數(shù)形從分離走向結(jié)合，概念理解從淺顯走向深刻
——以六年級“正比例的意義”教學(xué)為例

安徽馬鞍山市湖東路第二小學(xué)（243000） 陳 麗

數(shù)學(xué)概念因其抽象的內(nèi)容和靜態(tài)的呈現(xiàn)方式，使得學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念較為困難。如何突破該學(xué)習(xí)難點(diǎn)？筆者嘗試從數(shù)學(xué)中的兩個(gè)基本的研究對象數(shù)與形出發(fā)，探尋通過數(shù)形結(jié)合揭示概念本質(zhì)的教學(xué)策略。

一、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)難點(diǎn)分析

數(shù)學(xué)概念是對現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映。其表現(xiàn)形式是高度概括、精確的語言，學(xué)習(xí)難點(diǎn)包括兩個(gè)方面。

1.數(shù)學(xué)概念內(nèi)容的高度抽象。在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中，概念常常是以描述性的文字呈現(xiàn)的。抽象的文字中往往包含著子概念。例如，人教版教材六年級下冊正比例的概念中就包含“相關(guān)聯(lián)的量”“變量”“比值一定”等概念。對六年級學(xué)生而言，要感知?jiǎng)討B(tài)的、連續(xù)的、變化的量，以及理解量變化的背后是比值一定，是比較困難的。

2.數(shù)學(xué)概念的靜態(tài)呈現(xiàn)。抽象的數(shù)學(xué)概念如果是圖文并茂的，可有助于學(xué)生理解。但教材因受篇幅限制，圖示往往較少，即使有也是靜態(tài)的。如教材給出了正比例圖像（如圖1）。關(guān)于“正比例圖像是如何形成的？它看著很像折線統(tǒng)計(jì)圖，有哪些特點(diǎn)？”，學(xué)生不得而知。

圖1

小學(xué)生的思維以直觀形象思維為主，對高度概括、抽象的數(shù)學(xué)概念理解會比較困難。如何突破難點(diǎn)？“數(shù)形結(jié)合”不失為一種好方法。

二、數(shù)形從分離走向結(jié)合的數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略

數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本對象就是數(shù)與形。數(shù)與形是表述概念的兩種形式，溝通數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)與形結(jié)合，有助于深入理解概念。

【策略一】從數(shù)的角度出發(fā)，表征概念。數(shù)表征概念是指通過文字、數(shù)與代數(shù)式三者之間的相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)而便于學(xué)習(xí)者理解概念。

教學(xué)片段1：從數(shù)據(jù)變化的角度初步認(rèn)識相關(guān)聯(lián)的量。

思考：下列素材中哪些量在變化？

（1）處于生長發(fā)育期的小明的年齡與身高。

年齡/歲身高/cm 1 80 3 100 6 120 10 148 16 177…………

（2）一輛汽車行駛的時(shí)間和路程。

時(shí)間/時(shí)路程/km 1 80 2 160 3 240 4 320 5 400…………

（3）一本書有100 頁，已讀的頁數(shù)與未讀的頁數(shù)。

已讀/頁未讀/頁10 90 20 80 30 70 40 60 50 50…………

（4）用24個(gè)邊長為1 cm的小正方形擺長方形。

長/cm寬/cm 24 1 12 2 8 3 6 4…………

相關(guān)聯(lián)的量是正比例概念的上位概念，是學(xué)習(xí)正比例概念的關(guān)鍵。何為相關(guān)聯(lián)？這對學(xué)生來說比較抽象。教學(xué)中，教師出示四組材料，讓學(xué)生觀察并感受，一個(gè)量變化，另一個(gè)量也隨之變化，從而清楚地認(rèn)識兩種相關(guān)聯(lián)的量，為理解正比例關(guān)系做好鋪墊。

教學(xué)片段2：數(shù)、語言描述與代數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化表征正比例概念。

優(yōu)優(yōu)買絲帶，買這種絲帶的長度與總價(jià)的關(guān)系如下表所示：

長度/m總價(jià)/元1 3.5 2 7 3 10.5 4 14 5 17.5 6 21 7 24.5 8 28…………

問題：仔細(xì)觀察，表中有哪兩種量？總價(jià)是怎樣隨著長度的變化而變化的？總價(jià)與相應(yīng)長度的比是多少？比值是多少？

借助幾個(gè)關(guān)鍵的問題，讓學(xué)生充分經(jīng)歷量的變化過程，從而發(fā)現(xiàn)總價(jià)和長度之間的變化規(guī)律，同時(shí)將目光聚焦到變化中的聯(lián)系，即比值不變，也就是單價(jià)始終是一定的，并歸納出數(shù)量關(guān)系式，實(shí)現(xiàn)用數(shù)、語言描述與代數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化來表征正比例概念。

【策略二】從形的角度出發(fā)表征概念。形表征概念是指利用實(shí)物、圖形、圖像、符號等表征概念，并通過圖形的比較與動態(tài)變化達(dá)成對概念的理解。

教學(xué)片段1：數(shù)形對應(yīng)，動態(tài)形成圖像。

長度/m總價(jià)/元1 3.5 2 7 3 10.5 4 14 5 17.5 6 21 7 24.5 8 28…………

圖2

問題：

（1）數(shù)對（1，3.5）的位置在哪里？你能將表格中的其他數(shù)對一一表示出來嗎？把這些點(diǎn)按一定的順序連起來（如圖3），你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）這條線段可以向兩端延伸，其中一端延伸到數(shù)對（0，0）（如圖4）。數(shù)對（0，0）表示什么？

（3）找一找數(shù)對（10，35）和（12，42）表示的點(diǎn)，把它們描出來，和前面的點(diǎn)連起來（如圖5），你又能發(fā)現(xiàn)什么？

（4）優(yōu)優(yōu)買了a m 長的絲帶，付了b 元，a 和b 有怎樣的關(guān)系？

圖3

圖4

圖5

學(xué)生在數(shù)表征正比例概念時(shí)，已初步感知量的連續(xù)變化的特征。通過描點(diǎn)、連線，與原點(diǎn)溝通聯(lián)系，結(jié)合教師利用多媒體動態(tài)的演示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)a和b 都是一對一對出現(xiàn)的。隨著直線不斷向上延伸，學(xué)生清晰地感受到一種量在擴(kuò)大的同時(shí)，另一種量也在不斷擴(kuò)大。學(xué)生經(jīng)歷直觀想象、抽象、建立模型等過程，豐富了正比例概念的表象。

教學(xué)片段2：在對比點(diǎn)的位置的過程中厘清對應(yīng)變量中的不變量。

問題：4 m 絲帶16 元，找一找，（4，16）這個(gè)點(diǎn)在剛才那條直線上嗎？11 m 絲帶38.5 元呢？什么樣的點(diǎn)在這條直線上？什么樣的點(diǎn)不在這條直線上？

學(xué)生在圖像動態(tài)形成過程中，發(fā)現(xiàn)在同一條直線上的這些點(diǎn)，既顯示了絲帶的長度和單價(jià)，又反映了長度和單價(jià)之間的關(guān)系。兩種變量之間的關(guān)系是正比例概念教學(xué)的難點(diǎn)之一。教學(xué)中，筆者增加了根據(jù)2 組數(shù)據(jù)描點(diǎn)的環(huán)節(jié)，其中，一個(gè)點(diǎn)在這條直線上，另一個(gè)點(diǎn)不在這條直線上（如圖6）。通過正例與反例的對比，幫助學(xué)生厘清兩個(gè)變量之間的關(guān)系——背后的不變量，形成正比例圖像，初步感受函數(shù)思想。

圖6

【策略三】數(shù)表征與形表征互相轉(zhuǎn)化，形成綜合圖式表征概念。

教學(xué)片段1：在形表征中找數(shù)。

問題：如果買9 m 的絲帶，你能根據(jù)圖像判斷總價(jià)是多少嗎？49 元又能買多長的絲帶？（答案見圖7）

圖7

正比例圖像的形成并不意味著教學(xué)的結(jié)束。教學(xué)中，讓學(xué)生依據(jù)圖像，由一個(gè)量的值推斷、估計(jì)另一個(gè)量的值，由一種量之間的關(guān)系推斷另一種量之間的關(guān)系。學(xué)生可以根據(jù)圖像的特點(diǎn)進(jìn)行推理，將形轉(zhuǎn)化為數(shù)，體會函數(shù)的形表征和數(shù)表征之間的聯(lián)系。

教學(xué)片段2：在數(shù)表征中思形。

小烏龜和小螃蟹比賽，爬行時(shí)間和爬行距離如下表所示：

爬行時(shí)間/分小烏龜爬行距離/m小螃蟹爬行距離/m 1 0.5 1 2 1 2 3 1.5 3 4 2 4 5 2.5 5………………

問題：想一想，小烏龜和小螃蟹的爬行時(shí)間和爬行距離成正比例關(guān)系嗎？

觀察小烏龜和小螃蟹的爬行情況圖像（如圖8），想一想，圖像中的兩條直線分別代表哪一種小動物的爬行情況？后來小海龜也參加了比賽，他的爬行速度比小螃蟹還要快一些，你覺得他的爬行情況圖像可能是怎樣的？

圖8

這里借助兩種動物爬行時(shí)間與距離的數(shù)據(jù)，在同一幅圖中，用圖像表征速度快慢的樣子，以數(shù)思形；通過數(shù)形、形形對比，感悟數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，以數(shù)解形，深刻體會正比例概念的本質(zhì)。

【策略四】在概念溝通中，形成概念綜合圖示。

概念綜合圖示的形成，需要將概念的形成過程與結(jié)果進(jìn)行溝通，將概念的各種表征形式進(jìn)行溝通，將已學(xué)的概念與后續(xù)延展的內(nèi)容進(jìn)行溝通。

（1）在回顧中溝通。從具體的實(shí)例出發(fā)，回顧經(jīng)歷數(shù)據(jù)的分析、比較與抽象，圖像的動態(tài)形成以及特征等研究過程，溝通正比例概念的文字表征、代數(shù)式表征和圖像表征之間的聯(lián)系，形成正比例圖像。

（2）在延伸中溝通。從縱向出發(fā)，與后續(xù)研究內(nèi)容進(jìn)行溝通。初中學(xué)習(xí)的正比例圖像，是一條過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線。通過延伸，溝通了正比例概念文字與圖像的聯(lián)系。

（3）在比較中溝通。從橫向出發(fā)，將相關(guān)聯(lián)的概念進(jìn)行溝通。在學(xué)習(xí)正比例概念之后，教師順勢引導(dǎo)：“正比例和反比例之間有什么區(qū)別與聯(lián)系？你能從四組材料中找出成反比例關(guān)系的那一組嗎？”為學(xué)生形成函數(shù)概念圖示做好準(zhǔn)備。

在概念的教學(xué)中，挖掘概念中的“數(shù)”是什么、“形”是什么，采用以形助數(shù)或以數(shù)解形的方法，從數(shù)表征、形表征、數(shù)形結(jié)合表征概念入手理解概念。在數(shù)表征概念中，力求提供豐富的實(shí)例，在分類與比較中形成概念表象。在形表征概念中，借助現(xiàn)代教育技術(shù)等展示形的動態(tài)變化，力求通過觀察、操作、想象形成概念之形表象。在數(shù)形結(jié)合表征概念時(shí)，力求讓數(shù)表征與形表征互相轉(zhuǎn)化。由數(shù)思形，由形譯數(shù)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)與形的對應(yīng)、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化過程，形成綜合概念圖示，以達(dá)到對概念深度理解的程度。