基于違約穩(wěn)定法的剪式可展機(jī)構(gòu)展開(kāi)過(guò)程分析與仿真*

吳上生，陳 柘，蘭 僑

（華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，廣州 510630）

0 引言

剪叉可展結(jié)構(gòu)由于其結(jié)構(gòu)緊湊、承載量大和易操作性，收縮時(shí)占用空間小，展開(kāi)時(shí)可以達(dá)到并穩(wěn)定設(shè)想的狀態(tài)，因此在現(xiàn)代物流、航空裝卸等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用[1]。結(jié)構(gòu)能否順利按設(shè)計(jì)要求展開(kāi)和收縮，是在剪式可展結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中首先需要考慮的問(wèn)題，因此需要對(duì)可展結(jié)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，以驗(yàn)證是否滿(mǎn)足要求。Travis L[2]推導(dǎo)了剪式折疊機(jī)構(gòu)在展開(kāi)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)方程；徐坤[3]對(duì)剪式彎曲折展機(jī)構(gòu)建立了機(jī)構(gòu)單元運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，然后分析了該機(jī)構(gòu)的自由度和運(yùn)動(dòng)形式；楊毅[4]利用螺旋理論對(duì)剪鉸多面體機(jī)構(gòu)進(jìn)行了自由度和奇異性分析；吳新燕[5]從驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)、連桿機(jī)構(gòu)、驅(qū)動(dòng)方式等的優(yōu)化出發(fā)，驗(yàn)證了環(huán)形桁架結(jié)構(gòu)的順利展開(kāi)。在滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)學(xué)要求后，需要進(jìn)行可展結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析，得到在外力作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。紀(jì)斌[6]對(duì)非對(duì)稱(chēng)平面剪鉸單元進(jìn)行了分析，討論了速度、加速度等物理量的動(dòng)力學(xué)特性；李博[7]在基于剪式線(xiàn)性陣列可展結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性的動(dòng)力學(xué)分析方法研究方面，提出了坐標(biāo)和速度修正方法，得到了剪式單元各節(jié)點(diǎn)物理量的變化過(guò)程，但結(jié)構(gòu)過(guò)于簡(jiǎn)單，該方法的針對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的普適性沒(méi)有得到驗(yàn)證。彭麒安[8]針對(duì)剪式單元陣列可展結(jié)構(gòu)提出了一種規(guī)范化動(dòng)力學(xué)分析方法，大幅度地降低組裝難度，提高建模效率。Sun-Yuantao[9]結(jié)合虛功原理和螺旋理論對(duì)可展結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為和展開(kāi)過(guò)程進(jìn)行了分析。楊玉龍[10]采用一種基于向量式有限元法建立剪式結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，對(duì)展開(kāi)過(guò)程進(jìn)行模擬，比較了剛性桿和柔性桿的展開(kāi)速度及時(shí)間。Yang Tao[11]提出了一種非交叉結(jié)構(gòu)元件的剪式可展機(jī)構(gòu)，構(gòu)造了具有徑向膨脹運(yùn)動(dòng)的可展開(kāi)多面體機(jī)構(gòu)，獲得了較大的變形能力，同時(shí)仿真驗(yàn)證了其展開(kāi)過(guò)程，但過(guò)多關(guān)注于結(jié)構(gòu)機(jī)理，缺乏動(dòng)力學(xué)理論分析。

本文研究的剪式可展結(jié)構(gòu)是連桿式可展結(jié)構(gòu)的一種，與大多數(shù)可展結(jié)構(gòu)桿長(zhǎng)都相等不同，本文所用連桿有短桿和長(zhǎng)桿兩種，短桿和長(zhǎng)桿經(jīng)銷(xiāo)軸連接成剪式鉸，具有運(yùn)動(dòng)收縮功能，短桿起傳遞力矩和支撐連接長(zhǎng)桿等作用，相對(duì)于傳統(tǒng)的兩桿鉸接可展結(jié)構(gòu)具有更強(qiáng)的抗變形能力。首先，利用幾何關(guān)系推倒其運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，其次，根據(jù)約束條件建立基于拉格朗日乘子法的動(dòng)力學(xué)方程，采用Baumgarte約束違約穩(wěn)定法對(duì)系統(tǒng)的坐標(biāo)和速度進(jìn)行修正，避免數(shù)值結(jié)果的發(fā)散，最后利用MATLAB 完成展開(kāi)過(guò)程數(shù)值仿真，得到其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

1 剪式可展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

如圖1 所示，本文所研究的剪式可展機(jī)構(gòu)由連桿和銷(xiāo)軸組成，各桿之間鉸接，各桿的端點(diǎn)分別用數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8 表 示，各桿的桿長(zhǎng)由Lij表示，其中i、j分別代表端點(diǎn)。取端點(diǎn)1 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xoy，端點(diǎn)1 和端點(diǎn)8 是固定不動(dòng)的，兩端點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)，連桿16 和連桿28 可以分別繞端點(diǎn)1和端點(diǎn)8 轉(zhuǎn)動(dòng)，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力系統(tǒng)假設(shè)為固定在點(diǎn)6 上并只能提供沿x軸負(fù)方向的恒力，顯然連桿16 轉(zhuǎn)動(dòng)角速度是時(shí)間t的函數(shù)。

剪式可展單元是單自由度系統(tǒng)，因此其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以用某一時(shí)刻連桿16 的轉(zhuǎn)角θ來(lái)描述。假設(shè)某t時(shí)刻單元的位形如圖1所示，其中桿16與x軸的夾角為θ，桿28與x軸的夾角為φ，端點(diǎn)1、端點(diǎn)8 的坐標(biāo)顯然分別為（0，0），（0，L），下面推導(dǎo)其余6個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)。

圖1 剪式可展單元結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

根據(jù)桿長(zhǎng)和角度關(guān)系可得端點(diǎn)2、端點(diǎn)6、端點(diǎn)7 的坐標(biāo)分別如下。

根據(jù)端點(diǎn)2、3、6、7 所組成的平行四邊形關(guān)系，角度在第二級(jí)可展單元得到繼承，角度如圖1 所示，由此可以得到端點(diǎn)3、端點(diǎn)4、端點(diǎn)5的坐標(biāo)分別如下。

為了建立φ和θ的關(guān)系，使得坐標(biāo)方程中只有一個(gè)變量，可利用端點(diǎn)6和端點(diǎn)7的桿長(zhǎng)限制坐標(biāo)關(guān)系，得到以下關(guān)系式：

由三角函數(shù)關(guān)系式：

聯(lián)立公式（1）、公式（2）可以得到兩個(gè)角度關(guān)系如下：

通過(guò)上述分析得到了剪式可展單元的整體坐標(biāo)矩陣，每個(gè)坐標(biāo)均是桿16 與x軸夾角θ的函數(shù)，由此可以確定結(jié)構(gòu)在每一時(shí)刻的狀態(tài)，且相互連接的剪式單元的運(yùn)動(dòng)不是相互獨(dú)立的，一個(gè)桿件的運(yùn)動(dòng)勢(shì)必會(huì)影響與其相連的桿件。

2 剪式可展單元的動(dòng)力學(xué)分析

2.1 等效質(zhì)量矩陣

假設(shè)剪式可展結(jié)構(gòu)由n個(gè)等截面直剛桿組成，將每個(gè)桿件都得端點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，則有2n個(gè)節(jié)點(diǎn)，6n個(gè)笛卡爾坐標(biāo)，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的位姿即剪式可展結(jié)構(gòu)空間位置的坐標(biāo)集合可由這6n個(gè)笛卡爾坐標(biāo)來(lái)描述。取桿ij作為分析對(duì)象，則兩端點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為：

該桿件上任一點(diǎn)的速度矢量可表示為：

N(x,y,z)為桿單元速度函數(shù)矩陣，其具體形式如下：

式中：Lij為桿ij的桿長(zhǎng)；xˉ為任一點(diǎn)X到端點(diǎn)i的長(zhǎng)度；I3為三維單位矩陣。

單元?jiǎng)幽芸梢员硎緸椋?/p>

當(dāng)桿件截面面積A相同，密度ρ相同時(shí)，式（7）可寫(xiě)為：

式中：M(e)為單元的等效質(zhì)量矩陣；V(e)為桿單元體積。

由式（8）可得桿單元的等效質(zhì)量矩陣：

本文研究對(duì)象剪式可展單元的展開(kāi)收縮可以看作是在平面內(nèi)完成，則對(duì)于平面桿單元，其等效質(zhì)量矩陣可以簡(jiǎn)化為：

將各單元?jiǎng)偠染仃嚢凑展?jié)點(diǎn)號(hào)進(jìn)行下標(biāo)轉(zhuǎn)換，將轉(zhuǎn)換后的單元?jiǎng)偠染仃囃斗诺娇傮w剛度矩陣的對(duì)應(yīng)位置上，按照疊加法可以獲得結(jié)構(gòu)的整體質(zhì)量矩陣。

2.2 約束方程

在剪式可展結(jié)構(gòu)中，存在3 種約束，即桿長(zhǎng)約束、鉸接點(diǎn)約束、端點(diǎn)邊界約束。桿長(zhǎng)約束表示在結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生改變時(shí)，同一個(gè)桿件的兩端點(diǎn)之間的距離不變；鉸接點(diǎn)約束表示使得兩個(gè)桿件形成鉸接的端點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相對(duì)于這兩個(gè)桿件的相對(duì)位置坐標(biāo)不變；端點(diǎn)邊界約束表示剪式結(jié)構(gòu)中端點(diǎn)固定不變的坐標(biāo)關(guān)系，包括端點(diǎn)的固有坐標(biāo)以及兩端點(diǎn)的限制關(guān)系坐標(biāo)。

桿長(zhǎng)約束如下所示：

圖1 所示剪式線(xiàn)性陣列結(jié)構(gòu)有6 個(gè)桿單元，則對(duì)應(yīng)的桿長(zhǎng)約束方程共有6 個(gè)，分別將桿件各端點(diǎn)坐標(biāo)及桿長(zhǎng)代入上式得到。

鉸接點(diǎn)約束如下所示：

式中：Xi、Xj、Xk、Xl分別是鉸接處不同桿件的端點(diǎn)坐標(biāo)；a、b、c、d分別是指各端點(diǎn)到銷(xiāo)軸處的距離。

圖1 的剪式可展結(jié)構(gòu)有4 個(gè)鉸接點(diǎn)，故相應(yīng)的鉸接點(diǎn)約束方程有4個(gè)。

圖1 中的端點(diǎn)1、端點(diǎn)8 采用與地面的鉸接，故這兩點(diǎn)的坐標(biāo)均為定值；為了保證剪式可展機(jī)構(gòu)伸展收縮時(shí)端點(diǎn)4、端點(diǎn)5在同一高度，因此需要限定這兩端點(diǎn)的距離保持不變。以上兩種邊界約束條件用方程表達(dá)可如下式：

為了方便后續(xù)的計(jì)算，建立系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)矩陣，將各個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)集合表示系統(tǒng)的位形。由上述公式（11）～（13）約束方程可將系統(tǒng)的總體約束關(guān)系表示為矩陣形式如下：

對(duì)約束方程求解偏微分方程可以得到約束條件下的雅可比矩陣Φq。

2.3 基于Baumgarte違約穩(wěn)定法的動(dòng)力學(xué)方程

針對(duì)一般系統(tǒng)模型，建立動(dòng)力學(xué)方程的方法常用的有虛功原理、達(dá)朗貝爾貝爾原理、拉格朗日方程等。前兩種方法適用于已知系統(tǒng)能量描述的情況下，而拉格朗日方程適用于已知系統(tǒng)力的關(guān)系及坐標(biāo)關(guān)系的情況下。本文使用拉格朗日乘子法[12]建立在約束方程基礎(chǔ)上的剪式可展單元系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程：

式中：M為質(zhì)量矩陣；?為約束系統(tǒng)的加速度矢量；Φq為 雅 可 比 矩 陣；λ為 拉 格 朗 日 乘 子， 取 為λ=(λ1,···,λs)T，s為約束方程的個(gè)數(shù)；F為系統(tǒng)所受廣義外力矩陣。

求解微分方程時(shí)，需要給定合適的初始解，才能獲得方程的唯一解，針對(duì)式（15）需要已知速度矢量和加速度矢量，故可對(duì)約束方程（14）求一階導(dǎo)數(shù)獲得速度約束方程，求二階導(dǎo)數(shù)獲得加速度約束方程：

聯(lián)立方程（15）和方程（17）可以得到增廣形式的動(dòng)力學(xué)方程：

在利用上式進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算時(shí)，由于方程只顯含加速度約束條件，故所得結(jié)果僅對(duì)加速度收斂，為了保證所得結(jié)果同時(shí)對(duì)位移、速度、加速度收斂，引入Baumgarte 約束違約穩(wěn)定法進(jìn)行求解，在上式中加入速度和位移的修正量，將式（17）改為：

此時(shí)動(dòng)力學(xué)方程改為：

式中：α、β均為大于0的修正系數(shù)，一般α、β取值范圍為5～50時(shí)對(duì)結(jié)果違約校正效果較好。

3 算例分析與仿真結(jié)果

在推導(dǎo)出系統(tǒng)質(zhì)量矩陣的基礎(chǔ)上，在i時(shí)刻，首先得到約束方程Φi，并求解一節(jié)偏微分得到雅可比矩陣，進(jìn)一步地通過(guò)式（17）求出加速度右項(xiàng)ηi，結(jié)合系統(tǒng)受力、坐標(biāo)和速度初始條件，根據(jù)式（20）求解方程可以得出q?i，對(duì)q?i進(jìn)行數(shù)值積分，可以得到此時(shí)刻的速度q?i以及坐標(biāo)qi，將所求得的速度和坐標(biāo)分別代入式（14）、式（16），如果滿(mǎn)足精度范圍，則進(jìn)行下一輪循環(huán)，直至完成預(yù)設(shè)時(shí)間內(nèi)的所有數(shù)值解。

見(jiàn)圖2，由4 個(gè)長(zhǎng)連桿和2 個(gè)短連桿組成的剪式可展結(jié)構(gòu)，L16=0.436 m，L28=0.436 m，L25=0.436 m，L46=0.436 m，L23=0.16 m，L67=0.16 m，鉸點(diǎn)7 和鉸點(diǎn)8 的距離為L(zhǎng)28∕4，鉸點(diǎn)3 和端點(diǎn)4 的距離為L(zhǎng)46∕4。6 只連桿的橫截 面A=0.02 m×0.03 m，密 度ρ=7 850 kg∕m3，端點(diǎn)1 和端點(diǎn)8 坐標(biāo)固定，但能繞各自鉸點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，在端點(diǎn)6 處有一驅(qū)動(dòng)器，恒定為F=20 N 沿著x軸負(fù)方向，在驅(qū)動(dòng)器作用下，該剪式可展結(jié)構(gòu)可以伸展或收縮。

圖2 剪式可展單元組成及長(zhǎng)度標(biāo)號(hào)

取各端點(diǎn)坐標(biāo)為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)如下：

根據(jù)式（10）可以得到系統(tǒng)組裝后的質(zhì)量矩陣為：

式中：

由式（11）～（13），根據(jù)系統(tǒng)的桿長(zhǎng)約束、鉸接點(diǎn)約束、端點(diǎn)邊界約束，可得全部約束方程如下：

對(duì)上式約束方程求解偏微分可以得到約束方程的雅可比矩陣：

式中帶兩個(gè)下標(biāo)的元素表示兩個(gè)坐標(biāo)的差值，如：xij=xi-xj，代表xi和xj的坐標(biāo)之差。

根據(jù)式（17）求得的加速度右項(xiàng)為：

根據(jù)前節(jié)描述，可以知道系統(tǒng)所受力的廣義矩陣為：

在代入已知初始時(shí)刻的位置矢量和速度矢量后，將式（21）～（25）代入式（20）中，采用Runge-Kutta 法完成數(shù)值積分運(yùn)算，可以得到在展開(kāi)過(guò)程中剪式可展單元各端點(diǎn)的位置、速度、加速度隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)，如圖3～5所示。

圖3 節(jié)點(diǎn)x方向位移隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

由圖3 和圖4 看出，剪式可展結(jié)構(gòu)在展開(kāi)過(guò)程中在x方向上的坐標(biāo)變化不大，而在y方向上變化很大，這極大發(fā)揮了可展結(jié)構(gòu)的特有優(yōu)勢(shì)，即很小范圍的驅(qū)動(dòng)能夠?qū)崿F(xiàn)更大范圍的展開(kāi)空間。從圖5和圖6可得到速度隨著展開(kāi)高度的增加越來(lái)越快，且非受力一側(cè)的節(jié)點(diǎn)速度要大于受力一側(cè)的節(jié)點(diǎn)速度，如節(jié)點(diǎn)2、節(jié)點(diǎn)3 不論是x方向速度還是y方向速度都比相對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)6 和節(jié)點(diǎn)7 的速度要快，這是本文所研究的含有不同桿件長(zhǎng)度的剪式可展單元的特有屬性。由圖7 和圖8 可知，在展開(kāi)過(guò)程中，x方向上的加速度在給定時(shí)間內(nèi)一直呈增加的態(tài)勢(shì)，而在y方向上，各節(jié)點(diǎn)的加速度在增加到一個(gè)峰值后會(huì)降低，且加速度降低速度更快，時(shí)刻表1 s 中累積的幅值，僅用時(shí)0.3 s 就降低到時(shí)間地點(diǎn)時(shí)刻的加速度，這表明剪式可展機(jī)構(gòu)展開(kāi)過(guò)程較復(fù)雜，工程應(yīng)用時(shí)，為了保證結(jié)構(gòu)能夠穩(wěn)定展開(kāi)，需要根據(jù)圖5～8 反饋的信息制定合理的控制策略，以滿(mǎn)足實(shí)際的需求。綜合位移、速度、加速度隨時(shí)間的變化關(guān)系來(lái)看，本文所設(shè)計(jì)的一種含不同桿件長(zhǎng)度的剪式可展機(jī)構(gòu)整體運(yùn)行平穩(wěn)。

圖4 節(jié)點(diǎn)y方向位移隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

圖5 節(jié)點(diǎn)x方向速度隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

圖6 節(jié)點(diǎn)y方向速度隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

圖7 節(jié)點(diǎn)x方向加速度隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

圖8 節(jié)點(diǎn)y方向加速度隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

4 結(jié)束語(yǔ)

（1）本文提出一種由不同長(zhǎng)度桿件組成的剪式可展單元結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)在承載時(shí)不像傳統(tǒng)剪式結(jié)構(gòu)隨著高度的升高重量會(huì)偏向一側(cè)，造成受力不均影響穩(wěn)定性，反而伸展過(guò)程中最底部的鉸點(diǎn)位置不變，有效提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和穩(wěn)定性。

（2）根據(jù)剪式可展單元的基本約束關(guān)系，即桿長(zhǎng)約束、鉸接點(diǎn)約束、端點(diǎn)邊界約束，建立了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，采用基于Baumgarte違約穩(wěn)定法使方程得到收斂的結(jié)果。

（3）剪式可展結(jié)構(gòu)在展開(kāi)過(guò)程中在x方向上的坐標(biāo)變化不大，而在y方向上變化很大，這極大發(fā)揮了可展結(jié)構(gòu)的特有優(yōu)勢(shì)，即很小范圍的驅(qū)動(dòng)能夠?qū)崿F(xiàn)更大范圍的展開(kāi)空間。且非驅(qū)動(dòng)力一側(cè)的節(jié)點(diǎn)速度要大于受驅(qū)動(dòng)力一側(cè)的節(jié)點(diǎn)速度，如節(jié)點(diǎn)2、節(jié)點(diǎn)3 不論是x方向速度還是y方向速度都比相對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)6 和節(jié)點(diǎn)7 的速度要快，這是本文所研究的含有不同桿件長(zhǎng)度的剪式可展單元的特有屬性。研究結(jié)果可以為對(duì)稱(chēng)剪式機(jī)構(gòu)的工程應(yīng)用和制定展開(kāi)過(guò)程的精確控制提供理論依據(jù)。