探尋作圖本質(zhì)　明晰作法之理

萬濤

[摘? 要] 尺規(guī)作圖是考查學(xué)生動手實踐的數(shù)學(xué)思維能力和運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，試題主要考查學(xué)生明晰尺規(guī)作圖的作圖原理.這給我們的教學(xué)啟示是在課堂教學(xué)時可以對同一道尺規(guī)作圖題進行深刻的剖析，不斷優(yōu)化作圖的方法，增強學(xué)生與數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，訓(xùn)練學(xué)生思維的發(fā)散性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 尺規(guī)作圖;作圖原理;發(fā)散思維

尺規(guī)作圖是在學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)上和所具備的基本活動經(jīng)驗的前提下，考查學(xué)生動手實踐的數(shù)學(xué)思維能力和運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力. 這種考查能使學(xué)生明晰尺規(guī)作圖的原理，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維[1]. 下面針對2021年南京市中考數(shù)學(xué)試題第25題，和大家一起探討這道題的作圖原理，同時思考教師如何在課標的引領(lǐng)下，提升學(xué)生尺規(guī)作圖的能力，使得學(xué)生學(xué)會分析問題，明晰作圖原理.

試題呈現(xiàn)

如圖1，已知P是☉O外一點，用兩種不同的方法過點P作☉O的一條切線. 要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖;（2）保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明.

試題分析

這是一道尺規(guī)作圖題，要求學(xué)生只用直尺和圓規(guī)，過點P作☉O的一條切線. 要確定切線，根據(jù)兩點確定一條直線，已知點P，關(guān)鍵在☉O上找一個點（即點B），使得滿足直線PB與☉O相切.

本題簡潔明了，但立意較高，學(xué)生感覺困難的主要原因是不理解尺規(guī)作圖的原理，找不到目標圖形，在有限的時間內(nèi)，部分學(xué)生難以形成正確的思路，該如何突破尺規(guī)作圖的思維屏障，該怎么想？方法是什么？要解決尺規(guī)作圖這類問題，首先要想象出符合要求的圖形，在此基礎(chǔ)上展開幾何逆向推理，進行有關(guān)聯(lián)想，獲得目標圖形，然后利用基本的尺規(guī)作圖，作出目標圖形.

作法探尋

1. 作圖原理——直徑所對的圓周角是直角

首先需要畫出符合要求的圖形，進行可能的幾何構(gòu)圖. 如圖2，假設(shè)過點P已經(jīng)畫出PB是☉O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)，我們能得到PB⊥OB. △PBO是Rt△，并且點P和點O確定，現(xiàn)在要確定點B，點B是直角頂點，學(xué)生會想到什么？很自然地，學(xué)生會聯(lián)想到直徑所對的圓周角是直角，這個目標圖形就是直徑PO所對的圓周角.

作法：如圖3，作PO的垂直平分線，找到PO的中點A，然后以A為圓心，AP或AO為半徑作☉A，交☉O于點B，則直線PB就是☉O的切線.

2. 作圖原理——同弧所對的圓周角相等

如圖4，假設(shè)過點P已經(jīng)畫出PB是☉O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)，得到PB⊥OB，△PBO是Rt△. 如果我們根據(jù)同弧所對的圓周角相等，構(gòu)造一個△PCO，使PC⊥OC，這樣只要作Rt△PCO的外接圓☉A，☉A與☉O的交點為點B，則∠PBO=∠PCO=90°，又因為PB經(jīng)過☉O的外端點B，所以PB是☉O的切線，目標圖形就是直角∠PCO.

作法：如圖5，作射線PE，過直線外一點O作OC⊥PE，垂足為C，作△PCO的外接圓，交☉O與點B，作直線PB，則直線PB就是☉O的切線.

3. 作圖原理——一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形

除了直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等外，還能如何判斷△PBO是Rt△呢？學(xué)生會聯(lián)想到在一個三角形中，如果一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形也是直角三角形，目標圖形就是中線BC（滿足BC=1/2PO）.

如圖6，學(xué)生只需要找到PO的中點C，然后以C為圓心，CO為半徑畫弧，交☉O于點B，則直線PB就是☉O的切線.

作法：如圖7，作PO的垂直平分線，找到PO的中點C，或者為了和作法1不同，也可以在☉O上任選一點A，連接OA，PA. 作OA的垂直平分線，找到OA的中點D，作∠OAP=∠ODC. 交PO于點C，以C為圓心，CO為半徑畫弧，交☉O于點D，則直線PB就是☉O的切線.

4. 作圖原理——全等三角形對應(yīng)角相等

由于確定點B存在困難， 不妨先構(gòu)造一個與其全等的Rt△DAO，使得半徑OA=OB，OD=OP，DA=PB. 由于∠DAO為90°，所以∠PBO為90°，又因為PB經(jīng)過點B，所以，直線PB就是☉O的切線. 所以目標圖形就是Rt△DAO.

作法：如圖8，在圓上任意選一個點A（不與點B重合），連接OA，過點A作OA的垂線AC，以點O為圓心，OP為半徑畫弧，交直線AC與點D，連接OD，得到Rt△DAO，顯然直線DA是☉O的切線，以P為圓心，DA為半徑畫弧，交☉O于點B，則直線PB就是☉O的切線.

5. 作圖原理——等腰三角形三線合一

由于切線垂直過切點的半徑，不妨構(gòu)造目標圖形——等腰△POC. 根據(jù)等腰三角形三線合一，能得到直線PB是☉O的切線，所以目標圖形就是等腰△POC.

作法：如圖9，在圓上任意取一點A，延長OA并截取，使得OA=AD，以O(shè)為圓心，OD為半徑畫大圓O，再以點P為圓心，OP為半徑畫弧，交大圓O于點C，連接OC，OP，PC，則得到目標圖形——等腰△POC. 因為OC與小圓O交于點B，則OB=BC，連接PB，根據(jù)等腰三角形的三線合一，得到直線PB是☉O的切線.

6. 作圖原理——射影定理和切割線定理

如圖10，畫好切線PB，割線PA交☉O于點D，根據(jù)切割線定理，得到PB2=PD·PA，聯(lián)想到母子三角形相似時，根據(jù)射影定理，得到PE2=PD·PA，那么PB=PE，要想作出切線PB，只要得到PE即可，所以目標圖形就是線段PE.

作法：如圖11，連接PO，并延長，交☉O于點D和點A，作PA的中點C，以點C為圓心，CP為半徑畫半圓，過點D作DE⊥PA，交半圓于點E，連接PE和AE. 這樣根據(jù)射影定理，得PE2=PD·PA，然后，以點P為圓心，PE為半徑畫弧，交☉O于點B，連接PB，則直線PB是☉O的切線.3B07C8FC-B918-4C58-BC2A-B1B86894886D

教學(xué)啟示

1. 關(guān)注課程標準，培養(yǎng)作圖能力[2]

課標要求：（1）能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段;作一個角等于已知角;作一個角的角平分線;作一條線段的垂直平分線;過一點作已知直線的垂線. （2）會利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形. （3）會利用基本作圖完成：過不在同一直線上的三點作圓，作三角形的外接圓、內(nèi)切圓;作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形. （4）在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法.

由于教材中沒有把尺規(guī)作圖作為獨立的一章來歸納和總結(jié)，只是把與尺規(guī)作圖有關(guān)的知識零星分布在不同的章節(jié)，導(dǎo)致一些教師教學(xué)時對尺規(guī)作圖不太關(guān)注. 遇到尺規(guī)作圖的問題，把其當成技能來訓(xùn)練，忽略對其背后的作圖本質(zhì)和作圖的原理的思考. 在日常教學(xué)中，因為平時作業(yè)中很少尺規(guī)作圖，平時考試也幾乎不考作圖，導(dǎo)致部分教師沒有把尺規(guī)作圖放在一個重要的位置，忽視了尺規(guī)作圖的重要性，使得學(xué)生對尺規(guī)作圖題不會分析，找不到作圖的本質(zhì)，不明白作圖的原理，缺乏系統(tǒng)的認識. 因此，筆者借這次南京市中考數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖題，引導(dǎo)教師關(guān)注課標，重視尺規(guī)作圖，培養(yǎng)學(xué)生尺規(guī)作圖的能力.

2. 深入分析條件，探尋作圖本質(zhì)

尺規(guī)作圖需要學(xué)生先分析條件，這道題 “已知什么，要作什么”，然后再思考該怎么作？已知圓外一點P和☉O，要過點P作☉O的切線. 下面該怎么作呢？在☉O上找點B，使得直線PB是☉O的切線. 怎么找點B，進行可能的幾何構(gòu)圖，在構(gòu)圖直觀的基礎(chǔ)上展開幾何逆向推理，并作出判斷，獲得目標圖形，作出目標圖形.

在平時的教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以分析條件為重點，要求學(xué)生對題中的條件要逐個地去思考，依據(jù)定義、公理或定理等，把已知條件進行一步步推理，得出新的結(jié)論，由果索因，延伸出盡可能多的結(jié)論，貫通條件和結(jié)論的“橋梁”. 同時分析問題的過程中也不要忽視題中的隱含條件，比如本題中☉O的半徑和OP的長是已知的. 這道尺規(guī)作圖題，找到目標圖形是直角三角形后，學(xué)生接著就要思考，如何才能確定直角頂點，如何作出目標圖形，學(xué)生自然會和數(shù)學(xué)知識建立關(guān)聯(lián)，想到直徑所對的圓周角是直角，如果一個三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形，等腰三角形的三線合一等，這些就是學(xué)生需要探尋的作圖原理.

3. 經(jīng)歷作圖過程，明晰作法之理

教師在日常教學(xué)中，應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷完整的尺規(guī)作圖的思考過程，不僅要求學(xué)生會尺規(guī)作圖，還要求學(xué)生明白尺規(guī)作圖的道理. 筆者曾經(jīng)問過一個九年級的學(xué)生，作一個三角形的外接圓該怎么作？這個學(xué)生不假思索地告訴筆者：“作這個三角形兩條邊的垂直平分線，其交點就是圓心，這個交點與其中一個頂點的連線就是半徑. ”筆者接著追問：“為什么要作垂直平分線呢？”他的回答出乎筆者的意料，他說：“老師就是這樣教的. ”可見，學(xué)生并不清楚這樣作圖的道理，作一個三角形的外接圓為什么要作這個三角形兩條邊的垂直平分線，其實作三角形的外接圓是根據(jù)到線段兩端的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，這才是“作法之理”.

在平時的教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生這種尺規(guī)作圖的方法是“怎么想到的”，要對學(xué)生適時進行引導(dǎo)，讓學(xué)生親自去分析條件，去體驗，去動手操作，去經(jīng)歷探索作法的過程，明晰作圖的道理. 學(xué)生只有親歷這個過程，才能對尺規(guī)作圖問題積累更加豐富的作圖經(jīng)驗.

4. 發(fā)散學(xué)生思維，領(lǐng)悟多種作法[3]

根據(jù)五種基本的尺規(guī)作圖，能產(chǎn)生很多綜合性的方法，這個探究的過程就是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)散. 本題要求用兩種不同的方法作圖，并對每一種方法給出文字說明，在學(xué)生知法明理的基礎(chǔ)上，融入邏輯推理，讓學(xué)生在動手、動腦、動口中發(fā)散數(shù)學(xué)思維.

在教學(xué)過程中，教師要引領(lǐng)學(xué)生從不同的方向和角度去深入探究，找到此題尺規(guī)作圖問題的不同作法，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的魅力和樂趣. 只有學(xué)生認真去研究一個問題，深入地思考下去，主動去分析，才能逐漸領(lǐng)悟出其中的道理. 同時對一道尺規(guī)作圖題進行深刻的剖析，可以優(yōu)化作圖的方法，訓(xùn)練學(xué)生思維的發(fā)散性，建立與該幾何知識點相關(guān)的知識鏈，使得學(xué)生對幾何的學(xué)習形成一個系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在平時的課堂教學(xué)中，教師要不斷優(yōu)化自己的教學(xué)設(shè)計，多從學(xué)生的角度去考慮，對尺規(guī)作圖的教學(xué)課可以設(shè)計一些開放性問題，以解放學(xué)生的思維，促進學(xué)生思維的發(fā)展. 問題的設(shè)計，需讓學(xué)生先獨立思考，然后互相交流，這樣學(xué)生能積極投入思考中，通過變換不同的思維方式，明晰作圖之理，學(xué)會尺規(guī)作圖. 同時，問題的設(shè)計也能發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，促使學(xué)生領(lǐng)悟多種作法.

參考文獻：

[1]顧香才. 歸納來“推斷”，演繹去“驗證”——在“尺規(guī)作圖”教學(xué)中領(lǐng)悟波利亞的解題思想[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（04）：21-22+25.

[2]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[3]肖世兵. 近三年中考“ 尺規(guī)作圖”命題分析、感悟及實踐[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2020（06）：60-62.3B07C8FC-B918-4C58-BC2A-B1B86894886D