一題八解 素養(yǎng)落地

李小蛟

(四川省成都市樹德中學(xué) 610091)

1 題目呈現(xiàn)

(1)判斷△ABC的形狀；

(2)若AC邊上的中線BM長為3，求△ABC的面積的最大值.

題目為一道典型的解三角形問題，三角形中邊角關(guān)系，三角恒等變換，三角形形狀判斷，三角形中線段長度，三角形面積在本題均充分考查，而且思維量較大，是一道非常典型的高考沖刺模擬試題，充分體現(xiàn)了試題的區(qū)分度和選拔功能.

2 試題解析

2.1 第(1)問解析

所以2sinBsinC=1-cos(B+C).

所以2sinBsinC=1-cosBcosC+sinBsinC.

所以cosBcosC+sinBsinC=1.

所以cos(B-C)=1.

又B-C∈(-π,π),

所以B-C=0，即B=C.

所以△ABC是等腰三角形.

評注判斷三角形形狀可以從邊的關(guān)系入手，也可以從角的關(guān)系著眼.本題已知關(guān)系式中全為角的關(guān)系，因此要充分利用三角恒等變換和相關(guān)三角公式，將多角度化為單角度或找到相關(guān)角度之間的關(guān)系.

2.2 第(2)問解析

第(2)問涉及三角形中線段長度并求面積最值，高考試題對高中數(shù)學(xué)知識點的考查較為全面細致，由于第(1)問只考查了邊角關(guān)系和三角恒等變換，因此第(2)問肯定會考查正余弦定理的應(yīng)用，解題時要清晰明了題目命制的意圖和考查的知識點；三角形面積最值問題是考查基本不等式、函數(shù)最值、三角函數(shù)最值、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的一種重要體現(xiàn)，解題中一定要結(jié)合條件和求解結(jié)論去理解，迅速找到解決問題的方向.

解法1設(shè)AM=m，則AB=2m.

在△ABM中,由余弦定理,得

m2+4m2-2·m·2m·cosA=9.

所以△ABC的面積

解法2 將BM放在x軸，且B(0,0),M(3,0)，因為AB=AC,AC=2AM,所以AB=2AM.

則知點A的軌跡是圓，于是設(shè)A(x,y)，

化簡，得(x-4)2+y2=4(y≠0).

圖1

評注解析的方法是將幾何思維(智力為主)轉(zhuǎn)化為代數(shù)統(tǒng)籌(運算為主)的數(shù)學(xué)能力.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將圖形思維轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，是處理幾何問題的一種常用方法.法2的關(guān)鍵點在于要充分運用阿波羅尼斯圓將動點轉(zhuǎn)化到定圓上，從而將三角形的面積最值轉(zhuǎn)化到相對圓直徑的高最值，一目了然，一望而解.

解法3 如圖2，由題知AB=2AD，得點A的軌跡為圓(阿波羅尼斯圓定義).

圖2

由阿波羅尼斯圓定義,得

解得DE=1，DF=3.

所以圓半徑為2.

所以S△ABC=2S△ABD=3h，h為BD邊上的高.

所以(S△ABC)max=6.

評注此法充分利用平面幾何中有關(guān)阿波羅尼斯圓的定義巧妙將動點轉(zhuǎn)化到定圓上，從而將面積表示為與圓上點到直線距離的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，巧妙轉(zhuǎn)化.

解法4 如圖3，取BC中點E，連接AE，交BD于點G，易知G是△ABC重心.

圖3 圖4

因為BD=3，所以BG=2.

因為BE=2sinθ,BC=4sinθ,GE=2cosθ,AE=6cosθ，

=12sinθcosθ

=6sin2θ≤6.

所以(S△ABC)max=6.

評注利用三角形重心(中線交點)分中線長為1∶2的長度關(guān)系將△ABC的底和高轉(zhuǎn)化到已知長度和同一角度求解，從而將面積最值問題轉(zhuǎn)化為三角最值問題.

解法5 如解法4，點G是△ABC重心.則

S△ABC=3S△BGC

=6sin∠BGC≤6.

評注充分利用三角形重心分面積的關(guān)系將△ABC的面積轉(zhuǎn)化到3S△ABC，而BG=GC=2，從而再次將幾何最值問題轉(zhuǎn)化為三角最值問題.

所以(S△ABC)max=6.

評注通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將三角形底和高的長度關(guān)系利用題目中條件建立關(guān)系，再利用三角代換將面積問題轉(zhuǎn)化為三角問題.

由基本不等式可得

評注高中數(shù)學(xué)的最值問題解決方法無非是用不等式或?qū)Ш瘮?shù)處理，已知相關(guān)量的等量關(guān)系，所以首先想到用基本不等式解決最值，但運用基本不等式時一定要注意十七字方針“一正，二定，三相等，和定積最大，積定和最小”.

解法8 如圖1，設(shè)AD=x，則AB=2x，

由海倫公式

可得

S△ABC=2S△ABD

得1

則當(dāng)x2=5(符合條件)時，取最大值(S△ABC)max=6.

評注此法實際和解法1一致(解法1就是海倫公式推導(dǎo))，海倫公式是平面幾何中求解三角形面積的一個重要公式，利用題目已知條件和海倫公式將面積全部轉(zhuǎn)化到邊長，從而將面積最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值.

此題的向量版變式已知共面向量a，b，c滿足|a|=3，b+c=2a，且|b|=|b-c|.若對每一個確定的向量b，記|b-ta|(t∈R)的最小值為dmin，則當(dāng)b變化時，dmin的最大值為____.

解法1 同上題，實際求此阿波羅尼斯圓的半徑即可.

圖5

因為|b|=|b-c|，

所以O(shè)B=BC.

即(rcosθ+3)2+r2sin2θ=4r2.

整理為r2-2rcosθ-3=0.

而|b-ta|(t∈R)的最小值為dmin，

即dmin=rsinθ

≤2.

所以dmin的最大值是2.

小結(jié)解三角形問題一直是高考的熱點問題，正確理解三解恒等變換和三角形面積公式是處理問題的關(guān)鍵；同時要將三角、函數(shù)、解析幾何、不等式等相關(guān)知識加以遷移滲透，綜合運用，注重數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想；在解題歸納上注重模型意識，合理轉(zhuǎn)化，妙設(shè)巧算，才能將核心素養(yǎng)在解題中得到真正的體現(xiàn)和展示.