混沌系統(tǒng)構(gòu)造示意圖

基于提出的離散正弦憶阻模型，構(gòu)建一個二階離散憶阻超混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)構(gòu)造如圖2所示。圖2中，a表示離散憶阻與離散系統(tǒng)之間的耦合強度，b為一個控制參數(shù)，DM(discrete memristor)為離散憶阻系統(tǒng)。利用該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，可以推導出基于離散正弦憶阻的離散憶阻混沌系統(tǒng)的表達式

(3)

式中：n為自然數(shù)，xn和yn是在第n次取樣時的兩個狀態(tài)值，c為離散憶阻模型中的常量。

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性可用其平衡點來描述和分析。所謂離散系統(tǒng)的平衡點，就是當其迭代后仍回到自身的一個點。設(shè)式(3)中二階離散系統(tǒng)的平衡點為S=(x*,y*)，可以通過式(4)求得：

豐富的勞動力資源和相對低廉的勞動力價格是青海發(fā)展的一項優(yōu)勢條件。青海是一個民族地區(qū)，包容開放多元的文化特征，有利于吸引國際人才，開展國際合作，為青海特色優(yōu)勢企業(yè)的發(fā)展提供強大的人才支撐。

(4)

由于式(4)所示的方程組無解，可知所提出的離散憶阻混沌系統(tǒng)(式(3))不存在平衡點。由于系統(tǒng)存在吸引子，且該吸引子的吸引域中不含平衡點，故該吸引子為隱藏吸引子，其動力學行為是隱藏動力學行為。

設(shè)置系統(tǒng)的初始狀態(tài)(0.1, π/2)，設(shè)置參數(shù)a=1.75，c=0.004 8。當b=0.264時，系統(tǒng)的兩個李雅普諾夫指數(shù)分別為0.143和-0.151 3，說明此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，其隱藏混沌吸引子如圖3(a)所示。特別地，當改變參數(shù)b的取值，令b=0.082，系統(tǒng)的兩個李雅普諾夫指數(shù)分別為0.155和0.037 6，即出現(xiàn)了兩個正李雅普諾夫指數(shù)，說明此時系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，所提出的基于離散正弦憶阻的系統(tǒng)是超混沌的，其隱藏超混沌吸引子如圖3(b)所示。通過系統(tǒng)相圖的離散點圖可以看出，超混沌行為比混沌行為更為復(fù)雜。

圖3 系統(tǒng)的隱藏吸引子

3 系統(tǒng)動力學分析

3.1 基于參數(shù)的分岔行為

為了研究系統(tǒng)的分岔行為，以系統(tǒng)控制參數(shù)b為可變的分岔參數(shù)，b在區(qū)間[-0.5,0.5]內(nèi)變化。設(shè)置系統(tǒng)的初始狀態(tài)為固定值(0.1，π/2)，設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)a=1.75，c=0.004 8。隨參數(shù)b的變化，系統(tǒng)(3)的李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)隨參數(shù)b的李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖

由圖4看出，系統(tǒng)的兩個李雅普諾夫指數(shù)在區(qū)間[-0.5,0.5]內(nèi)存在大于0的情況，表明系統(tǒng)在該區(qū)間內(nèi)可以產(chǎn)生混沌；李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖所反映的系統(tǒng)的穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域是一致的，并且在分岔圖中能夠觀察到明顯的周期窗口。隨著參數(shù)b的增加，系統(tǒng)先從反向倍周期分岔道路退出混沌，其中可以明顯地看到分岔圖中的混沌、多周期以及周期窗口。當b=-0.12時，系統(tǒng)由多周期突然變化為混沌。隨著b繼續(xù)增加，當b=-0.106時，系統(tǒng)的兩個李雅普諾夫指數(shù)均大于0，表明系統(tǒng)處于超混沌區(qū)，分岔圖中混沌區(qū)域與超混沌區(qū)域點的密集情況，說明超混沌比混沌的行為更為復(fù)雜。當b=0.137時，系統(tǒng)由混沌突然退化為多周期。隨著b繼續(xù)增加，系統(tǒng)由多周期經(jīng)過倍周期分岔道路重新進入混沌，在其混沌區(qū)也可以觀察到明顯的周期窗口。當b=0.277 3時，系統(tǒng)由混沌突變?yōu)橹芷诙?/p>

參數(shù)b選取幾個典型的取值，所對應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)和時域圖分別如表1和圖5所示。

表1 基于參數(shù)b的系統(tǒng)數(shù)據(jù)

圖5 系統(tǒng)時域圖

3.2 初始位移調(diào)控行為和多穩(wěn)定性

初始位移調(diào)控行為意味著一個系統(tǒng)可以通過偏移增強再現(xiàn)它的吸引子，此類系統(tǒng)通常具有一個周期函數(shù)，當其變量發(fā)生偏移增強時，狀態(tài)方程有可能會繼續(xù)保持其形式。由于式(3)所描述的系統(tǒng)存在周期函數(shù)sin()，因此系統(tǒng)可能存在初始位移調(diào)控行為，簡單分析如下。

令y0=Y0+2kπ，k∈N，式(3)變?yōu)椋?/p>

(5)

(6)

可以發(fā)現(xiàn)，式(3)與式(6)所描述的系統(tǒng)具有相同的形式，說明兩個系統(tǒng)具有相似的軌跡，只是在y維度上有不同的偏移量2kπ，即該數(shù)學模型所描述的系統(tǒng)圍繞y維度的2kπ循環(huán)，循環(huán)特性可以由系統(tǒng)數(shù)學模型的不變性推導出來。由系統(tǒng)模型(3)到系統(tǒng)模型(6)的轉(zhuǎn)換結(jié)果可以得到，所提出的系統(tǒng)具有初始位移調(diào)控行為，其初始位移調(diào)控周期為2π。

固定系統(tǒng)參數(shù)a=1.75，c=0.004 8不變，設(shè)置初始條件(x0,y0)=(1,kπ)，k∈N。當控制參數(shù)b在[0.1,0.5]范圍內(nèi)變化時，繪制對應(yīng)不同初值的狀態(tài)變量yn的分岔圖和吸引子相圖。當k為奇數(shù)時，對應(yīng)的分岔圖如圖6(a)所示，固定參數(shù)b=0.21，對應(yīng)的吸引子相圖如圖6(b)所示；當k為偶數(shù)時，對應(yīng)的分岔圖如圖6(c)所示，固定參數(shù)b=0.21，對應(yīng)的吸引子相圖如圖6(d)所示。不難觀察到，k為奇數(shù)時不同初始值的分岔圖具有相似的結(jié)構(gòu)，k為偶數(shù)時不同初始值的分岔圖也具有相似的結(jié)構(gòu)，但這兩種分岔結(jié)構(gòu)之間存在著較大差別。

圖6 初始位移調(diào)控分岔圖及吸引子

圖6表明，在該混沌系統(tǒng)中，初始位移偏置引起的初始位移調(diào)控行為是由周期為2π的初始條件y0沿y軸切換的，特別是當k趨于無窮時，會出現(xiàn)無窮多個初始位移偏置引起的分岔行為和無窮多個隱藏初始位移調(diào)控吸引子。

系統(tǒng)的初始位移調(diào)控行為也表明系統(tǒng)具有多穩(wěn)定性。如果一個動力系統(tǒng)在不同的初始條件下能產(chǎn)生多種吸引子，那么該系統(tǒng)具有多穩(wěn)定性，這在非線性系統(tǒng)中普遍存在[21]。根據(jù)共存吸引子的結(jié)構(gòu)，多穩(wěn)定性可分為同質(zhì)多穩(wěn)定性和異質(zhì)多穩(wěn)定性。同質(zhì)多穩(wěn)定性是指共存的吸引子具有相同的形狀，但具有不同的振幅、頻率或偏移量；異質(zhì)多穩(wěn)定性通常是指具有不同形狀或性質(zhì)的共存吸引子。

由圖6可知，該系統(tǒng)具有同質(zhì)多穩(wěn)定性和異質(zhì)多穩(wěn)定性。如圖6(b)所示，由系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)可知，當初始值為(1, π)和(1, 5π)時，隱藏吸引子為周期隱藏吸引子；當初始值為(1, 3π)時，隱藏吸引子為混沌隱藏吸引子，即共存隱藏吸引子具有不同的性質(zhì)，表明系統(tǒng)具有異質(zhì)多穩(wěn)定性。同樣地，如圖6(d)所示，對于不同的初始值(1, 0)、(1, 2π)、(1, 4π)，隱藏吸引子均為混沌吸引子，即共存隱藏吸引子具有相同的形狀和性質(zhì)，但其在y軸的偏移量不同，表明系統(tǒng)具有同質(zhì)多穩(wěn)定性。

4 硬件實驗驗證

數(shù)字信號處理器(DSP)是一種專門處理數(shù)字信號的微型處理器芯片，可以適應(yīng)各種算法，并且能夠?qū)崿F(xiàn)對數(shù)字信號的實時、快速處理。本節(jié)利用DSP微控制器實現(xiàn)離散正弦憶阻系統(tǒng)和離散正弦憶阻超混沌系統(tǒng)，通過數(shù)字化實現(xiàn)驗證數(shù)值仿真的正確性。選用的DSP評估板型號為ICETEK-VC5509-AE，主處理器為16位的TMS320VC5509A型DSP芯片，示波器型號為DSO-X3034A。將經(jīng)過DSP芯片處理后的信號通過D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換為模擬信號，并將結(jié)果輸出到示波器上。

基于離散正弦憶阻系統(tǒng)的數(shù)學模型(式(2))，在CCS環(huán)境中編寫程序并將其配置到DSP開發(fā)板中，設(shè)置參數(shù)值與圖1條件相同，對于不同的激勵頻率f和激勵振幅A，示波器得到的離散憶阻系統(tǒng)的捏滯回線分別如圖7(a)、7(b)所示，實驗結(jié)果與圖1中的數(shù)值模擬結(jié)果一致，說明離散正弦憶阻系統(tǒng)可以通過數(shù)字化實現(xiàn)。

圖7 基于DSP測試平臺的離散憶阻系統(tǒng)硬件設(shè)備及其示波器波形圖

同樣地，由于所提出的憶阻超混沌系統(tǒng)是離散系統(tǒng)，自然可以通過數(shù)字平臺來實現(xiàn)。根據(jù)系統(tǒng)(3)的數(shù)學模型，設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)a=1.75，c=0.004 8，初始狀態(tài)為(0.1, 1.570 795)，可變參數(shù)b取表1中的幾個代表值，在CCS環(huán)境中編寫程序并將其配置到DSP開發(fā)板中，然后通過示波器觀察所得到的混沌序列圖。為適應(yīng)8位D/A轉(zhuǎn)換器，將這些序列轉(zhuǎn)換和放大到(0, 255)的范圍，最終的實驗裝置硬件設(shè)備圖和波形結(jié)果如圖8所示。由圖8可見，DSP實現(xiàn)的混沌與周期結(jié)果與數(shù)值仿真吻合，證明該系統(tǒng)硬件實現(xiàn)是可行的，為后續(xù)應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

5 結(jié)論

本研究基于離散正弦憶阻的數(shù)學模型，提出一個新的無平衡點的二階離散憶阻超混沌系統(tǒng)，借助相軌圖、時域波形圖、李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖，驗證該系統(tǒng)具有超混沌、初始位移調(diào)控、同質(zhì)多穩(wěn)定性與異質(zhì)多穩(wěn)定性并存等復(fù)雜隱藏動力學行為。在DSP平臺上實現(xiàn)了離散正弦憶阻系統(tǒng)以及二階離散憶阻超混沌系統(tǒng)，通過示波器的波形圖驗證了系統(tǒng)的硬件實現(xiàn)可行性。該系統(tǒng)復(fù)雜的動力學特性豐富了對離散憶阻混沌系統(tǒng)的研究，為后續(xù)基于離散憶阻的混沌系統(tǒng)研究提供了一定的理論參考。

圖8 基于DSP平臺的硬件設(shè)備及示波器波形圖