關(guān)于“用二次函數(shù)解決問題”的教學探討

王芳

[摘? 要] “用二次函數(shù)解決問題”的內(nèi)容充分體現(xiàn)了數(shù)學知識的應用性，教師在課堂教學時要充分立足實際問題，從生活中取材，引導學生體驗問題抽象、建模解析的過程，讓學生學會總結(jié)二次函數(shù)求解實際問題的策略.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);實際問題;生活情景;建模;教學策略

“用二次函數(shù)解決問題”章節(jié)知識旨在引導學生學以致用，利用二次函數(shù)相關(guān)知識來解決實際問題，教學重點是引導學生掌握應用數(shù)學知識解決實際問題的方法. 而教學的關(guān)鍵有三點：一是讓學生體會二次函數(shù)的應用性，提升應用意識;二是引導學生感知實際問題向數(shù)學問題抽象的過程，掌握知識應用的方法;三是引導學生感悟數(shù)學思想，發(fā)展核心素養(yǎng). 下面基于上述三大關(guān)鍵點，進行教學探討.

融入生活情景，感悟知識應用

“用二次函數(shù)解決問題”章節(jié)內(nèi)容的核心思想是“學以致用”，即利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)來解決生活中的問題，故課堂教學建議采用生活情景導入課堂的方式，讓學生感知生活中的數(shù)學，體會知識的應用性.

二次函數(shù)的圖像是特殊的曲線，教學中可以拱橋為主題，引導學生探究思考.

問題1：如圖1所示，街心公園有一座拱橋，拱橋的橋洞為拱起的曲線，試思考該曲線與數(shù)學中的什么圖形相似？

引導：教學中讓學生關(guān)注拱橋橋洞曲線所呈現(xiàn)的圖形，讓學生感知生活中的“拋物線”，從而聯(lián)想到二次函數(shù)的圖像，建立生活實物與數(shù)學知識的聯(lián)系.

問題2：已知拱頂距離水面2 m時，水面的寬為4 m，試分析當水面下降1 m時，水面增加的寬度為多少？

引導：該問題旨在引導學生深入思考拱橋橋洞曲線中的數(shù)學原理和規(guī)律，自然而然地聯(lián)想到利用二次函數(shù)的相關(guān)知識來解決問題，進而確定將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的思路，為后續(xù)的教學探究做基礎(chǔ).

體會問題轉(zhuǎn)化，感知建模方法

將生活問題抽象為數(shù)學問題是數(shù)學建模的過程，對于學生而言該過程較為復雜，也是本章節(jié)教學的關(guān)鍵. 教學中需要引導學生進行問題轉(zhuǎn)化，感知數(shù)學建模的方法.

上述情景問題為一種數(shù)學模型，可引導學生從中抽象數(shù)學模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學關(guān)系，也是二次函數(shù)解決實際問題的常規(guī)過程，可分步進行：確定曲線→建立坐標系→設定曲線解析式→提取坐標→求解析式→解決問題.

第一步：確定曲線

引導學生聯(lián)想數(shù)學圖形，確定拱橋橋洞形狀為拋物線.

第二步：建立坐標系

引導學生思考如何建立坐標系，哪種方式所建坐標系更有利于求點坐標，教學中可采用對比的方式，分別以橋洞的最高點（如圖2）和左側(cè)的最低點（如圖3）為原點建系，從而使學生體會軸對稱圖形建系的特點.

第三步：設定解析式，求點坐標

該步教學需要結(jié)合二次函數(shù)的知識，根據(jù)拋物線在坐標系中的位置特點，直接設定解析式，即y=ax2. 而在求點坐標中可采用信息直譯的方式，引導學生根據(jù)題干條件直接推導坐標.

橋洞的最高點（0，0），拱頂距離水面2 m時，水面的寬為4 m，則左側(cè)最低點（-2，-2），右側(cè)最低點（2，-2）.

在此基礎(chǔ)上教學函數(shù)求解析式最典型的方法——待定系數(shù)法，引導學生將坐標代入解析式中求出a=-，從而確定拋物線的解析式為y=-x2. 教學中可引導學生重溫二次函數(shù)性質(zhì)，從曲線頂點位置、拋物線開口兩方面來思考所求解析式是否與圖像曲線匹配.

第四步：解決問題

該環(huán)節(jié)是知識應用的重要階段，需要利用函數(shù)性質(zhì)求解，然后將所求結(jié)果反映到實際問題中，即完成“數(shù)學分析→推導結(jié)論”的過程. 對于本題目可將水面下降1 m時，坐標視為（x1，-3），進而將其代入拋物線解析式，求出x1=±，然后結(jié)合生活實際確定此時橋下水面的寬度為2m，故可確定水面增加的寬度為（2-4）m.

上述四步充分體現(xiàn)了用二次函數(shù)解決問題的過程，完成了“生活實際問題→數(shù)學問題”、“數(shù)學知識求解→生活實際結(jié)論”兩大過程的轉(zhuǎn)化過渡，對于深層次地拓展學生的知識和思維極為有利，同時其中蘊含了數(shù)學建模和數(shù)形結(jié)合兩大核心素養(yǎng).

總結(jié)解題步驟，形成破題策略

“用二次函數(shù)解決問題”章節(jié)知識教學中，需要采用“導學自主”的模式，以學案為載體，以導學為方法. 除了要注意引導學生探究解決問題外，還要注重總結(jié)解題步驟，形成二次函數(shù)解決問題的策略. 總結(jié)環(huán)節(jié)建議采用自主思考、分組討論的方式，教師適時點撥，引導學生總結(jié).

上述探究環(huán)節(jié)引導學生分四步進行建模，也是二次函數(shù)解決實際問題的思維過程，教學中要引導學生分析解題步驟，探索思維推理，形成相應的解題策略. 用二次函數(shù)的相關(guān)知識解決實際問題，可以分為六個思維環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)緊密聯(lián)系，并形成完整的閉環(huán)，如圖4所示，教學中要立足思維重點，尊重學生的主體地位，引導學生思考討論.

環(huán)節(jié)1：分析實際問題

該環(huán)節(jié)的重點是分析實際問題，學生要引導關(guān)注題干條件，尤其是其中的圖像，聯(lián)系所學思考關(guān)聯(lián)函數(shù). 教學中可引導學生重溫所學函數(shù)的圖像，總結(jié)圖像特征.

環(huán)節(jié)2：二次函數(shù)

該環(huán)節(jié)要確定實際問題所符合的函數(shù)，可從兩個視角進行引導：一是結(jié)合對應圖像，如拱橋的形狀、噴泉的水柱均為拋物線，符合二次函數(shù)的圖像曲線;二是直接提取題干關(guān)鍵詞，如拋物線、弧形曲線等. 教學時引導學生分組討論，可從哪些條件確定問題符合的函數(shù).

環(huán)節(jié)3：建立坐標系

該環(huán)節(jié)是建模的基礎(chǔ)，也是實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題的關(guān)鍵階段，教學的關(guān)鍵是引導學生合理選取坐標原點，將實物曲線放置在坐標系中. 教學時可讓學生分組構(gòu)建坐標系，展示成果，進行自評，自主總結(jié)建系方法.

環(huán)節(jié)4：推導點坐標

該環(huán)節(jié)是文字語言向數(shù)學語言轉(zhuǎn)化的過程，也是對題干條件的直譯. 要引導學生關(guān)注題干的數(shù)字信息，如距離、長度、高度等，依托坐標系轉(zhuǎn)化為關(guān)鍵點的坐標. 教學中要引導學生掌握點坐標推導的方法，如聯(lián)系幾何知識，由矩形、正方形性質(zhì)來推導線段長等. 故教學中要注重思維融合，激發(fā)學生的創(chuàng)新思維.5C49615E-33DD-4F5F-A3FC-DF23295FDB88

環(huán)節(jié)5：求解析式

該環(huán)節(jié)需要重點講解待定系數(shù)法，需要建立“解析式未知量個數(shù)”與“點坐標個數(shù)”的對應關(guān)系，故要引導學生辨析思考在個數(shù)不對應的條件下是否可求解析式. 教學中分類設置探究活動，讓學生分組討論求解析式.

環(huán)節(jié)6：利用函數(shù)知識求解

即利用二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)來解決問題，實現(xiàn)探究閉環(huán)，教學的關(guān)鍵是引導學生靈活利用函數(shù)的最值特性和單調(diào)性來求解. 教學時可依托典型問題，如利用最值特性分析利潤、曲線最值點等，引導學生掌握解題的本質(zhì)，及時總結(jié)，幫助學生積累經(jīng)驗.

滲透數(shù)學思想，發(fā)展核心素養(yǎng)

函數(shù)是描述現(xiàn)實事物變化規(guī)律的數(shù)學模型，用函數(shù)解決實際問題過程中突出體現(xiàn)兩大思想：模型思想和數(shù)形結(jié)合思想，即基于事物規(guī)律構(gòu)建二次函數(shù)模型，結(jié)合函數(shù)圖像及性質(zhì)來解決實際問題. 故教學中要有意識地滲透數(shù)學思想，注意發(fā)展學生的核心素養(yǎng)，這也是新課標理念的體現(xiàn).

從現(xiàn)實生活或具體的情景中抽象數(shù)學問題，利用數(shù)學語言來表示問題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，該過程是基于模型思想進行的轉(zhuǎn)化與構(gòu)建. 教學中可結(jié)合具體問題引導學生思考、關(guān)注問題中兩大變量的關(guān)系，利用函數(shù)來加以研究. 如利用二次函數(shù)的最值來分析生活中的面積最值、距離最值和利潤最大等問題. 探究教學要注意聯(lián)系生活，讓學生感悟知識應用.

而數(shù)形結(jié)合是探究二次函數(shù)的重要方法，貫穿于教學探究整個過程. 教學中要引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，建立坐標系繪制函數(shù)圖像，利用圖像性質(zhì)來解決問題. 如圖像的開口方向、頂點的坐標值，即若a<0，當x=-時，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最大值.

以產(chǎn)品利潤問題教學為例：已知某件商品的每件的進價為20元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在某段時間內(nèi)，若以每件x元（20≤x≤30，且x為整數(shù)）出售，可賣出（30-x）件. 若要使利潤最大，則每件的售價應為多少元？

教學中首先要引導學生根據(jù)條件列出函數(shù)解析式：y=-x2+50x-600，在此基礎(chǔ)上引導學生繪制對應的圖像，確定頂點坐標（25，25），如圖5所示. 然后引導學生關(guān)注圖像性質(zhì)，理解x=25時，二次函數(shù)有最大值，此時的利潤最大. 這樣，能讓學生體驗數(shù)形結(jié)合解析問題的過程，感知數(shù)形結(jié)合的思維優(yōu)勢，感悟其中的思想內(nèi)涵.

總之，“用二次函數(shù)解決問題”章節(jié)內(nèi)容充分體現(xiàn)了“學以致用”的教學理念，教學中要打破傳統(tǒng)的“講授”模型，要尊重學生的主體地位，尊重學生的認知發(fā)展，精設教學環(huán)節(jié)，讓學生體驗建模過程，掌握解題的策略. 同時探究過程要讓學生體會數(shù)學思想，發(fā)展學生的核心素養(yǎng).5C49615E-33DD-4F5F-A3FC-DF23295FDB88