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    奧蘇伯爾認知同化理論對中學數(shù)學教學的啟示

    2022-06-23 00:48:36施佳瑩喻平
    關(guān)鍵詞:認知結(jié)構(gòu)中學數(shù)學

    施佳瑩 喻平

    摘要:從有意義學習的本質(zhì)特征、認知同化理論的基本要義、有意義學習的教學原則、實現(xiàn)遷移的條件等四個方面,解讀奧蘇伯爾的認知同化理論,梳理出對當下中學數(shù)學教學的啟示。一是建構(gòu)有意義學習的教學環(huán)境,包括設(shè)置恰當情境、連通知識序列。二是制訂完善學生認知結(jié)構(gòu)的教學策略,包括活用先行組織、突出漸進分化、強調(diào)綜合貫通、提倡遷移訓練。

    關(guān)鍵詞:認知同化理論;有意義學習;中學數(shù)學;認知結(jié)構(gòu)

    本文系喻平教授團隊的“數(shù)學學習心理學研究及其教學啟示”(中學)系列文章之十二。從本文開始,系列文章的主題從數(shù)學學習心理學的基本概念(方面)變?yōu)榻?jīng)典理論(思想)。學習者學習新知識,需要將認知結(jié)構(gòu)中的舊知識與其相互作用,這個過程稱為同化;當新知識被納入認知結(jié)構(gòu),又會對舊的認知結(jié)構(gòu)進行改組,形成新的認知結(jié)構(gòu),這個過程稱為順應。這是源自皮亞杰的結(jié)構(gòu)主義、發(fā)展于奧蘇伯爾的有意義學習理論的知識建構(gòu)觀。本文嘗試解讀奧蘇伯爾的認知同化理論,并談?wù)勥@一理論對當下中學數(shù)學教學的幾點啟示。

    一、奧蘇伯爾認知同化理論的主要觀點

    美國著名教育心理學家奧蘇伯爾系統(tǒng)研究了課堂教學中有意義學習的類型、結(jié)果及條件,深入探究了影響學習的內(nèi)因和外因,提出了以言語符號為媒介、以學習者原有認知結(jié)構(gòu)為核心、以接受學習為主要學習方法的有意義學習理論。有意義學習的過程是認知同化過程,因此該學習理論又可稱為認知同化理論。

    (一)有意義學習的本質(zhì)特征

    有意義學習的過程,本質(zhì)上即符號所代表的新知識以非任意的方式,在實質(zhì)上同學習者認知結(jié)構(gòu)中的適當觀念相互作用、產(chǎn)生聯(lián)系的過程。D.P.奧蘇伯爾等.教育心理學——認知觀點[M].佘星南,宋鈞,譯.北京:人民教育出版社,1994:45。奧蘇伯爾認為,新知識與認知結(jié)構(gòu)的原有成分之間的聯(lián)結(jié)是有意義學習與機械學習的主要差異:機械學習中,聯(lián)結(jié)是簡單的、任意的、非實質(zhì)性的;而有意義學習中,聯(lián)結(jié)是“非任意的”和“實質(zhì)性的”。

    “非任意的”亦稱“非人為的”,指新知識與認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念之間存在著某種合理的或邏輯基礎(chǔ)上的聯(lián)系。陳琦,劉儒德.當代教育心理學(第三版)[M].北京:北京師范大學出版社,2019:116。奧蘇伯爾認為,具有非任意性的學習材料是學習者開展有意義學習的先決條件。若知識點之間沒有邏輯關(guān)系,即便學習者采用特殊方法(如諧音聯(lián)想法),人為地為其創(chuàng)造“意義”,這類學習也是機械的。若新知識是在舊知識的基礎(chǔ)上增添、限制、變化某些條件或結(jié)論演變而來的,或新知識與較為普遍的觀念有一般的吻合關(guān)系,學習者就有足夠的依據(jù)將兩者以非任意的形式聯(lián)系起來。

    “實質(zhì)性”亦稱“非字面性”,指能用同義詞或其他等值符號替代而不改變意義或內(nèi)容。教育大辭典編篡委員會.教育大辭典(第5卷):教育心理學[Z].上海:上海教育出版社,1990:267。奧蘇伯爾指出,學習者的學習結(jié)果要符合實質(zhì)性標準,如果使用同義詞或其他等值符號替代概念或者命題中的部分詞匯,學習者要能判斷其意義或內(nèi)容是否發(fā)生變化。例如,“三角形的內(nèi)角和為180°”與“三角形的內(nèi)角和為平角”是等價的。如果學習者的學習只停留于字面意義,沒有深入思考、挖掘知識本質(zhì),則認知結(jié)構(gòu)不穩(wěn)固,后續(xù)學習過程中也很容易受到以前學過的類似材料的干擾。

    (二)認知同化理論的基本要義

    其一,認知結(jié)構(gòu)在學習中起著決定性作用。在奧蘇伯爾看來,認知結(jié)構(gòu)就是個體頭腦中的知識結(jié)構(gòu)。廣義地說,它是學習者已有觀念的全部內(nèi)容及其組織;狹義地說,它是學習者在某一學科的特殊知識領(lǐng)域內(nèi)的觀念的全部內(nèi)容及其組織。皮連生.智育心理學[M].北京:人民教育出版社,1996:220。形成優(yōu)良的認知結(jié)構(gòu)是學習達成的關(guān)鍵。奧蘇伯爾認為,良好的認知結(jié)構(gòu)取決于三個因素:(1)可利用性。當學習者面對新的學習任務(wù)時,他的認知結(jié)構(gòu)中具備可以用來同化新知識的較一般的、概括的、包攝程度高的觀念。(2)可辨別性。當原有觀念同化新知識時,可以清晰地辨別新舊觀念的異同點。(3)穩(wěn)定性。原有的、起固定作用的觀念穩(wěn)定地貯存于認知結(jié)構(gòu)中。

    其二,知識同化存在三種樣態(tài)。奧蘇伯爾認為,同化是新舊觀念相互作用、兩者意義雙向變化的過程,新知識獲得心理意義,原有認知結(jié)構(gòu)發(fā)生改組。新舊知識之間的同化有三種方式:(1)下位學習。在原有觀念基礎(chǔ)上,學習包攝性更低的觀念。下位學習又分為派生歸屬學習(新觀念可視為原來認知結(jié)構(gòu)中上位概念的具體例子)和相關(guān)歸屬學習(新觀念是對原來上位概念的精細化)。(2)上位學習。在原有觀念基礎(chǔ)上,學習包攝性更高的觀念,即原有觀念是新觀念的具體例子。(3)并列組合學習。新舊知識有聯(lián)系,但它們之間沒有包含關(guān)系。

    在此基礎(chǔ)上,根據(jù)數(shù)學學習的特性,可以提出同位學習的概念。喻平.數(shù)學教學心理學(第2版)[M].北京:北京師范大學出版社,2018:262。所謂同位學習,是指對等價可同構(gòu)命題的學習。在數(shù)學學習中,除了上位與下位的關(guān)系外,許多概念、命題之間存在等價關(guān)系,概念域、命題域的形成就是一個同位學習的過程。

    (三)有意義學習的教學原則

    奧蘇伯爾提出了有意義學習的四條教學原則:漸進分化原則、綜合貫通原則、序列組織原則和鞏固性原則。

    漸進分化指首先呈現(xiàn)最一般和包容范圍最廣的觀念,然后由這些觀念依照細節(jié)、特例和具體項目逐步展開。在下位學習中,歸屬過程一次或多次出現(xiàn),便會導致起歸屬作用的概念或命題的漸進分化。奧蘇伯爾認為,按包容性、抽象水平逐漸下降的縱向方式建立認知結(jié)構(gòu)的層級組織,有利于新知識的同化和保持。

    綜合貫通指加強知識橫向與縱向的聯(lián)系。在上位學習或并列組合學習中,發(fā)現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)中原有觀念之間的聯(lián)系,對其進行重新組合的過程,就是綜合貫通。奧蘇伯爾指出,綜合貫通能促進原有認知結(jié)構(gòu)的橫向分化,是漸進分化的一種形式。當教學材料沒有實質(zhì)上的序列相依關(guān)系時,綜合貫通原則也是適用的,可以橫向加強學科知識點、章節(jié)內(nèi)容之間的聯(lián)系。

    序列組織亦稱先行組織,指學習新知識之前,給學習者提供一個引導性材料,它比學習任務(wù)本身有更高的抽象、概括和綜合水平,并能使學習者清晰地辨認認知結(jié)構(gòu)中原有的觀念和新學習任務(wù)的關(guān)聯(lián)。序列組織強調(diào)學科知識內(nèi)部的邏輯結(jié)構(gòu),新學的知識被同化后可以作為后續(xù)學習的先行組織者,促進后續(xù)知識的學習與同化。為了防止認知框架雜亂無序,學習任務(wù)的排列需要以學習者認知功能的發(fā)展水平、固著觀念的可利用性和教材的序列組織為依據(jù)。

    鞏固性強調(diào)在學習新內(nèi)容之前,要確保學生對已授知識的掌握程度較高。奧蘇伯爾認為,清晰穩(wěn)固的認知結(jié)構(gòu)能為新知識的學習提供堅實的固著點,是有意義學習的先決條件。學習者可以通過反復接觸學習材料,經(jīng)歷證明、分析、比較和反饋的過程,來明確新舊知識之間的聯(lián)系,構(gòu)成組織完善的認知結(jié)構(gòu)。

    前沿論壇(四)實現(xiàn)遷移的條件

    遷移指先前學習的經(jīng)驗對當前學習的影響。與形式訓練說、相同要素說、概括說等傳統(tǒng)的遷移理論不同,奧蘇伯爾認為,認知結(jié)構(gòu)在學習遷移中起著決定作用。首先,先前學習的經(jīng)驗是經(jīng)過若干知識的學習逐步積累而成的。遷移不能理解為某個知識點對當前學習的影響,而應是一組知識點對當前學習的影響。其次,先前經(jīng)驗的特征是指認知結(jié)構(gòu)的組織特征,如清晰性、穩(wěn)定性等。學習課題A得到的最新信息并不是直接同課題B的刺激反應成分發(fā)生相互作用,而只是由于它影響原有認知結(jié)構(gòu)的有關(guān)特征,從而間接影響新的學習。再次,遷移的效果主要不是指提高將一般原理運用于特殊事例的能力(下位學習的能力),而是指提高上位學習和并列學習的能力。因此,無論是知識學習還是問題解決,只要認知結(jié)構(gòu)影響新的認知功能,都存在著遷移。

    二、對中學數(shù)學教學的啟示

    通過對認知同化理論的簡單梳理,可以得到幾個關(guān)鍵詞:有意義學習、同化、認知結(jié)構(gòu)。這幾個詞似乎有濃郁的傳統(tǒng)觀念色彩,與當下的教育理念有相悖之嫌。其實,每一種教學理論的創(chuàng)立及其具有的長久生命力,都足以說明它們存在的合理性。有意義學習與接受學習并蒂,這是事實,但是人類的學習不可能離開接受學習,而且接受學習還是學校教育的一種主要形式。況且,奧蘇伯爾提出的有意義接受學習有別于傳統(tǒng)意義上的接受學習,因為這種學習強調(diào)了同化與順應的學習機制。同化事實上與知識建構(gòu)的觀念同出一轍,同化與順應本質(zhì)上就是個人對知識的建構(gòu)過程,激進建構(gòu)主義的觀點與其一脈相承。認知結(jié)構(gòu)的概念,無論是對建構(gòu)主義還是對情境認知理論,都是認可的學習元素。因此,充分挖掘認知同化理論,對核心素養(yǎng)背景下的中學數(shù)學教學有直接的指導意義。

    (一)建構(gòu)有意義學習的教學環(huán)境

    1.設(shè)置恰當情境,激發(fā)學習心向

    “積極的學習心向”和“有邏輯意義的教材”是有意義學習的兩個先決條件。

    要激發(fā)學生積極的學習心向,教學情境的設(shè)計十分重要。奧蘇伯爾認為,動機與學習是雙向影響的,即便學生缺乏動機,若其滿意初始學習的過程,也會產(chǎn)生極高的學習動機。因此,在課堂導入環(huán)節(jié),教師可以暫時不理睬學生的動機,而關(guān)注學生的認知,盡可能有效地將他們帶入教學情境:根據(jù)教學內(nèi)容創(chuàng)設(shè)有效的問題情境,提供能引發(fā)學生認知沖突、質(zhì)疑思考的信息,激發(fā)其好奇心和求知欲。

    例如,《勾股定理》一課的導入環(huán)節(jié),教師創(chuàng)設(shè)了如下情境:2500年前,畢達哥拉斯在朋友家做客時,發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映出了直角三角形(如圖1)三邊的某種數(shù)量關(guān)系,便很快用畫圖形的方法表示出這種數(shù)量關(guān)系。接下來,教師把這個問題拋給學生,讓他們嘗試用數(shù)學的眼光觀察圖形,在準備好的紙上畫出與該等腰直角三角形三邊有關(guān)的幾何圖形。

    勾股定理是平面幾何中最重要的定理之一,融合了數(shù)形結(jié)合的思想方法。課例中,教師首先引用數(shù)學史,試圖還原并讓學生體驗畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程。該情境的創(chuàng)設(shè)能有效激發(fā)學生的好奇心,讓學生躍躍欲試,挑戰(zhàn)自己能否得出與大數(shù)學家一樣的結(jié)論。通過操作,可能有的學生畫出的圖形與教師的要求毫無關(guān)系(如圖2),有的學生畫出的圖形與勾股定理較為接近(如圖3),有的學生畫出的圖形與畢達哥拉斯的畫法完全一致(如圖4)。圍繞學生的畫法學習該圖形與勾股定理的關(guān)系,不僅能增強學生后續(xù)學習的動力、信心,還能加深學生對新知識的理解與感知。

    2.連通知識序列,促進同化順應

    教材通常都是按照知識之間的邏輯關(guān)系編排的,教師的任務(wù)是引導學生把這種邏輯關(guān)系清晰地表達出來。其中一個好的做法就是單元設(shè)計,因為知識的邏輯關(guān)系不是體現(xiàn)在知識點上,而是體現(xiàn)在知識群中,單元設(shè)計可以很好地揭示這種邏輯關(guān)系。喻平.數(shù)學單元結(jié)構(gòu)教學的四種模式[J].數(shù)學通報,2020(5):18。

    既然同化是先前知識對新學知識的作用,順應是新學知識對原有認知結(jié)構(gòu)的改造,那么厘清知識的生成順序就顯得非常重要,因為“最鄰近”的知識最利于同化,有序的知識利于形成結(jié)構(gòu)。

    例如,“四邊形”單元的教學設(shè)計:

    第一步,教師給出一般四邊形的概念,讓學生舉出現(xiàn)實生活中四邊形的實例。

    第二步,教師引入“平行”概念,讓學生思考問題:(1)是否存在兩組對邊分別平行的四邊形?(2)是否存在只有一組對邊平行的四邊形?學生通過畫圖證實這兩類圖形都存在。于是,教師引導學生給第一類圖形命名為平行四邊形,第二類圖形命名為梯形。

    第三步,教師引入“相等”概念,引導學生分兩條線探究:(1)是否存在一組鄰邊相等的平行四邊形?(2)是否存在兩條不平行邊相等的梯形?學生通過畫圖證實這兩類圖形都存在。于是,教師引導學生給這兩類圖形分別命名為菱形、等腰梯形。

    第四步,教師引入“垂直”概念,進一步引導學生探究:(1)是否存在一組鄰邊相互垂直的平行四邊形?(2)是否存在一組鄰邊相互垂直的梯形?學生通過畫圖證實存在這兩類圖形。于是,教師引導學生給它們分別命名為矩形、直角梯形。

    第五步,教師進一步提出問題:(1)是否存在一組鄰邊垂直而且相等的平行四邊形?(2)是否存在一組鄰邊垂直而且相等的梯形?學生通過畫圖證實也存在這兩類圖形。于是,教師引導學生給它們分別命名為正方形、正方梯形。

    第六步,教師引導學生畫出上述概念的體系圖(如圖5),并指出正方梯形的研究意義不大,可以不予考慮。

    第七步,教師根據(jù)概念體系圖指出本單元要學習的內(nèi)容、要研究的問題:(1)如何從數(shù)學角度而不是僅用直觀的方法,準確判定某些圖形是平行四邊形、菱形、矩形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形?(2)這些特殊的圖形具有什么性質(zhì)?(3)這些圖形的性質(zhì)能夠解決什么數(shù)學問題?能夠解決哪些現(xiàn)實生活中的問題?

    這樣的設(shè)計就為本單元的知識教學做了鋪墊,有助于學生在接下來的學習中實現(xiàn)知識的同化;同時又為形成知識結(jié)構(gòu)進而轉(zhuǎn)化為認知結(jié)構(gòu)做了準備,使順應得以完成。

    (二)制訂完善學生認知結(jié)構(gòu)的教學策略

    1.活用先行組織,激活認知結(jié)構(gòu)

    每堂課在講授新知識之前,教師通常都會先引導學生復習舊知識。其實,復習舊知識就是一種先行組織。但是,如果只考慮舊知識,就窄化了先行組織者的概念。先行組織者是教學之前提供的一組輔助材料,可以把這種材料理解為幾種情形:(1)它比新學習的知識概括性高,即提供一種上位概念,這是奧蘇伯爾提出的先行組織者的原意;(2)它比新學習的知識概括性低,是新知識的特例,即提供一個下位概念;(3)它與新學習的知識成并列組合關(guān)系;(4)它與新學習的知識是等價關(guān)系;(5)它是包含新學習知識的一種情境——現(xiàn)實情境或科學情境。

    例如,《完全平方公式》一課,教師首先出示圖6,讓學生根據(jù)圖中的邊長關(guān)系,抽象出(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq,分別用圖形語言、文字語言、符號語言描述多項式乘法法則;然后將圖形做特殊化處理,將p變?yōu)閍,將q變?yōu)閎,引導學生得出完全平方公式。這個先行組織者就是上述情形(1)。

    又如,如果在講授余弦函數(shù)y=cos x時,由正弦函數(shù)y=sin x引入,那么先行組織者就是上述情形(3)。

    2.突出漸進分化,擴充認知結(jié)構(gòu)

    漸進分化主要是指梳理知識的縱向邏輯關(guān)系。按照奧蘇伯爾的觀點,概括性、抽象性高的知識應當放到前面,然后依次呈現(xiàn)概括性、抽象性遞減的知識。其實,一般的數(shù)學教材中,許多知識體系都是遵循這個原則來編排的。例如,高中“函數(shù)”的知識體系,首先用映射定義函數(shù)概念,介紹函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等一般概念,然后研究具體的函數(shù):冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)等。這是典型的漸進分化。教學中,教師的一項重要工作,就是幫助學生梳理知識,并通過一定量的解題練習將這種外部的知識體系轉(zhuǎn)化為學生頭腦中的知識結(jié)構(gòu),使學生的認知結(jié)構(gòu)得到不斷的擴充。

    另一方面,對問題進行適當?shù)淖兪交蛲茝V,體現(xiàn)知識之間的縱向聯(lián)系,可以使知識縱向發(fā)展,擴充學生的認知結(jié)構(gòu)。

    例如,一個與點的運動有關(guān)的線段長度(關(guān)系)問題及其變式:

    原問題線段AB長為12 cm,P為線段AB上的一個動點。點P從點A出發(fā),以2 cm/s的速度沿AB向點B運動,表示出t(s)后AP與PB的長度。

    變式1在原問題的條件下,延長AB至點C,使BC=6 cm。點P到達點B后繼續(xù)向點C運動,表示出t(s)后AP與PC的長度。

    變式2在變式1的條件下,將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°(如圖7所示),表示出t(s)后AP與PC的長度。

    變式3在變式2的條件下,添加另外兩邊,構(gòu)成長方形ABCD(如圖8所示)。點P到達點C后繼續(xù)向點D運動,經(jīng)過t(s)后,PC怎么表示?點P到達點D后繼續(xù)向點A運動,經(jīng)過t(s)后,AP怎么表示?t為何值時,AP=PD?

    變式4在變式3的基礎(chǔ)上,添加動點Q,點Q從點D出發(fā),以1 cm/s的速度沿DA向點A運動。P、Q同時開始運動,t為何值時,下列等式成立?

    (1)AQ=AP;

    (2) AQ-AP=1/4CABCD。

    變式5在變式4的情境中,點P、Q持續(xù)運動,直到點P到達點C,兩點同時停止運動。t為何值時,等式AQ=1/2PC成立?

    變式6在變式5的情境中,點P、Q向相反方向運動,點P能否追上點Q?如果能,求出t的值;如果不能,說明理由。

    3.強調(diào)綜合貫通,完善認知結(jié)構(gòu)

    通過綜合貫通,可以建立更加穩(wěn)固的外部知識結(jié)構(gòu),從而使學生的認知結(jié)構(gòu)得到完善。對于知識之間的橫向聯(lián)系,很多情形在教材中不是以顯性的形式表述的,需要教師去挖掘。例如,圖5所示的“四邊形”知識體系展示了知識之間的縱向聯(lián)系,教師可以進一步挖掘知識之間的橫向聯(lián)系:平行四邊形與梯形之間可以用中位線定理聯(lián)系;菱形與矩形有共同的性質(zhì)——中心對稱圖形;矩形與等腰梯形有共同性質(zhì)——對角線相等;等等。

    綜合貫通不僅表現(xiàn)為搭建一個章節(jié)、一個單元知識之間縱向和橫向的聯(lián)系,還表現(xiàn)在建立不同章節(jié)或不同單元知識之間的聯(lián)系。其中,通過數(shù)學思想方法打通知識之間的關(guān)系,是一條有效的途徑。事實上,這也就是《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》中十分強調(diào)的“通性”“通法”。

    例如,可以用函數(shù)思想方法解決下列問題,從而串聯(lián)有關(guān)知識。

    問題1解方程3x+4x=5x。

    顯然方程有一個根x=2,但它是否還有其他根呢?將方程變形為35x+45x=1。引入函數(shù)f(x)=35x+45x,由于35x、45x是單調(diào)遞減函數(shù),則f(x)也是單調(diào)遞減函數(shù)。易知x>2時,f(x)<1;x<2時,f(x)>1,所以方程僅有一個根x=2。

    問題2已知e是自然對數(shù)的底,a、b為實數(shù),且e<a<b,求證:ab>ba。

    看到e,想到自然對數(shù)。要證明結(jié)論,就是要證明bln a>aln b,即要證明ln aa>ln bb。為此,構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln xx,只需證明f(x)在[e,+∞)內(nèi)為減函數(shù)即可。求導,得f′(x)=1-ln xx2,因為x>e,所以lnx>1,故f′(x)<0,即f(x)在[e,+∞)內(nèi)為減函數(shù)。

    問題3求證:2C2n+2·3C3n+…+(n-1)nCnn=n(n-1)2n-2。

    這是一個組合恒等式。聯(lián)想到二項展開式,可以構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn。求二階導數(shù),得f″(x)=(n-1)n(1+x)n-2=1·2C2n+2·3C3nx+…+(n-1)nCnnxn-2。在上式中,令x=1,即得所要證明的恒等式。

    在此例中,問題1建立了函數(shù)與方程的聯(lián)系,問題2建立了函數(shù)與不等式的聯(lián)系,問題3建立了函數(shù)與組合知識的聯(lián)系。

    4.提倡遷移訓練,穩(wěn)固認知結(jié)構(gòu)

    奧蘇伯爾認為,優(yōu)良的認知結(jié)構(gòu)是實現(xiàn)知識遷移的必要條件。反過來說,通過遷移訓練,又能形成更加穩(wěn)固、清晰的認知結(jié)構(gòu)。用行為主義的觀點看,這是一種強化。通過強化,才能建立刺激與反應之間穩(wěn)固的聯(lián)系。

    關(guān)于遷移訓練,張姝華等提出了一些策略,如模式識別的合理訓練、源問題的恰當設(shè)計、靶問題的變式訓練等。張姝華,喻平.問題解決中遷移的心理學研究及其對中學數(shù)學教學的啟示[J].教育研究與評論(中學教育教學),2019(9):2632。這里,我們特別強調(diào)通過遷移訓練,達到鞏固認知結(jié)構(gòu)的目標。其中一條有效的途徑就是解題后的反思,特別是反思能否采用多種路徑解決問題。因為采用多種路徑解決問題,涉及的知識和方法自然會更多,需要解題者在認知結(jié)構(gòu)中激活、提取多種知識和方法。這就是一個鞏固認知結(jié)構(gòu)的過程。

    例如,對于題目“已知|a|<1,|b|<1,求證:a+b1+ab<1”,羅增儒先生提出從知識鏈上展開、從轉(zhuǎn)化鏈上聯(lián)想、從數(shù)形結(jié)合上溝通等思路,從面積、方程、三角函數(shù)等方面思考,得到十幾種解法,最后還對問題做了推廣。羅增儒.數(shù)學解題學引論[M].西安:陜西師范大學出版社,1997:192200。這里列舉幾種解法:

    (1)a+b1+ab<1a+b1+ab2<1……(在知識鏈上展開,與不等式性質(zhì)建立聯(lián)系);

    (2)|x|<1x在-1和1之間存在λ>0,使得x=1-λ1+λ函數(shù)f(x)=1-x1+x的性質(zhì)……(在轉(zhuǎn)化鏈上聯(lián)想,與函數(shù)建立聯(lián)系);

    (3)在平面直角坐標系上取點A(1,a)、B(1,-b)、M(1-b,1-b)(a>0、b>0時的示意圖如圖9所示,其他情況可逐一討論),有|a+b|2=S△AOB<S△AOB+S△AOM=a+b2+(1-b)(1-a)2=1+ab2(在數(shù)形結(jié)合上溝通,與解析幾何建立聯(lián)系)。

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