一題多解求發(fā)散，巧妙添加輔助線

周強(qiáng)　鄧晴

[摘? 要] 幾何題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)，同時(shí)也是中考數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)之一，而正確添加輔助線往往是解決一道幾何題的關(guān)鍵. 輔助線起到了聯(lián)系已知條件和未知量的橋梁作用，不同輔助線的做法能夠?qū)崿F(xiàn)一道幾何題的“一題多解”. 研究者以一道幾何題為例，從不同的角度作出輔助線，在實(shí)現(xiàn)一題多解的同時(shí)拓展學(xué)生思維，以期為學(xué)生解題以及教師教學(xué)提供參考.

[關(guān)鍵詞] 輔助線;一題多解;數(shù)學(xué)幾何題

一道幾何題作不同輔助線實(shí)現(xiàn)“一題多解”的例子

在一次批改學(xué)生測(cè)驗(yàn)卷的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)一道幾何填空題學(xué)生們做的不是很理想，大多數(shù)學(xué)生沒(méi)有做出來(lái). 而在上課評(píng)講此題的過(guò)程中，有多種不同的做法，這些不同的做法都是因?yàn)閺牟煌悸穼ふ彝黄瓶?，作不同的輔助線. 筆者將此題進(jìn)行了深入的剖析，列舉出多種不同的方法.

試題呈現(xiàn)

如圖1，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，等邊三角形DEF的頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在直角三角形的三邊上，則EF長(zhǎng)的最小值是多少？

解題分析

第一，簡(jiǎn)單分析題目，理清大致方向.

初次讀題將已知數(shù)據(jù)在圖中對(duì)應(yīng)出來(lái)并進(jìn)行簡(jiǎn)單分析，理清問(wèn)題求解的大致方向. △ABC是固定長(zhǎng)度且含有特殊角30°的直角三角形，內(nèi)嵌一個(gè)大小不定的等邊三角形DEF，同時(shí)△CDF也是一個(gè)直角三角形. 所求線段EF長(zhǎng)的最小值，這是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)求定直線最值的典型例題，雖然動(dòng)點(diǎn)有三個(gè)，但由這三個(gè)動(dòng)點(diǎn)所構(gòu)成的三角形始終是等邊三角形.

第二，再次分析題目，挖掘隱含條件.

可借助確定性分析，剖析圖形結(jié)構(gòu)，根據(jù)已知條件分析圖形中不變的幾何元素，或者變化過(guò)程中不變的幾何關(guān)系[1]，挖掘更多隱含條件. 無(wú)論點(diǎn)D，E，F(xiàn)怎樣移動(dòng)，△DEF三邊始終相等，于是求線段EF的最小值可以看作是求線段DE或DF的最小值. 且三個(gè)角與∠B相等均為60°，于是∠BDE與∠BED的和就等于∠BDE與∠FDC的和等于120°，所以∠BED等于∠FDC，同理可得∠BDE等于∠AEF. 此時(shí)有邊等、角等的關(guān)系，自然會(huì)想到全等，但條件不夠，所以能夠初步想到必須添加輔助線.

第三，條件預(yù)設(shè)處理，尋找解題突破.

條件預(yù)設(shè)處理是指基于已知邊與角的條件根據(jù)導(dǎo)邊或?qū)Ы钦页龈噙吔顷P(guān)系，最后復(fù)盤(pán)邊角關(guān)系找到解題突破口. 觀察邊角關(guān)系，△BDE中始終有一角和一邊跟另一個(gè)三角形一角一邊相等，所以可以通過(guò)“邊角邊”或“角角邊”關(guān)系構(gòu)造兩個(gè)三角形全等. 同時(shí)，∠B等于∠EDF等于60°，且均在邊BC上，所以可以構(gòu)造“一線三等角”，同理邊BC也可構(gòu)造“一線三等角”. 于是，本題的突破口就在于通過(guò)一線三等角構(gòu)造三角形全等，再通過(guò)勾股定理設(shè)參求得最小值.

思路1? 在△BDE與△FCD中已知一邊一角相等，且∠B和∠EDF均在邊BC上，所以還需在BC邊上構(gòu)造一個(gè)∠G=60°，但構(gòu)造角通常不易作圖，且構(gòu)造完后DG=BE，所以可以直接延長(zhǎng)DC，使DG=BE，再連接GF，這時(shí)∠G也等于60°. 構(gòu)造線段等而不是角等的輔助線的方法，使作圖更加精準(zhǔn). 全等后設(shè)參，可以將Rt△DCF各邊表示出來(lái)，通過(guò)勾股定理求得最小值.

思路2? 從分析過(guò)程可以知道，除了在BC邊上構(gòu)造一線三等角，也可在BA邊上構(gòu)造. 做法與思路1類似，在EA上截取EM，使EM=BD，證明△BDE與△MEF全等，再設(shè)參求最小值.

思路3? 在△BDE與△FCD中已有一邊一角相等，除構(gòu)造一線三等角，還可從∠B=60°這個(gè)特殊角考慮，在△BDE中添加垂線構(gòu)造直角三角形使之與△FCD全等，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，通過(guò)角角邊證明全等，再設(shè)參求最小值.

解后反思

1. 打破常規(guī)解題思維，提高問(wèn)題解決能力

新一輪基礎(chǔ)教育改革指出，要以“培養(yǎng)全面發(fā)展的人”為核心，不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更要發(fā)展數(shù)學(xué)思維，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)思考與解決問(wèn)題. 幾何題型靈活多變，僅靠已知條件往往不能直接得出答案，添加輔助線是必經(jīng)之路. 在教學(xué)過(guò)程中，教師可以有意地進(jìn)行思維教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)素材進(jìn)行具體化數(shù)學(xué)構(gòu)思，打破常規(guī)刻板的解題思路，讓學(xué)生從不同的思維方向?qū)ν瑯訔l件進(jìn)行整合，會(huì)添加不同的輔助線. 所以一題多解能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的整合能力以及問(wèn)題解決能力. 這個(gè)過(guò)程肯定會(huì)耗時(shí)很久，但教師只要有耐心就會(huì)讓學(xué)生有信心.

2. 發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)幾何直觀能力

圖形與幾何是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的主要載體之一，它既是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，又是重點(diǎn). 主要題型是求解某個(gè)幾何量或者證明某些幾何量的關(guān)系，解答它們的難點(diǎn)就在于通過(guò)等量代換或代數(shù)計(jì)算聯(lián)系已知與未知，進(jìn)而求得結(jié)論. 這樣，能在解題過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的模型化思想、類比思想、數(shù)形結(jié)合思想等.

3. 巧添不同輔助線，強(qiáng)化圖形解題能力

在解決幾何題的過(guò)程中合理添加輔助線，能夠起到在已知條件和未知量之間構(gòu)建橋梁、將復(fù)雜圖形簡(jiǎn)單化、將隱含條件明朗化、將分散條件集中化等的作用[2]. 本題中，已知一對(duì)邊、一對(duì)角相等，顯然可添加輔助線構(gòu)造全等，又知道同一邊有兩個(gè)60°角，能想到構(gòu)造一線三等角. 輔助線的添加沒(méi)有固定法則，同一道題目可以從不同角度、不同層次添加不同的輔助線，從而實(shí)現(xiàn)同一道題目多種方法與途徑解答，即“一題多解”，以此提高學(xué)生對(duì)圖形的感知力，強(qiáng)化解題能力.

結(jié)束語(yǔ)

近年來(lái)，幾何題一直是中考數(shù)學(xué)中的壓軸題目，它形式不一、靈活多變，往往直接利用所給條件無(wú)法解決問(wèn)題，必須借助輔助線. 而輔助線的做法往往也不是唯一的，教師可以在平時(shí)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生作不同輔助線解題，這有利于挖掘?qū)W生的潛能，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力. 學(xué)生本身也應(yīng)該多動(dòng)腦思考，養(yǎng)成主動(dòng)思考的良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，這樣才能從被動(dòng)變?yōu)橹鲃?dòng)，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]付粉娟，陳法超. 基于通性通法? 探求一題多解[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（02）：16-19.

[2]陳玲. 輔助線在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J]. 科普童話，2016（26）：53.