基于“情境—問題—思維”視角的數(shù)學(xué)深度教學(xué)

胡連成 (江蘇省徐州市豐縣華山鎮(zhèn)華山初級(jí)中學(xué) 221744)

我國(guó)近40年基礎(chǔ)教育的發(fā)展，體現(xiàn)了以“雙基”為代表重視學(xué)科價(jià)值到以培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”為標(biāo)志、強(qiáng)調(diào)育人價(jià)值的發(fā)展歷程，注重促進(jìn)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展、終身受益的必備能力和關(guān)鍵品格的養(yǎng)成．具體到數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)，體現(xiàn)為從注重知識(shí)、方法層面的教學(xué)提升到學(xué)科思維層面的深度教學(xué)，重視在問題解決中發(fā)展批判性思維、反思性思維和創(chuàng)造性思維等高階思維，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)品格養(yǎng)成和文化浸潤(rùn)，實(shí)現(xiàn)立德樹人的教育目的．

數(shù)學(xué)深度教學(xué)強(qiáng)調(diào)從“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”的教學(xué)轉(zhuǎn)向“通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”的教學(xué)，數(shù)學(xué)教師的主要責(zé)任就是“以深刻的思想啟迪學(xué)生”．深度教學(xué)追求的是學(xué)生全身心深度參與學(xué)習(xí)和主動(dòng)深度思考問題，以實(shí)現(xiàn)從具體的學(xué)科知識(shí)教學(xué)到學(xué)科思維層面的教學(xué)，并由具體的數(shù)學(xué)方法和策略轉(zhuǎn)向一般性思維策略的學(xué)習(xí)，使學(xué)生通過合作互動(dòng)學(xué)習(xí)，真正成為學(xué)習(xí)的主人．[1]

1 “情境—問題—思維”之?dāng)?shù)學(xué)深度教學(xué)三部曲

數(shù)學(xué)深度教學(xué)應(yīng)始于情境問題的引領(lǐng)，教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)指向數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)內(nèi)部動(dòng)機(jī)．?dāng)?shù)學(xué)深度教學(xué)應(yīng)基于問題鏈的深度探索，教學(xué)中要注重學(xué)生問題意識(shí)的培養(yǎng)，在核心問題的引領(lǐng)下生成系列問題鏈，實(shí)現(xiàn)對(duì)問題主動(dòng)深度探索．?dāng)?shù)學(xué)深度教學(xué)應(yīng)成于理性思維的培養(yǎng)，教學(xué)中注重學(xué)生思維內(nèi)化和外顯的充分實(shí)現(xiàn)，在思辨中培養(yǎng)理性思維，在思維發(fā)展中實(shí)現(xiàn)自覺學(xué)習(xí)．本文以蘇科版教科書八年級(jí)上冊(cè)“3.1勾股定理”第1課時(shí)的教學(xué)片斷為例，加以闡述．

1.1 深度教學(xué)應(yīng)始于情境問題的引領(lǐng)

問題情境是一個(gè)有多重含義的概念，由于學(xué)者對(duì)問題情境的關(guān)注視角不同，對(duì)問題情境的認(rèn)識(shí)可分為“情境指向”和“問題指向”兩種視角[2]，前者關(guān)注基于情境產(chǎn)生的一系列問題，后者關(guān)注情境引發(fā)的心理困境和探究氛圍．本文認(rèn)為，問題情境是指創(chuàng)設(shè)與教學(xué)目的、內(nèi)容體系及學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)知心理相關(guān)聯(lián)，能引發(fā)認(rèn)知沖突，形成核心問題，促進(jìn)主動(dòng)思考的學(xué)習(xí)探究氛圍．把學(xué)生置身于研究新的未知問題情境中，學(xué)生會(huì)感到此問題既熟悉但又不能單純利用已有知識(shí)和方法去解決，從而產(chǎn)生“悱憤”之感，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)探究．

數(shù)學(xué)深度教學(xué)注重通過營(yíng)造問題情境，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)主動(dòng)探索的欲望，實(shí)現(xiàn)以自我提升為目的的認(rèn)知驅(qū)動(dòng)．情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)基于學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知心理，關(guān)注學(xué)習(xí)“最近發(fā)展區(qū)”，把控好“已知區(qū)”和“未知區(qū)”合理間距，引發(fā)適度認(rèn)知沖突，形成核心問題．情境設(shè)置是否合適，取決于情境所生成的問題是否能夠激發(fā)學(xué)習(xí)內(nèi)部動(dòng)機(jī)、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)、引領(lǐng)思維發(fā)展．

蘇科版教科書八年級(jí)上冊(cè)第3章《勾股定理》分為三部分，分別是“3.1 勾股定理”“3.2 勾股定理的逆定理”“3.3 勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用”．“3.1 勾股定理”共有2課時(shí)，其內(nèi)容分別為通過數(shù)學(xué)活動(dòng)探索勾股定理和掌握勾股定理的經(jīng)典證明．本課時(shí)是本章第一課，起著統(tǒng)領(lǐng)全章教學(xué)的作用，教學(xué)中要注重知識(shí)的內(nèi)部關(guān)聯(lián)性和數(shù)學(xué)思想方法的一致性，以促進(jìn)學(xué)生完成知識(shí)、方法的意義建構(gòu)．

·教學(xué)片斷1 創(chuàng)設(shè)情境引發(fā)思考

問題1這是1955年希臘發(fā)行的一枚郵票(圖1)，以紀(jì)念兩千多年前古希臘著名數(shù)學(xué)學(xué)派——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派．請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

圖1

生1：圖案中有三個(gè)正方形和一個(gè)三角形．

生2：三個(gè)正方形分別包含了9個(gè)、16個(gè)和25個(gè)小正方形．

生3：如果把小正方形邊長(zhǎng)看作單位1，圖案中3個(gè)正方形的面積分別為9,16,25．可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小正方形的面積和等于大正方形的面積，說(shuō)明直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．

師：你確認(rèn)是直角三角形嗎？

生3：我用量角器進(jìn)行了度量，應(yīng)該是直角三角形．

生4：度量存在誤差，并不能說(shuō)明它一定是直角三角形．

師：如果不能確認(rèn)是直角三角形，你該如何思考問題？

生4：應(yīng)該按照直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形分類討論哪類三角形具備“兩邊的平方和等于第三邊的平方”.

師：從哪類三角形開始思考？

生4：從特殊三角形、也就是直角三角形入手．

教學(xué)分析問題是數(shù)學(xué)的心臟，如何讓學(xué)生在數(shù)學(xué)情境中自然地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，是我們教學(xué)中的首要任務(wù)．我們要從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)合適情境，引發(fā)學(xué)生發(fā)散式思考，在學(xué)生觀察、猜想、分析和比較中自然生成問題，教師的作用體現(xiàn)在及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在提出的眾多問題中抽取出核心問題，引領(lǐng)后續(xù)探究．本案例是學(xué)生在觀察思考中生成核心問題：“哪類三角形兩邊平方和等于第三邊的平方？”

數(shù)學(xué)深度教學(xué)要善于通過情境謀勢(shì)，形成認(rèn)知沖突，基于學(xué)生的內(nèi)在需求，生成具有開放度的核心問題，以引發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維和深度思考．

1.2 深度教學(xué)應(yīng)基于問題鏈的深度探索

數(shù)學(xué)深度教學(xué)要在核心問題的引領(lǐng)下，通過一般化、特殊化、類比、逆向等思維方式形成問題鏈，以引發(fā)學(xué)生思維碰撞，將思維引向深入．問題鏈的設(shè)計(jì)與實(shí)施需要把握三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：以數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)聯(lián)為邏輯起點(diǎn)、以數(shù)學(xué)思維方式為方法指導(dǎo)、以教學(xué)功能任務(wù)為基本定位．在實(shí)踐教學(xué)中，常常是多種數(shù)學(xué)思維共同指導(dǎo)下形成具有一定開放性的問題鏈．[3]

基于問題鏈的深度教學(xué)需要正確處理問題預(yù)設(shè)與生成關(guān)系．預(yù)設(shè)是課堂教學(xué)的基本特性，是教師課前基于對(duì)教材整體把握和學(xué)情了解，而對(duì)教學(xué)目的、任務(wù)、過程形成清晰、理性的靜態(tài)思考和規(guī)劃，把一節(jié)課所蘊(yùn)含的知識(shí)、方法和思想用問題的形式加以呈現(xiàn)的過程．生成是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要特點(diǎn)，是學(xué)生基于自身理解基礎(chǔ)上形成新問題、新觀點(diǎn)、新思路，是一種動(dòng)態(tài)發(fā)展的過程．對(duì)于如何處理二者的關(guān)系，要認(rèn)識(shí)到預(yù)設(shè)的目的不是讓教師的知識(shí)和技巧出彩，而是要讓學(xué)生的思維發(fā)光，要讓預(yù)設(shè)與生成共同指向?qū)W生的思維發(fā)展．教學(xué)中應(yīng)通過情境引發(fā)認(rèn)知沖突，使學(xué)生在主動(dòng)思考中自然生成問題．教師在這一過程中因勢(shì)利導(dǎo)，通過設(shè)問、追問和反問，使預(yù)設(shè)與生成渾然天成，通過對(duì)問題“靜靜地思考”與“充分地表達(dá)”，促進(jìn)學(xué)生對(duì)問題的深度探索．

·教學(xué)片斷2 問題變式促進(jìn)深度思考

基于核心問題“哪類三角形兩邊平方和等于第三邊的平方？”的引領(lǐng)，遵循一般化和特殊化等思維方式進(jìn)行如下問題變式．

問題1你能計(jì)算圖2中以直角三角形三邊構(gòu)造的三個(gè)正方形的面積嗎？

圖2 圖3

學(xué)生表示不會(huì)計(jì)算以AB為邊的正方形面積．

問題2如圖3，如果添加了網(wǎng)格線，你能計(jì)算圖中三個(gè)正方形的面積嗎？

學(xué)生對(duì)于“斜正方形”的面積計(jì)算存在困難，引導(dǎo)其類比另兩個(gè)正方形面積計(jì)算方法，利用“割”或“補(bǔ)”的方法“化斜歸正”，求其面積．

問題3請(qǐng)同學(xué)們?cè)诜礁窦埳先我猱嬕粋€(gè)格點(diǎn)直角三角形，并分別以這個(gè)三角形的三邊向外作正方形，求其面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生通過畫出不同的直角三角形并計(jì)算相關(guān)面積，進(jìn)一步體會(huì)三個(gè)正方形面積之間的等量關(guān)系．教師再借助幾何畫板演示直角三角形的形狀變化時(shí)，正方形面積之間的數(shù)量關(guān)系沒有變化，進(jìn)一步體會(huì)“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”．

問題4通過以上過程，是否可以說(shuō)明直角三角形一定具有這種性質(zhì)？

多數(shù)學(xué)生認(rèn)為可以說(shuō)明，部分學(xué)生提出：雖然較多的直角三角形具備了這種性質(zhì)，但不能說(shuō)明所有的直角三角形都具備這種性質(zhì)．也就是說(shuō)，還缺乏一般化的證明．于是引出了問題5的思考．

問題5如果直角三角形三邊分別為a,b,c，能否證明我們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論？請(qǐng)結(jié)合圖4加以說(shuō)明．

圖4

類比“圖3”的方法，通過“割”或“補(bǔ)”的“化斜歸正”方法可以證明結(jié)論成立．通過一般化證明說(shuō)明直角三角形具有性質(zhì)“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”．

問題6銳角三角形和鈍角三角形是否也具備這樣的性質(zhì)？

通過對(duì)上述一系列問題的思考，利用一般化證明說(shuō)明了直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，通過舉反例的方法說(shuō)明銳角三角形和鈍角三角形不具備這種性質(zhì)．在這種思維碰撞和反思中，學(xué)生主動(dòng)提出了問題7，這也是本節(jié)課學(xué)生思維發(fā)展的亮點(diǎn)之體現(xiàn)．

問題7如果一個(gè)三角形兩邊平方和等于第三邊的平方，這個(gè)三角形一定是直角三角形嗎？

本問題是從結(jié)論的反面思考，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)逆向思維運(yùn)用．由于它是“3.2 勾股定理的逆定理”的探索內(nèi)容，故本課沒有展開討論，而是讓學(xué)生課后思考、嘗試解決．一節(jié)課從問題開始，又以新問題結(jié)束，在問題探索中知識(shí)得以掌握、問題意識(shí)得以強(qiáng)化、理性思維得以發(fā)展，較好地體現(xiàn)了問題鏈的有效驅(qū)動(dòng)作用．

教學(xué)分析在核心問題“哪類三角形兩邊平方和等于第三邊的平方？”引領(lǐng)下，對(duì)三角形分類討論.在對(duì)直角三角形的思考中，遵循從特殊到一般的思維順序進(jìn)行探索，從借助網(wǎng)格線計(jì)算相關(guān)面積，到計(jì)算學(xué)生畫出的更多直角三角形相關(guān)面積，再到計(jì)算無(wú)網(wǎng)格線一般三角形面積，構(gòu)成了一般化思維下的問題推廣鏈．借助于方法類比，從直角三角形思考拓展到銳角三角形和鈍角三角形，形成了類比思維引領(lǐng)下的類比問題鏈(具體教學(xué)流程如圖5)．

圖5

由于本課是本章起始課，統(tǒng)領(lǐng)著本章教與學(xué)，故教學(xué)實(shí)踐中，需要把握好問題探究的深度和廣度．在問題5的探索中，本課僅限于利用“割”或“補(bǔ)”之“化斜歸正”的計(jì)算方法加以簡(jiǎn)單證明，勾股定理經(jīng)典的證明方法及其蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想在第二課時(shí)進(jìn)行探索；問題7是對(duì)核心問題的逆向思考，具體的探索分析后續(xù)進(jìn)行，本課僅作問題啟發(fā)，以體現(xiàn)探索過程完整性和思維嚴(yán)謹(jǐn)性．以上7個(gè)問題是在核心問題的引領(lǐng)下，學(xué)生在主動(dòng)思考的基礎(chǔ)上所提出的系列問題，體現(xiàn)了一般化、特殊化、類比、逆向等不同的思維引領(lǐng)下問題鏈的引領(lǐng)和驅(qū)動(dòng)．問題情境教學(xué)中教師的作用在于因勢(shì)利導(dǎo)，讓學(xué)生心中想法順利表達(dá)，引發(fā)更多學(xué)生產(chǎn)生更多理性思考，實(shí)現(xiàn)“預(yù)設(shè)與生成齊飛、情境與問題共舞”的教學(xué)理想境界．

1.3 深度教學(xué)應(yīng)成于理性思維的培養(yǎng)

基于問題情境的深度教學(xué)主要任務(wù)是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)學(xué)生深度思考，培養(yǎng)理性思維．從課堂教學(xué)的角度思考，學(xué)生的理性思維培養(yǎng)應(yīng)體現(xiàn)在兩個(gè)階段，一是思維的內(nèi)化階段，這是思考與領(lǐng)悟的過程，是獨(dú)立思考、積極建構(gòu)、自主生成的過程，是思維的內(nèi)隱階段，這時(shí)的思考往往還不成熟、似懂非懂，尚在混沌之間．此階段教學(xué)過程要重視具有“思維含量”的核心問題引領(lǐng)，并通過一般化、特殊化、類比和逆變等思維方式形成問題鏈，引領(lǐng)學(xué)生的深度思考．除此之外，還要重視教學(xué)“留白”技巧的運(yùn)用，避免“講清”“問細(xì)”，要留出適度的時(shí)間和思維空間，讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下獨(dú)立地思考，嘗試解決和回答，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)新問題和新思路．在不斷的思考、嘗試、再思考的過程中完成對(duì)自己理解的知識(shí)和方法的初步建構(gòu)．

學(xué)生的理性思維培養(yǎng)的第二階段是思維的外顯過程，這是交流、合作與辨析的過程，“任何理解對(duì)象只能在語(yǔ)言中才能展現(xiàn)自我，理解主體只能通過語(yǔ)言才能使理解真正發(fā)生．”[4]學(xué)生通過語(yǔ)言的表達(dá)與交流，當(dāng)內(nèi)化的知識(shí)與具體問題重新建立聯(lián)系時(shí)，當(dāng)學(xué)生用語(yǔ)言力求清晰、合理、高效地闡述自己觀點(diǎn)時(shí)，需要對(duì)基于自我理解的知識(shí)重新梳理和建構(gòu)．思維在外化的思辨過程中得以清晰化、可視化，進(jìn)而又會(huì)引起新的思考．教學(xué)中要充分發(fā)揮學(xué)生主體性作用，采取合理激勵(lì)機(jī)制和“容錯(cuò)”機(jī)制，使合作學(xué)習(xí)真正發(fā)生．鼓勵(lì)學(xué)生有條理地清晰表達(dá)自己觀點(diǎn)、方法，從而實(shí)現(xiàn)在“想清楚”的基礎(chǔ)上“講明白”．當(dāng)學(xué)生思維表述不清或方法運(yùn)用不當(dāng)時(shí)，往往是學(xué)習(xí)思維難點(diǎn)和課堂教學(xué)亮點(diǎn)之所在，教師要在以上關(guān)鍵點(diǎn)處引導(dǎo)學(xué)生傾聽、回顧、梳理、反思，實(shí)現(xiàn)“錯(cuò)著錯(cuò)著就對(duì)了，聊著聊著就會(huì)了”的教學(xué)效果．在這個(gè)過程中，教師就是那個(gè)“挑起事端”，讓學(xué)生產(chǎn)生想法、產(chǎn)生認(rèn)知矛盾、產(chǎn)生思維碰撞的人[5]．

當(dāng)教學(xué)設(shè)計(jì)的開放性與課堂生成的精致化相得益彰時(shí)，當(dāng)學(xué)生在理性思辨中完成意義建構(gòu)時(shí)，當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)交流中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)時(shí)，深度教學(xué)才能真正實(shí)現(xiàn)．

2 數(shù)學(xué)深度教學(xué)的基本特征

基于以上分析，深度教學(xué)具有以下特點(diǎn)．

2.1 指向數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題引領(lǐng)

學(xué)生的思維發(fā)展需要具有“數(shù)學(xué)味”的問題引領(lǐng)思維活動(dòng)，教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題持續(xù)不斷的活動(dòng)．教師善于創(chuàng)設(shè)探究情境，形成認(rèn)知沖突，使學(xué)生在思考中自然產(chǎn)生問題．教師要精心研讀教材，了解學(xué)情，站在學(xué)生的角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)學(xué)科知識(shí)的“教育學(xué)轉(zhuǎn)化”和“生本化表達(dá)”，使問題預(yù)設(shè)的科學(xué)性和問題生成的自然性渾然天成．教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行深度思考，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在不斷的問題探索中收獲經(jīng)驗(yàn)、歸納規(guī)律、感悟數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題、用數(shù)學(xué)的思維思考問題、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問題”．

2.2 批判整合的主動(dòng)建構(gòu)

數(shù)學(xué)情境教學(xué)以情境問題為載體、以活動(dòng)思考為主線展開學(xué)習(xí)，既關(guān)注結(jié)果更關(guān)注過程、既注重預(yù)設(shè)更注重生成、既注重合情推理又注重演繹推理．重視在已有知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)新知識(shí)的生成，重視學(xué)生對(duì)內(nèi)化知識(shí)的表述與運(yùn)用．經(jīng)歷觀察猜想、類比歸納、推理論證的過程，使學(xué)生對(duì)問題作出自己的思考、判斷、解釋，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的順應(yīng)與同化，完成知識(shí)批判與整合，從而基于自我理解建構(gòu)具有連續(xù)性和生長(zhǎng)性的知識(shí)體系．

2.3 理性思辨的深度學(xué)習(xí)

以理性思維發(fā)展為目的的數(shù)學(xué)問題情境學(xué)習(xí)，具有批判理解、信息整合、反思建構(gòu)、遷移運(yùn)用的特點(diǎn)．通過情境問題的變式與拓展，在不斷的問題解決中，通過方法比較、歸納思考、討論交流，化“快想”為“慢思”，使靜思與辨思相結(jié)合、內(nèi)化與外顯共作用，從而讓思考更全面、更清晰、更深刻、更合理．[6]教學(xué)中要注重對(duì)問題的追問和反問，使學(xué)生的思維從模糊走向清晰，從無(wú)序走向有序，從感性走向理性．教學(xué)中要注重引領(lǐng)學(xué)生對(duì)問題解決過程的回顧和反思，對(duì)知識(shí)的反思、方法的反思、聯(lián)系的反思、推理的反思、表述的反思，在反思中實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的建構(gòu)、方法的融合、思想的領(lǐng)悟，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)地思維”的過程，達(dá)成“通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”的目的，實(shí)現(xiàn)理性精神的培養(yǎng)．

數(shù)學(xué)深度教學(xué)是安靜的教學(xué)，注重學(xué)生的靜思和內(nèi)化；數(shù)學(xué)深度教學(xué)是火熱的教學(xué)，注重交流與外化，使冰冷的美麗變成火熱的思考；數(shù)學(xué)深度教學(xué)是生成的教學(xué)，在主動(dòng)探索中生成，在合作互動(dòng)中建構(gòu)；數(shù)學(xué)深度教學(xué)是理性的教學(xué)，在思辨中走向理性，在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)．?dāng)?shù)學(xué)深度教學(xué)讓學(xué)習(xí)可見、讓思維發(fā)生、讓文化浸潤(rùn)[7]，實(shí)現(xiàn)從知識(shí)教學(xué)到思維教學(xué)再到學(xué)科育人的飛躍．