“解決問題的策略”的深度理解及數(shù)學(xué)化路徑

江蘇如皋市外國語學(xué)校（226500） 丁 洪

“解決問題的策略”是蘇教版教材的特色編排。別出心裁的單元設(shè)置和獨(dú)具匠心的內(nèi)容安排，旨在引領(lǐng)學(xué)生感悟策略、遷移策略和內(nèi)化策略。那么，對(duì)于“解決問題的策略”的內(nèi)涵怎樣界定？價(jià)值怎樣探尋？內(nèi)容安排怎樣評(píng)價(jià)？課程標(biāo)準(zhǔn)要求怎樣理解？數(shù)學(xué)化路徑怎樣建構(gòu)？等問題的深度思考、精準(zhǔn)定位和合理研判，是策略教學(xué)的前提。

一、“解決問題的策略”的內(nèi)涵與價(jià)值

簡單地說，“是什么？”指向策略的內(nèi)涵，“有什么用？”指向策略的價(jià)值。只有感知“解決問題的策略”的內(nèi)涵與外延的呼應(yīng)，體驗(yàn)適用與適度的對(duì)比，對(duì)于“解決問題的策略”的理解，才能更真切、更充分和更深刻。

1.“解決問題的策略”的內(nèi)涵界定

數(shù)學(xué)知識(shí)一般可以分成三類，即陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)和策略性知識(shí)。其中，陳述性知識(shí)主要考慮與數(shù)學(xué)相關(guān)的事實(shí)、定義、規(guī)則、原理等“怎么說”，描述得“清楚、簡潔和邏輯自洽”是其標(biāo)準(zhǔn)；程序性知識(shí)主要涉及與數(shù)學(xué)相關(guān)的步驟、環(huán)節(jié)和流程，主要解決“怎么做”的問題，“先做什么，再做什么”是其要義；策略性知識(shí)主要統(tǒng)籌與數(shù)學(xué)相關(guān)的陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)，是學(xué)習(xí)主體解決具體問題的一般方法和技巧，主要演繹“怎么想”，“如何思維及如何優(yōu)化思維和高效思維”是其追求。顯然，“解決問題的策略”屬于策略性知識(shí)，它是在陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)基礎(chǔ)上的內(nèi)驅(qū)發(fā)展和有序建構(gòu)。

“解決問題的策略”具體有哪些呢？不同的分類，結(jié)果自然不盡相同。從認(rèn)知心理學(xué)角度看，可以分成兩大類，即“運(yùn)算法”與“啟發(fā)法”。其中，前者側(cè)重解題規(guī)則，主要是對(duì)運(yùn)算問題的客觀性把握；后者側(cè)重經(jīng)驗(yàn)規(guī)則，主要是對(duì)多種方法的主觀性選擇。從數(shù)學(xué)問題角度看，“解決問題的策略”可以分成四個(gè)層次，即“數(shù)學(xué)的解題技巧”“數(shù)學(xué)的思想方法”“一般的探索策略”“一般的思維方法”，越往后的越具有基礎(chǔ)性，適用范圍更廣，比如“一般的思維方法”就包括比較與概括、分析與綜合、一般化與具體化等；與之相反，越往前的越具有針對(duì)性，適用范圍變窄。從功能定位角度看，“解決問題的策略”可以分成兩大類，即綜合策略與一般策略。其中，綜合策略是指解決問題過程中常態(tài)化使用的基礎(chǔ)策略，如綜合法、分析法等，情境雖有不同，策略需求卻一致；一般策略是指解決問題中的具體策略，如畫圖、制表、實(shí)際操作、找規(guī)律，以及從簡單情況入手、列方程、邏輯推理、改變觀點(diǎn)等，情境不同時(shí)，策略需求各異。顯然，“解決問題的策略”的外延相當(dāng)豐富。透視這些具體表述，可以清楚地看出“策略”與“經(jīng)驗(yàn)、方法、思想”的區(qū)別與聯(lián)系。

基于以上認(rèn)識(shí)，可以初步判斷“解決問題的策略”是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所嘗試、選擇、采用的解決問題的思想、方法、步驟，是對(duì)問題解決的手段、路徑和規(guī)則的概括性認(rèn)識(shí)。也就是說，“解決問題的策略”本質(zhì)上是一種認(rèn)知策略，它具有主體性感知、過程性感受和反思性感悟的鮮明特征。

2.“解決問題的策略”的價(jià)值探尋

“解決問題的策略”至少有三個(gè)方面的優(yōu)勢(shì)。一是有利于優(yōu)化教學(xué)過程，使學(xué)習(xí)從“題海跳入”的戰(zhàn)術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)椤八季S卷入”的戰(zhàn)略，從“囫圇吞棗”的苦干變?yōu)椤俺榻z剝繭”的巧干，減少了嘗試與錯(cuò)誤的任意性，節(jié)約了解決問題所需要的時(shí)間，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“減負(fù)增效”從外在形式走向思維實(shí)質(zhì)。二是有利于提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因?yàn)椴呗詫W(xué)習(xí)聚焦數(shù)學(xué)表征與變換能力、數(shù)學(xué)交流能力、數(shù)學(xué)推理能力和數(shù)學(xué)問題解決能力，盡管策略學(xué)習(xí)是一個(gè)“慢”的過程，但是有了“量”的積累，學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的關(guān)鍵能力得以滋養(yǎng)，就使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“育人品質(zhì)”變得真切。三是有利于培養(yǎng)創(chuàng)造精神，因?yàn)椴呗詫W(xué)習(xí)需要在三種知識(shí)之間不斷轉(zhuǎn)換，因此“識(shí)文斷句、程序關(guān)注和特征洞察”的注意力得到培育；需要在三種知識(shí)之間有效聯(lián)結(jié)，因此“策略選擇、策略優(yōu)化和策略組合”的判斷力得到訓(xùn)練；還需要在三種知識(shí)之間縱橫交錯(cuò)，因此“點(diǎn)突破、線串聯(lián)和面覆蓋”的反思力得到提升。當(dāng)然，因個(gè)人經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)習(xí)慣和認(rèn)知風(fēng)格等存在差異，學(xué)習(xí)主體的注意點(diǎn)、判斷點(diǎn)和反思點(diǎn)也就不完全相同，這樣帶來的結(jié)果是，具體問題雖然被解決，但過程的精彩程度可能不一樣。換個(gè)角度來說，這樣的生態(tài)課堂和生動(dòng)演繹，為積極的對(duì)話、碰撞和內(nèi)省搭建了平臺(tái)，為建構(gòu)策略的“元認(rèn)知”提供了保障，更為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)、工作和生活埋下了一顆“創(chuàng)新的種子”。顯然，這些就是“解決問題的策略”的職責(zé)擔(dān)當(dāng)、價(jià)值意蘊(yùn)和獨(dú)特魅力。

二、“解決問題的策略”的內(nèi)容與要求

在把握了“解決問題的策略”的內(nèi)涵和外延，以及進(jìn)行了基于核心素養(yǎng)視角的價(jià)值分析后，就需要梳理教材的內(nèi)容編排，剖析邏輯架構(gòu)和知識(shí)定位，弄清楚“學(xué)什么”和“什么時(shí)候?qū)W”，想明白“怎么學(xué)”和“學(xué)到什么程度”。

1.“解決問題的策略”的內(nèi)容編排

蘇教版教材從三年級(jí)上冊(cè)開始安排了相關(guān)的專題學(xué)習(xí)（見表1）。

表1 “解決問題的策略”的內(nèi)容安排

從表1 中可以看出，策略的專題學(xué)習(xí)可以分為兩個(gè)板塊。具體來說，第一個(gè)板塊包含“從條件出發(fā)的策略”“從問題出發(fā)的策略”和“靈活運(yùn)用從條件和問題出發(fā)的策略”，這些都是解決問題的基礎(chǔ)策略；第二個(gè)板塊包含“列表策略”“畫圖策略”“列舉策略”“轉(zhuǎn)化策略”“假設(shè)策略”和“選擇和運(yùn)用適當(dāng)策略”，這些都是解決問題的一般策略?？偟膩碚f，板塊內(nèi)部呈現(xiàn)“先逐個(gè)學(xué)習(xí)，再靈活運(yùn)用”的編排特點(diǎn)，板塊之間凸顯“先下位策略，再上位策略”的邏輯建構(gòu)。

換個(gè)角度來看，策略的專題學(xué)習(xí)還可以分為四種類型。具體來說，第一種類型指向“基本思考方法”，包含“從條件出發(fā)的策略”和“從問題出發(fā)的策略”，前者是從條件到問題的思考，是一種“順勢(shì)而為、由因?qū)Ч钡木C合法，后者是從問題到條件的思考，是一種“逆流而上、執(zhí)果索因”的分析法，兩者都是解決問題的關(guān)鍵策略和“地基工程”，滲透了“合情推理”的數(shù)學(xué)思想。第二種類型指向“問題表征方法”，包含“列表策略”和“畫圖策略”，它們是在基本思考的基礎(chǔ)上，對(duì)條件和問題進(jìn)行簡潔化、可視化和結(jié)構(gòu)化的處理，滲透了“合理簡化”的數(shù)學(xué)思想。第三種類型指向“特殊思考方法”，包含“列舉策略”和“假設(shè)策略”，前者通過不重復(fù)、不遺漏地列舉的方式，有序逼近結(jié)論，滲透了“有序分類”的數(shù)學(xué)思想，后者通過“將兩個(gè)未知量變?yōu)橐粋€(gè)未知量”的方法，簡化求解模型，滲透了“等量代換”的數(shù)學(xué)思想。第四種類型指向“常用思考方法”，它就是小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題“出鏡率”非常高的轉(zhuǎn)化策略，雖然轉(zhuǎn)化是有方向和有方法的，但是它并不拘泥于某個(gè)知識(shí)板塊、某種問題類型和某些特定對(duì)象，始終努力“將未知的問題已知化，將復(fù)雜的問題簡單化”，體現(xiàn)了精神實(shí)質(zhì)和實(shí)施目標(biāo)的步調(diào)一致，滲透了“變與不變”的數(shù)學(xué)思想。

另外，蘇教版教材還會(huì)不時(shí)補(bǔ)充一些“非典型”的策略，如“折一折”，這也是策略學(xué)習(xí)的有機(jī)組成部分，教師需要對(duì)其進(jìn)行適度開發(fā)和合理使用。

2.“解決問題的策略”的要求透視

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》在課程總目標(biāo)的“問題解決”方面明確指出，要讓學(xué)生“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)”；在實(shí)施建議的“教學(xué)建議”部分特別提出，在教學(xué)活動(dòng)中“要鼓勵(lì)與提倡解決問題策略的多樣化，恰當(dāng)評(píng)價(jià)學(xué)生在解決問題過程中所表現(xiàn)出的不同水平；問題情境的設(shè)計(jì)、教學(xué)過程的展開、練習(xí)的安排等要盡可能地讓所有學(xué)生都能主動(dòng)參與，提出各自解決問題的策略，并引導(dǎo)學(xué)生通過與他人的交流選擇合適的策略，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高思維水平”?？梢钥闯觯瑥目偰繕?biāo)到實(shí)施建議，有關(guān)策略定位和教學(xué)要求清晰明了。首先，策略學(xué)習(xí)是一個(gè)“從無到有”的生長過程，它需要知識(shí)技能的輔助、已有概念的調(diào)用和碎片經(jīng)驗(yàn)的整合，它離不開學(xué)生的自覺、自悟和自得，是一種由個(gè)體內(nèi)部滋生的具有鮮明個(gè)性的認(rèn)知取向；其次，策略學(xué)習(xí)是一個(gè)“從多到優(yōu)”的對(duì)比過程，它提倡學(xué)生運(yùn)用個(gè)性化策略先行解決問題，然后進(jìn)行深度的交流碰撞，在感受策略多樣化的同時(shí)，對(duì)比得出優(yōu)秀的方案和方法，驅(qū)動(dòng)體驗(yàn)從“能行”走向“善思”；最后，策略學(xué)習(xí)是一個(gè)“從近到遠(yuǎn)”的發(fā)展過程，它可以幫助學(xué)生積累解決問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的良性發(fā)展，使學(xué)生更好地感悟數(shù)學(xué)思想，有看得見的學(xué)習(xí)習(xí)慣，還有帶得走的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。當(dāng)然，策略本身并無優(yōu)劣，教學(xué)重點(diǎn)不在于取舍，而在于引導(dǎo)學(xué)生真切感知策略的價(jià)值，并能根據(jù)需要對(duì)策略進(jìn)行甄別、選擇和組合。

三、“解決問題的策略”的數(shù)學(xué)化路徑

基于以上理解，回到課堂教學(xué)，當(dāng)務(wù)之急就是考慮教學(xué)的謀篇布局。對(duì)此，筆者以“問題鏈”的方式引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷探、說、做、省和聯(lián)的完整過程，推動(dòng)策略教學(xué)的數(shù)學(xué)化進(jìn)程。

1.創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)“探”的需求

策略學(xué)習(xí)需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問題情境，它可以是生活味濃郁的場景引入，也可以是數(shù)學(xué)味偏重的問題環(huán)境。但是，判定一個(gè)情境好壞的標(biāo)準(zhǔn)并不在于此，關(guān)鍵要看這個(gè)情境是否激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和引發(fā)了學(xué)生探究策略的實(shí)際需求。如四年級(jí)上冊(cè)的“列表策略”的教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)雜亂、多組和錯(cuò)位的條件問題，以引發(fā)學(xué)生有序整理信息和聯(lián)結(jié)數(shù)量關(guān)系的內(nèi)需；六年級(jí)上冊(cè)“假設(shè)策略”的教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)情境呈現(xiàn)具有倍數(shù)關(guān)系或相差關(guān)系的兩個(gè)未知量，并增加情境的復(fù)雜程度使得問題的解決無法一步到位，由此引發(fā)學(xué)生尋求等量代換變式和簡化數(shù)量關(guān)系的途徑，等等。顯然，適時(shí)、適度和應(yīng)景的“小情境”和“小麻煩”，能夠激發(fā)學(xué)生的好勝心和求知欲，實(shí)現(xiàn)“人在課中央”和“心往一處想”的“小美好”。

2.鼓勵(lì)表達(dá)交流，提升“說”的能力

策略學(xué)習(xí)需要鼓勵(lì)表達(dá)和交流，它既可以是傾聽自我基礎(chǔ)上的經(jīng)驗(yàn)梳理，也可以是傾聽他人基礎(chǔ)上的碰撞生成?！澳苷f會(huì)練真把式”，學(xué)生能夠主動(dòng)表達(dá)、自信表達(dá)和準(zhǔn)確表達(dá)，是策略學(xué)習(xí)的基本要求和素養(yǎng)指標(biāo)。如三年級(jí)上冊(cè)的“從條件出發(fā)的策略”的教學(xué)中，先通過問題“題中有哪些已知條件？要求什么問題？”和“你知道‘以后每天都比前一天多摘5 個(gè)’是什么意思嗎？”驅(qū)動(dòng)學(xué)生利用文字、圖式、算式等描述方式，弄清楚相鄰兩天之間的數(shù)量關(guān)系，這里的“說”指向單個(gè)信息的理解突破和多個(gè)信息的有效聯(lián)結(jié)；再通過問題“根據(jù)題中數(shù)量之間的關(guān)系，你打算怎樣解答？”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行諸如“先算第二天摘了多少個(gè)，再算第三天摘了多少個(gè)……”和“可以依次寫出每天摘的個(gè)數(shù)：30、35、40……”的個(gè)性表達(dá)，這里的“說”蘊(yùn)含數(shù)量關(guān)系的具體運(yùn)用和心智推演的合理規(guī)劃。顯然，同樣是動(dòng)嘴說，思維層次卻不一樣，有“眼見為實(shí)”地說條件問題，有“動(dòng)腦聯(lián)結(jié)”地說數(shù)量關(guān)系，還有“用心推算”地說解答思路，學(xué)生的表達(dá)能力在這樣有梯度的歷練中悄然提升。

3.提倡策略多樣，驅(qū)動(dòng)“做”的對(duì)比

策略學(xué)習(xí)需要提倡策略多樣，它既可以是不同學(xué)生的不同思維角度，也可以是相同學(xué)生的先后不同思考?！昂投煌?，美美與共”，策略多樣化演繹了個(gè)性生動(dòng)與共性深刻的辯證統(tǒng)一。如五年級(jí)上冊(cè)的“列舉策略”的教學(xué)中，面對(duì)問題“王大叔用22 根1 米長的木條圍一個(gè)長方形花圃，怎樣圍面積最大？”，學(xué)生獨(dú)立思考后提出“擺圖形”“畫圖形”和“算出長和寬的和”的策略，雖然這些策略形式略有差異，但是列舉傾向意圖明顯。接著，學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐，一方面透過具體的策略，對(duì)比感知到解決問題的著眼點(diǎn)相同，即需要知道長和寬的具體長度，鎖定了列舉是解決問題的關(guān)鍵；另一方面通過繼續(xù)觀察和對(duì)比思考“做”的過程，發(fā)現(xiàn)“有序”和“無序”對(duì)結(jié)果的影響巨大，感悟到列舉的策略。最后，教師順勢(shì)提出問題“你能先列舉出長方形的長和寬，再找出面積最大的長方形嗎？”，驅(qū)動(dòng)學(xué)生聚焦和運(yùn)用之前對(duì)比得到的成果，以表格的形式將關(guān)鍵信息一一呈現(xiàn)，“怎樣圍面積最大？”的問題就此迎刃而解。當(dāng)然，如果接著比較長和寬的相差關(guān)系，還能獲得“周長一定時(shí)，長和寬相差越小，面積越大”的規(guī)律，這個(gè)“副產(chǎn)品”進(jìn)一步凸顯了列舉的價(jià)值和魅力。顯然，策略多樣促成了思維的發(fā)散，為共性認(rèn)知的凝練提供了寶貴素材和翔實(shí)案例，但要注意實(shí)踐的重點(diǎn)是求同存異，并非標(biāo)新立異。

4.引導(dǎo)積極反思，促成“省”的自覺

策略學(xué)習(xí)需要積極反思，既可以是問題解決中成功的經(jīng)驗(yàn)分享，也可以是理解欠缺、探究不足等的“幡然醒悟”。反思是策略學(xué)習(xí)從外在把握到內(nèi)在理解的重要環(huán)節(jié)和必要通道。如四年級(jí)上冊(cè)的“靈活運(yùn)用從條件和問題出發(fā)分析和解決實(shí)際問題”，通過問題“分析數(shù)量關(guān)系，你有哪些體會(huì)？”的驅(qū)動(dòng)，學(xué)生獲得了“可以從條件出發(fā)，也可以從問題出發(fā)”和“可以通過列表、畫線段圖等方法進(jìn)行分析”的反思結(jié)果，有效內(nèi)化了分析數(shù)量關(guān)系的思維方式和表征形式；又如六年級(jí)下冊(cè)的“選擇和運(yùn)用適當(dāng)策略解決實(shí)際問題”，通過問題“解決上面的問題，你選擇了什么策略？是怎樣想的？”的驅(qū)動(dòng)，學(xué)生感受到“選擇畫圖的策略，能使數(shù)量關(guān)系更直觀、更清楚”“把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成比，更容易理解數(shù)量之間的關(guān)系”……有效內(nèi)化了具體策略的個(gè)性特征和價(jià)值體現(xiàn)。顯然，反思不是不假思索地隨意一瞥，也不是不明就里地高談闊論，它需要對(duì)已有認(rèn)識(shí)進(jìn)行有機(jī)整合，以收獲對(duì)策略的深度理解和間接認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)“自我喚醒自我”的意識(shí)自覺、行為自動(dòng)和結(jié)論自明。

5.注重典型梳理，感悟“聯(lián)”的通透

策略學(xué)習(xí)需要注重典型梳理，它可以是同一問題的不同方法對(duì)比，也可以是不同問題的相同方法歸類。“不求全，但求聯(lián)”，必要的回顧與整理，能夠驅(qū)動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的調(diào)用、對(duì)接和反思，為經(jīng)驗(yàn)的“華麗轉(zhuǎn)身”積蓄能量。如五年級(jí)下冊(cè)“轉(zhuǎn)化策略”的教學(xué)中，可以從圖形面積、各類計(jì)算等方面進(jìn)行梳理。其中，圖形面積分為三個(gè)層次，第一層次是將平行四邊形和圓轉(zhuǎn)化成長方形，屬于等面積轉(zhuǎn)化；第二層次是將三角形和梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，屬于非等面積轉(zhuǎn)化；把第一層次和第二層次梳理成“樹形結(jié)構(gòu)”，以長方形的面積計(jì)算為“根”，引導(dǎo)學(xué)生連續(xù)觀察，凸顯“化未知為已知”的轉(zhuǎn)換方向；第三層次為“穿越時(shí)空”情境——走近古代數(shù)學(xué)家劉徽，了解“以盈補(bǔ)虛”的方法，見證三角形和梯形可以等面積轉(zhuǎn)化，感知轉(zhuǎn)化的方向相同和策略多樣。顯然，典型梳理實(shí)現(xiàn)了隱藏方法的顯性化、同類方法的模式化和不同方法的結(jié)構(gòu)化，厚積薄發(fā)、舉三反一，有效推動(dòng)了“方法的感性識(shí)別”向“策略的理性通透”的認(rèn)知進(jìn)階。

綜上所述，“解決問題的策略”是蘇教版教材對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)“問題解決”要求提出的一種思考樣式。從宏觀上看，它依據(jù)前期鋪墊、專題學(xué)習(xí)和后續(xù)強(qiáng)化的路徑規(guī)劃，演繹了核心素養(yǎng)視域下學(xué)生問題解決能力提升的全局思考、系統(tǒng)推進(jìn)和單元突破；從微觀上看，它依據(jù)情境適切、功能適度和策略適用的基本原則，架構(gòu)了“探、說、做、省、聯(lián)”的教學(xué)主線，驅(qū)動(dòng)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)提煉、方法沉淀和情感共鳴。有趣的是，如果跳出問題再看問題，策略學(xué)習(xí)的本身也是一種充滿智慧的學(xué)習(xí)策略。