基于徑向最大面截距優(yōu)化下的FAST反射面形狀調(diào)節(jié)

黃建平，朱德凱，李星星，楊秀麗

（臺(tái)州學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

0 引言

500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope，F(xiàn)AST）的工作原理是：FAST在反射面板調(diào)節(jié)約束下，確定一個(gè)理想拋物面，將反射面通過促動(dòng)器徑向伸縮量的調(diào)節(jié)變?yōu)楣ぷ鲯佄锩?獲得天體電磁波經(jīng)反射面反射后的最佳接收效果，從而將來自目標(biāo)天體的平行電磁波反射匯聚到饋源艙的有效區(qū)域。為了獲得盡可能理想的拋物面，提高饋源艙的信號(hào)接收效果，本文主要考慮解決以下3個(gè)問題：

（1）當(dāng)待觀測(cè)天體S位于基準(zhǔn)球面正上方，即α=0°,β=90°時(shí)，結(jié)合考慮反射面板調(diào)節(jié)因素，確定理想拋物面。

（2）當(dāng)待觀測(cè)天體S位于α=36.795°,β=78.169°時(shí)，確定理想拋物面。建立反射面板調(diào)節(jié)模型，調(diào)節(jié)相關(guān)促動(dòng)器的伸縮量，使反射面盡量貼近該理想拋物面。

（3）基于問題2的反射面調(diào)節(jié)方案，計(jì)算調(diào)節(jié)后饋源艙的接收比，即饋源艙有效區(qū)域接收到的反射信號(hào)與300 m口徑內(nèi)反射面的反射信號(hào)之比，并與基準(zhǔn)反射球面的接收比作比較。

1 模型的建立和求解

1.1 建模前的準(zhǔn)備

1.1.1 理想凹面鏡的方程建立

從幾何光學(xué)得到理想凹面鏡的方程如下：

其定義域D為：x2+y2≤R2。進(jìn)而確定該凹透鏡的焦點(diǎn)坐標(biāo)F為（0，0，p/2）。

1.1.2 相鄰節(jié)點(diǎn)之間的變化

由于制程界限的限制，主索節(jié)點(diǎn)在徑向上可以發(fā)生±0.6 m的變化，而這種變化可能會(huì)使相鄰節(jié)點(diǎn)之間的距離發(fā)生一定的變化，從而導(dǎo)致最大形變量不會(huì)超過0.07%（這是一個(gè)硬性的技術(shù)指標(biāo)）。經(jīng)驗(yàn)證，±0.6 m的變化是安全的。具體方法是對(duì)一塊反射面板所在的三角網(wǎng)格進(jìn)行形變分析，其形變情況如圖1所示。圖1左邊為三角網(wǎng)格的立體形變情況圖［1］，右邊為三角網(wǎng)格一條邊的最大形變情況圖。

圖1 三角網(wǎng)格形變情況圖

為了后續(xù)能夠充分利用主索節(jié)點(diǎn)±0.6 m的徑向變化，我們需要保證最大形變量能控制在0.07%內(nèi)。最大形變量的計(jì)算公式為：

式（2）中η即為形變量，其中l(wèi)、l′已在圖1中給出幾何意義，Δr為徑變化量。對(duì)于l的計(jì)算方法，采用每?jī)蓚€(gè)主索節(jié)點(diǎn)之間距離的平均數(shù)，具體計(jì)算公式如下：

式（3）中的P代表節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，N取2226。通過Matlab計(jì)算，可以得到最大形變量η=0.053%。

從結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，主索節(jié)點(diǎn)在徑向上變化±0.6 m，其形變量并不會(huì)超過0.07%，因此后述中不需要再考慮形變量過大所導(dǎo)致的一系列問題。

1.1.3 空間坐標(biāo)的變換矩陣

由于基準(zhǔn)球面具有各向同性，并且為了在后文中方便計(jì)算，需要利用到空間坐標(biāo)的變換矩陣，即

1.2 問題1的建模與求解

1.2.1 FAST的理想拋物面方程

通過下拉索和促動(dòng)器的配合工作，能夠保證主索節(jié)點(diǎn)充分地靠近理想拋物面，在此先不考慮徑向伸縮范圍的限制，重點(diǎn)研究FAST理想拋物面方程的構(gòu)建。由于方位角為0°，仰角為90°，這說明星體是處于FAST的中心正上方，于是可以由式（1）得到此時(shí)FAST的理想拋物面方程應(yīng)為：

其定義域D為：x2+y2≤R12。這里的R1取150 m。由于需要保證射向照明區(qū)域的平行光經(jīng)過反射面板反射能夠聚焦在焦面上，則必須要滿足方程的焦點(diǎn)落在該焦面上，其中焦點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為(0,0,-0.534R)，焦距為p/2，于是可以得到p和h之間的關(guān)系式為：

由式（6）可知p可以直接由h表示，所以只需要通過確定最優(yōu)的h，便可確定最理想的拋物面方程。

1.2.2 徑向最大面截距的定義

設(shè)散點(diǎn)集合為Q={Q1,Q2,…,Qn}，中心點(diǎn)為C，其中對(duì)?i∈{1,2,…,n}，滿足Qi∈ ?3，并且C∈?3?，F(xiàn)有一函數(shù)f也定義在?3并且滿足f:?3??，我們稱散點(diǎn)集合Q到函數(shù)f的徑向（中心點(diǎn)方向）最大面截距為Dm，其幾何意義如圖2所示。

圖2 最大面截距幾何示意圖

首先，通過 ?i∈{1,2,…,n}，可以得到Qi與C的距離，設(shè)Qi的坐標(biāo)為(xi,yi,zi)，C的坐標(biāo)為(xc,yc,zc)，于是可以得到直線方程：

將式（7）與f聯(lián)立求解，并選取方向上的解作為節(jié)點(diǎn)，記為，最后便得到徑向最大面截距的計(jì)算公式為：

1.2.3 問題1模型求解

由式（6）表明p受h影響，因此確定最優(yōu)的h是問題的關(guān)鍵所在。為此，這里采用有限元分析的方法［2］，將以最小化徑向最大面截距為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，得

下面從兩個(gè)方面確定最優(yōu)解所在區(qū)間。

（1）對(duì)解域進(jìn)行劃分。

由現(xiàn)實(shí)情況可以粗略地確定-B≤h≤B,其中B取0.6 m，也就是說h的最優(yōu)解域不可能超出這個(gè)范圍，下面將解域進(jìn)行離散化。

設(shè)解域?yàn)锳，在空間維度上對(duì)其進(jìn)行均勻劃分，即將A劃分為N份，每段的長(zhǎng)度為Δh=2B/N，于是得到離散點(diǎn)集H={-B+kΔh|k=1,2,…,N}，與此同時(shí)，解域A被分割成子解域。

（2）確定最優(yōu)解所在的子解域。

將所得到的Hi(i∈ 1,2,…,N)代入式（5）中，得到其定義域D為：x2+y2≤R21。根據(jù)所有主索節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，將這些散點(diǎn)構(gòu)成的集合記為Q，于是利用式（8）便可以得到與Hi相對(duì)應(yīng)的徑向最大面截距Dm(Hi)，據(jù)此找到min{Dm(Hi)|i=1,2,…,N} 所對(duì)應(yīng)的下標(biāo)，將其記為b，最后確定最優(yōu)解所在子解域?yàn)閇Hb-1,Hb+1]。

通過上述（1）（2）兩點(diǎn)的分析可知，在確定了最優(yōu)解所在區(qū)間之后，只需將N變得足夠大就可以確定其近似最優(yōu)解，最終得到的近似最優(yōu)解為：hbest=-300.2860m。經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，其所對(duì)應(yīng)的徑向最大面截距Dm(hbest)為0.3893 m，也就是說每個(gè)促動(dòng)器的伸縮量均在徑向伸縮范圍內(nèi)。最后，再將hbest代入f的方程，便可以得到理想拋物面方程為：

其定義域D為：。該理想拋物面圖像如圖 3所示。

圖3 理想拋物面圖像（深色部分）

1.3 問題2的建模與求解

1.3.1 反射面板和理想拋物面的貼合方式分析

由于本文默認(rèn)主索節(jié)點(diǎn)均分布在旋轉(zhuǎn)拋物面上，下面對(duì)三種貼合方式進(jìn)行分析，具體情形如圖4所示［3］。

圖4 各種反射面板的貼合方式

根據(jù)圖4得出板間離差公式為：

經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，板間離差的最大值為54.9 μm，說明圖4中第3種采用的貼合方式是較為可靠的，可以在后文中使用。

1.3.2 平行光線的垂直入射板

平行光線從方位角α=36.795°、仰角β=78.169°的方向射向基準(zhǔn)球面，由此可知經(jīng)過圓心C的光線必定會(huì)和基準(zhǔn)球面垂直，聯(lián)立球面方程和光線方程求得目標(biāo)解的坐標(biāo)為G(-49.2544,-36.8403,-293.6270)。由于每個(gè)主索節(jié)點(diǎn)只能在徑向上進(jìn)行變化，故垂直入射點(diǎn)并不會(huì)因?yàn)榉瓷涿姘宓囊苿?dòng)而發(fā)生改變。

根據(jù)垂直入射點(diǎn)不變的性質(zhì)，再針對(duì)某一塊板或某一個(gè)主索節(jié)點(diǎn)計(jì)算散點(diǎn)集Q中每個(gè)點(diǎn)到G的距離，至少篩選出其中最近的3個(gè)點(diǎn)，分別記下它們的坐標(biāo)和編號(hào)，具體如表1所示。

表1 垂直入射點(diǎn)信息

通過相關(guān)的數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，所有主索節(jié)點(diǎn)到達(dá)G的距離均比R大了0.4 m，再結(jié)合表1可得出星光的垂直入射點(diǎn)就是編號(hào)為“D27”的主索節(jié)點(diǎn)，也就是理想拋物面的頂點(diǎn)，其坐標(biāo)見表1第2列。

1.3.3 理想拋物面以及各工程參數(shù)的求法

由于平行光線是從方位角α=36.795°、仰角β=78.169°的方向射向基準(zhǔn)球面的，這會(huì)給計(jì)算帶來很大的不便。根據(jù)FAST光學(xué)面以及主索節(jié)點(diǎn)所在半球面所具有的球面對(duì)稱性（各向同性），采用式（7）將原散點(diǎn)集Q變換成為新的散點(diǎn)集合，這樣平行光線能夠從正上方射入，變換矩陣為：

通過新的散點(diǎn)集即可求出最佳的hbest=-300.3360m，其所對(duì)應(yīng)的Dm(hbest)為0.3359 m。再將其代入新坐標(biāo)系下的拋物面方程，便可計(jì)算每個(gè)促動(dòng)器的伸縮量大小，以及新坐標(biāo)系下理想拋物面上各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)′及其編號(hào)，最后通過逆變換求出原坐標(biāo)系下理想拋物面上各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)Q′以及原坐標(biāo)系下拋物面的方程。變換坐標(biāo)系下的拋物面方程為：

其定義域D為：。原坐標(biāo)系下理想拋物面的方程為：

理想拋物面在原坐標(biāo)系下的圖像如圖5所示。

將藜麥種子磨成粉末，過100目篩，取篩下物放入烘箱烘干備用。稱取適量預(yù)處理后的藜麥粉并將其與0.20%的NaOH溶液按照1：5的比例混合，攪拌3 h后，靜置18 h。將混合物于4000 r/min離心10 min，去上層黃色蛋白質(zhì)沉淀和下層灰色沉淀，留中間白色淀粉反復(fù)離心、洗滌，調(diào)pH至中性，繼續(xù)洗滌至上層無黃色沉淀為止。最后將產(chǎn)物置于 40 ℃烘箱中干燥48 h，粉碎，過100目篩后封袋保存。

圖5 理想拋物面方程圖像

經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，調(diào)節(jié)后反射面300 m口徑內(nèi)的主索節(jié)點(diǎn)一共有692個(gè)，部分主索節(jié)點(diǎn)編號(hào)及其位置坐標(biāo)和促動(dòng)器伸縮量如表2所示。

表2 300 m口徑內(nèi)的主索節(jié)點(diǎn)編號(hào)、坐標(biāo)和促動(dòng)器伸縮量

1.4 問題3的建模與求解

1.4.1 基準(zhǔn)球面的接收比

對(duì)于基準(zhǔn)球面，其光學(xué)面是一個(gè)球面，由于球面具有空間對(duì)稱性和各向同性的特點(diǎn)，故只需考慮α=0°，β=90°的情況即可。光學(xué)面的光路反射圖如圖6所示。

圖6 基準(zhǔn)球面的光路反射圖

對(duì)圖6分析后可知，光線進(jìn)入半球面時(shí)和地面的夾角為0°，經(jīng)過反射后其夾角變?yōu)棣萶ut=2θ-π/2，再加上空間角的限制，可得出以下結(jié)果：

式（16）中的范圍根據(jù)對(duì)稱性只考慮了半邊。對(duì)于出射光線能否射入饋源艙，我們只需要考慮出射光線lout和直線y=F-R的交點(diǎn)坐標(biāo)x(θ)即可。如果它能夠在饋源艙的有效半徑內(nèi)，就說明這部分光線經(jīng)過反射能夠被接收到。根據(jù)入射點(diǎn)Pin的坐標(biāo)(-Rcosθ,-Rsinθ)，再結(jié)合出射角，便可得到反射光線所在的直線方程為：

將式（17）與y=F-R聯(lián)立即可得到：

函數(shù)圖像如圖7所示。

圖7 函數(shù)x的圖像

對(duì)式（18）求駐點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)不存在解析解，但是能夠給出其數(shù)值解為1.3522，其對(duì)應(yīng)的x=-3.0581，這說明反射光線一開始不能射入饋源艙，接著一個(gè)小角度內(nèi)能射入饋源艙，然后又不能射入饋源艙，最后再次能夠射入饋源艙，共4種狀態(tài)。這4種狀態(tài)的臨界θ值如表3所示。

表3 4種狀態(tài)的臨界θ值

由于光線是垂直入射的，即在面板上單位面積接收到的能量大小是不一樣的，所以這里需要進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，平行光能流通量如圖8所示。

圖8 平行光能流通量圖

因?yàn)楣饩哂小把刂本€傳播”的特性，而它同時(shí)也是一種電磁波信號(hào)，所以可以將其看做“無旋場(chǎng)”；而對(duì)于來自遙遠(yuǎn)星體的平行光線，其能流密度Φ在空間上是均勻的，于是將圖8的“半球殼+頂部”看做一個(gè)封閉的曲面，得到方程：

這就說明整個(gè)半球面的光能流通量等于半球殼頂部的光能流通量，根據(jù)式（19）可知：

通過前面所得到的θi便可以求出其所對(duì)應(yīng)的Xi，其計(jì)算方法為：

將所得到的Xi記入，如表4所示。

表4 4種狀態(tài)的臨界X值

通過表4中X的臨界值，可以確定能夠打到饋源艙上的入射點(diǎn)X所在的區(qū)間范圍為：X∈[1 02.4737,107.8680]∪[0 ,7.3782]，可求得基準(zhǔn)反射球面的接收比為：

從式（22）中可以看出，接收比很小。由于未考慮板間縫隙以及饋源艙遮擋情況所帶來的誤差，實(shí)際上基準(zhǔn)反射球面只能夠?qū)⑸俨糠值墓鈪R聚到饋源艙內(nèi)。

1.4.2 調(diào)節(jié)后饋源艙的接收比

由于問題2中說到光線的入射方向?yàn)棣?36.795°，β=78.169°，說明光線并不是垂直頂面入射的。為了避免光線斜射帶來的問題，首先可以采用問題2中的變換坐標(biāo)系來解決；接著利用Monte Carlo算法，通過隨機(jī)產(chǎn)生入射光線得到能夠進(jìn)入饋源倉光線的數(shù)量；最后計(jì)算接受比。但是因?yàn)樗械姆瓷涿姘迨请x散分布的，所以確定入射面板是解決本問題的關(guān)鍵，從以下三方面展開討論：

（1）確定入射面板。

由于結(jié)果是在變換后的坐標(biāo)系中進(jìn)行分析的，這里采用的也是變換坐標(biāo)系下的坐標(biāo)以及變換坐標(biāo)系下的拋物面方程，將變換坐標(biāo)系下的主索節(jié)點(diǎn)向z=0平面進(jìn)行投影得到的點(diǎn)集記為。通過相關(guān)數(shù)據(jù)，可以確定每個(gè)反射面板的三個(gè)主索節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的編號(hào)，利用該編號(hào)便可以找到對(duì)應(yīng)的主索節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。將該坐標(biāo)按照T矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換便可得到變換坐標(biāo)系下的主索節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，也就是將編號(hào)與進(jìn)行了綁定。

采用Monte Carlo算法隨機(jī)產(chǎn)生Xi，其坐標(biāo)滿足，并且其在z軸方向上的投影為0。計(jì)算Xi與點(diǎn)集中每個(gè)元素的距離，取3個(gè)距離最近的點(diǎn)，并找到每個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的，再找到每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的編號(hào)，由此可以確定反射面板。下面給出1個(gè)入射點(diǎn)與最近的3個(gè)點(diǎn)關(guān)系的具體例子，結(jié)果如表5所示。

表5 入射點(diǎn)與最近的3個(gè)點(diǎn)關(guān)系的一個(gè)具體實(shí)例

（2）反射光線的求解。

利用各節(jié)點(diǎn)的編號(hào)及其所綁定的，便可計(jì)算每個(gè)面板的法向量［4］，并選取在z軸方向投影大于0的法向量，得到

反射原理圖如圖9所示。

圖9 反射原理圖

結(jié)合施密特正交分解的方法容易得到反射光線的方程為：

（3）Monte Carlo算法的實(shí)現(xiàn)。

將之前得到的反射光線與z=F-R聯(lián)立，得到交點(diǎn)坐標(biāo)為(xhi,yhi)。通過判斷該點(diǎn)是否滿足，便可確定該反射光線能不能被饋源器接收。也就是說，只要給定入射光線在頂面生成的坐標(biāo)，就可以得到該光線是否能通過饋源倉。此處會(huì)發(fā)現(xiàn)“枚舉法”失效，原因在于頂面半徑為150 m，如果想讓誤差小于0.1 m，則至少需要進(jìn)行200萬次循環(huán)迭代，從而使時(shí)間拉得很長(zhǎng)。因此，我們考慮了Monte Carlo算法，并將初值N設(shè)為100萬，利用MATLAB運(yùn)行，得到饋源艙有效區(qū)域接收到的反射信號(hào)與300 m口徑內(nèi)反射面的反射信號(hào)之比為=29.50%。這就說明基準(zhǔn)球面經(jīng)過調(diào)整成為類拋物面的時(shí)候，來自星體的平行光線能夠盡可能多地被饋源艙接收到。

2 結(jié)語

針對(duì)FAST工作原理，本文對(duì)FAST主動(dòng)反射面板的形狀調(diào)節(jié)進(jìn)行了研究與探討。為了提高其工作效率，必須將反射面盡可能貼近理想拋物面。因此文中提出一種基于徑向最大面截距的優(yōu)化模型，通過采用有限元分析、蒙特卡洛等算法模擬得到一系列工程參數(shù)在該模型下的標(biāo)準(zhǔn)取值；另外將該模型下建立的工作態(tài)反射面與基準(zhǔn)態(tài)反射面對(duì)饋源艙信號(hào)的接收比進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，本文所提出的方法具有一定的優(yōu)越性。