激起興趣　引發(fā)思考　掌握方法

[摘? 要] 教師在教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生用自己學(xué)過的知識(shí)尋找解決問題的方法. 研究者以“二元一次方程組的應(yīng)用”的教學(xué)為例，讓學(xué)生對(duì)比體會(huì)方程（組）的優(yōu)越性，從問題的“啟”到學(xué)生的“悟”，教學(xué)中注重引導(dǎo)與鋪墊、轉(zhuǎn)化與類比，使教學(xué)難點(diǎn)得到突破，學(xué)生思維能力得到提升、興趣得到激發(fā)，讓學(xué)生知曉問題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，最終掌握通過尋找等量關(guān)系列出二元一次方程組解決問題的方法.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)文化;方程;數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》已經(jīng)明確提出，課程實(shí)施要以不斷發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為宗旨. 課程目標(biāo)已經(jīng)從學(xué)科體系走向課程育人，教學(xué)目標(biāo)已經(jīng)從知識(shí)記憶走向知識(shí)應(yīng)用[1]. 數(shù)學(xué)課堂作為數(shù)學(xué)教學(xué)主陣地，應(yīng)提供合適的學(xué)習(xí)素材作為載體將學(xué)科知識(shí)與社會(huì)生產(chǎn)生活相聯(lián)系，在教學(xué)中給學(xué)生提供更多貼近其生活的真實(shí)生活場景和問題情境，讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)真實(shí)、數(shù)學(xué)有用、數(shù)學(xué)好玩，引導(dǎo)學(xué)生從解題走向解決問題！筆者在執(zhí)教“二元一次方程組的應(yīng)用”一課時(shí)，以“激起興趣、引發(fā)思考、掌握方法”為教學(xué)目標(biāo)展開教學(xué)，使教學(xué)難點(diǎn)得到有效突破，學(xué)生的思維能力得到有效提升.

備課思考

（一）學(xué)情分析

學(xué)生在本節(jié)課之前學(xué)習(xí)了一元一次方程的解法與應(yīng)用，由于剛從小學(xué)升入初中，長期受到小學(xué)列算式解應(yīng)用題的固化解題方式的影響，不少同學(xué)不習(xí)慣利用方程來解決應(yīng)用題，覺得“麻煩”（一是書寫麻煩，二是計(jì)算麻煩），覺得將實(shí)際問題數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程問題是“多此一舉”. 實(shí)際上，學(xué)生從“算術(shù)”到“方程”需要經(jīng)歷一個(gè)適應(yīng)過程，課本在前一章安排的內(nèi)容是“用字母代替數(shù)”，本章是進(jìn)一步提升學(xué)生符號(hào)意識(shí). 本節(jié)課作為“二元一次方程組的應(yīng)用”第1課時(shí)將是一個(gè)教育契機(jī)，利用具體問題讓學(xué)生通過探究、分析、對(duì)比等過程，感悟“現(xiàn)實(shí)原型”可以抽象為“數(shù)學(xué)模型”——方程模型，逐步理解方程這一數(shù)學(xué)模型對(duì)解決數(shù)量關(guān)系具有直觀、易懂且不易忘記等優(yōu)點(diǎn). 通過學(xué)習(xí)，學(xué)生不斷積累解決和分析問題的基本經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)遷移運(yùn)用到后續(xù)學(xué)習(xí)中去（如函數(shù)、不等式等），逐步達(dá)到理解和掌握.

（二）教材分析

教材在本章章前部分給出了一道選自《孫子算經(jīng)》中的歷史名題——雉（雞）兔同籠問題. 教師備課時(shí)應(yīng)充分發(fā)揮教材在教學(xué)和學(xué)習(xí)中的潛在功能，教材是文化傳播的重要載體，教材的編者也將數(shù)學(xué)文化滲透在整套教材中，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，真正把提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為教學(xué)目標(biāo). 這道有趣的數(shù)學(xué)問題學(xué)生早已熟悉，考慮到不同學(xué)段學(xué)生認(rèn)知不同這一特點(diǎn)，安排在這里一方面是說明數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，另一方面也是想讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的重要作用，激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 更重要的是讓學(xué)生在小學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上再思考，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，通過思考、對(duì)比促進(jìn)學(xué)生思維更深層次、更高質(zhì)量的發(fā)展，不斷積累知識(shí)、方法、策略，進(jìn)行新、舊知識(shí)比較，從而更好地掌握解決問題的方法.

教學(xué)過程

（一）拋出考題，激起興趣

出示一組安徽近幾年中考真題（如表1）.

提出問題：為什么中考要考這些問題？

一是考查文本閱讀能力，將生活情境數(shù)學(xué)化提煉;二是考查數(shù)學(xué)建模意識(shí)，也就是應(yīng)用能力. 通過情境的“數(shù)學(xué)化”提煉并解決，考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);三是對(duì)中國傳統(tǒng)文化的宣傳具有重要的教育意義，能激發(fā)學(xué)生的民族自豪感.

（二）回歸課本，感受史話

回到“雞兔同籠”這一歷史名題：今有雉（雞）兔同籠，上有35頭，下有94足，雉兔分別有幾只？

介紹問題背景：選自1500年前《孫子算經(jīng)》下卷第31題.

提出問題：同學(xué)們還能記得小學(xué)的做法嗎？

此時(shí)有許多學(xué)生表示忘記了，筆者找了一位還記得的同學(xué)分享解法思路，運(yùn)用的解題策略是假設(shè)法：假設(shè)全為雞，因?yàn)殡u有2只足，則共有70只足，而問題說共有94只足，說明不可能都是雞，因?yàn)槊恐煌米颖让恐浑u多2只足，要多出94-70=24只足，則說明一共有12只兔子，從而有23只雞.

算式如下：94÷2-35=12，35-12=23.

筆者引導(dǎo)學(xué)生思考，小學(xué)熟悉的問題為什么會(huì)忘記了？有的學(xué)生回答“靠記憶和模仿”，有的學(xué)生回答“不好推導(dǎo)”，有的學(xué)生回答“逆向思維不好理解”……

筆者發(fā)現(xiàn)《孫子算經(jīng)》給出的解法是這樣的：讓金雞獨(dú)立，兔子站立，則一共有47只足，這樣1只雞（頭）1只足，1只兔子（頭）2只足，35個(gè)頭47只足，從而得出兔子12只，雞23只. 和學(xué)生表述的方法類似，這種解法是借助表格分析頭和足的變化關(guān)系，進(jìn)而梳理出數(shù)量關(guān)系，這就需要學(xué)生充分讀懂題意（分析雞、兔子頭與足的變化關(guān)系），把問題聚焦在足的變化分析上，經(jīng)歷先直觀再抽象的分析過程.

問：我們剛學(xué)了一元一次方程，能不能用一元一次方程來解決這個(gè)問題呢？

若設(shè)雞有x只，則兔子有（35-x），根據(jù)足的關(guān)系得出方程2x+4（35-x）=94.

解得x=23，從而雞有23只，兔有12只.

能不能用二元一次方程組解決呢？本題有雞和兔子兩個(gè)未知量，有什么關(guān)系呢？

列出表格（如表2）：

從而雞有23只，兔有12只.

其實(shí)二元一次方程組用加減消元法將第二個(gè)方程兩邊除以2再減去第一個(gè)方程得出y=12，與列算式方法本質(zhì)上是一樣的. 另外算術(shù)法、方程法思維起點(diǎn)也是一致的，算式通過假設(shè)數(shù)值，得出變化關(guān)系;方程直接假設(shè)未知量.

問：你更喜歡哪一種解法呢？

設(shè)計(jì)意圖? 通過回憶小學(xué)做法，結(jié)合新學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)問題的決斷力和謀劃力，增加了趣味性，能引發(fā)學(xué)生的思考，體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題不同處理策略的優(yōu)缺點(diǎn)，感受數(shù)學(xué)的魅力，體會(huì)學(xué)習(xí)的動(dòng)力源泉——學(xué)以致用. 但是由于“雞兔同籠”問題學(xué)生太過于熟悉，有些同學(xué)“不認(rèn)可”利用方程組解決問題的優(yōu)越性.3B07C8FC-B918-4C58-BC2A-B1B86894886D

順勢拋出下一個(gè)問題：

《九章算術(shù)》記載：以繩測井. 若將繩三折測之，繩多五尺;若將繩四折測之，繩多一尺. 繩長、井深各幾何？

讓同學(xué)們根據(jù)自己的喜好自由選擇方法來解決，可以用算式，也可以用一元一次方程、二元一次方程組，并討論各自的方法.

三種方法分別讓一名學(xué)生說明所寫式子的含義，并分析比較各自方法的特點(diǎn)與好處.

算式：需要找出數(shù)據(jù)之間隱含的關(guān)系，往往需要結(jié)合圖形輔助分析，較為抽象和晦澀，一旦算式列好計(jì)算較為簡單，而且步驟少、計(jì)算少，雖簡約但不簡單！

方程（組）：只需要設(shè)出未知數(shù)，尋找未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，最好是直接的關(guān)系，這樣就直接“翻譯”出等式，進(jìn)而計(jì)算即可，往往看起來書寫的內(nèi)容多，但是直觀、思維含量低.

教師總結(jié)：算術(shù)法——思維是逆向思考，隱含關(guān)系難發(fā)現(xiàn)，需要借助綜合分析方能得出結(jié)果.

方程法——通過設(shè)未知數(shù)，把未知數(shù)當(dāng)成已知量，只需要列出問題中的相關(guān)代數(shù)式并建立數(shù)量關(guān)系即可. 在思維上順向，更直觀和方便，具有很大優(yōu)越，特別是有些問題很難發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的算式關(guān)系，但用方程法卻很簡單. 方程具有更廣泛的應(yīng)用性、普及性.

再次讓學(xué)生們辨析三種方法的優(yōu)劣，感受方程的魅力——普遍性、直觀性、優(yōu)越性！列算式需要反復(fù)轉(zhuǎn)譯數(shù)量運(yùn)算關(guān)系，從一種運(yùn)算轉(zhuǎn)譯成其逆運(yùn)算，有時(shí)較為抽象，思維較為復(fù)雜，而列方程則可以直接將數(shù)量關(guān)系翻譯出來，較為直接和簡便.

最后引導(dǎo)學(xué)生審視列方程的過程，總結(jié)出列方程組解決實(shí)際問題的步驟：

尋找等量關(guān)系、設(shè)未知數(shù)、列出方程、最后解和答，讓學(xué)生經(jīng)歷“模仿”，當(dāng)問題所求有兩個(gè)未知量時(shí)，必須找到兩個(gè)等量關(guān)系，組成二元一次方程組求解.

例題講解：

李先生從家到公司去上班要先經(jīng)過一段平路再過一段下坡路. 他走平路每分鐘走60米，下坡路每分鐘走80米，上坡路每分鐘走40米，從家到公司需要10分鐘，從公司到家需要14分鐘，求李先生家離公司有多少米？

提示：嘗試畫出示意圖（如圖1），可幫助找到等量關(guān)系.

課后思考? 有人說：“凡可用二元一次方程組解決的問題，都可用一元一次方程來解決. 因此，在學(xué)過一元一次方程后沒有必要再學(xué)二元一次方程組了.”對(duì)此，談?wù)勀愕目捶╗2].

設(shè)計(jì)意圖? 通過例題讓學(xué)生再次思考解決問題的過程，從中歸納解題步驟，形成解題策略并深刻理解，真正發(fā)展解題思維. 對(duì)于問題中未知量之間有和、差、倍、分或者有明確的數(shù)量關(guān)系的情況下，用一元一次方程或者二元一次方程組都可以，遵循簡潔為主. 體會(huì)方程的一般性、概括性，是刻畫現(xiàn)實(shí)生活一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型.

教后反思

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確要求將數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容，從而使數(shù)學(xué)文化從學(xué)術(shù)形態(tài)進(jìn)入課程形態(tài). 數(shù)學(xué)文化要發(fā)揮育人功能，需要教師不失時(shí)機(jī)地在課堂中介紹、展示以及解讀，對(duì)考題中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化考查進(jìn)行必要的加工，確保生動(dòng)有趣而又體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的人文價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.

本節(jié)課在學(xué)生剛學(xué)完一元一次方程及其應(yīng)用和二元一次方程組解法的基礎(chǔ)上，通過章前“雞兔同籠”圖的使用，引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問題的策略，讓學(xué)生用自己已學(xué)過的知識(shí)嘗試解決，不僅讓學(xué)生了解到習(xí)題背后的文化內(nèi)涵，更讓學(xué)生知曉問題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，掌握解決這一類問題的策略. 而且通過引入能激發(fā)學(xué)生興趣，利用幾個(gè)問題的解決強(qiáng)化方程模型思想，感受運(yùn)用對(duì)比體會(huì)方程（組）的優(yōu)越性以及將問題簡單化（列表或畫示意圖）的轉(zhuǎn)化思想. 這既是一元一次方程組解應(yīng)用題的鞏固，也為后面三元一次方程組應(yīng)用做好了鋪墊.

通過教師的問題“啟”到學(xué)生的“悟”，教學(xué)中注重引導(dǎo)與鋪墊、轉(zhuǎn)化與類比，使教學(xué)難點(diǎn)得到有效突破，學(xué)生的思維能力得到有效提升. 學(xué)生在問題引領(lǐng)下興趣得到激發(fā)，充分參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，形成數(shù)學(xué)思考[3]，最終掌握了通過尋找等量關(guān)系列出二元一次方程組解決問題的方法.

在數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)中學(xué)生除了應(yīng)具備堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的數(shù)學(xué)基本技能，還應(yīng)掌握一些探究數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)和方法. 初等教育階段學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和方法主要來自于學(xué)生自己的觀察和對(duì)老師的模仿，教師的課堂設(shè)計(jì)就顯得尤為重要. 教師要讓學(xué)生進(jìn)行有效的思考與探究活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷思維發(fā)生過程，問題解決的探索過程，新舊問題的轉(zhuǎn)化過程，問題的發(fā)現(xiàn)、提出和解決過程，潛移默化地幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

作為教師應(yīng)精心創(chuàng)設(shè)問題情境，以學(xué)生為中心，以問題為思維載體，適時(shí)點(diǎn)撥，讓學(xué)生體驗(yàn)成功，讓學(xué)生“動(dòng)”起來，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，引發(fā)學(xué)生的思考，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、自覺遷移，從而真正提升數(shù)學(xué)能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]新時(shí)代數(shù)學(xué)編寫組. 數(shù)學(xué)教師用書（七年級(jí)上冊(cè)）[M]. 上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2014.

[3]武前煒. 問題引領(lǐng)讓課堂煥發(fā)活力[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2020（02）：35-38.3B07C8FC-B918-4C58-BC2A-B1B86894886D