啟智增慧：在整體中架構(gòu)知識(shí) 發(fā)展學(xué)生思維
——“認(rèn)識(shí)幾分之一”教學(xué)實(shí)錄與思考

趙文超，王 燕

（1.泗陽(yáng)縣教師發(fā)展中心，江蘇 宿遷 223700；2.泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)，江蘇 宿遷 223700）

教學(xué)目標(biāo)：

1.使學(xué)生結(jié)合具體情境感受分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，知道把一個(gè)物體或圖形平均分成幾份，每份是它的幾分之一；能正確讀、寫(xiě)分?jǐn)?shù)，知道分?jǐn)?shù)各部分的名稱(chēng)；初步學(xué)會(huì)聯(lián)系分?jǐn)?shù)的含義，并借助直觀手段比較幾分之一的大小。

2.使學(xué)生在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的過(guò)程中，進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)的整體性的認(rèn)識(shí)，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)觀察、操作、思考和表達(dá)交流的能力。

3.使學(xué)生初步體會(huì)分?jǐn)?shù)源于實(shí)際生活的需要，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的親切感。培養(yǎng)學(xué)生探索、創(chuàng)新意識(shí)，并獲得積極的情感體驗(yàn)。

教學(xué)重點(diǎn)：理解幾分之一的具體含義，建立分?jǐn)?shù)的初步概念，并能借助實(shí)物或圖形認(rèn)識(shí)分子是1 的分?jǐn)?shù)。

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)“幾分之一”內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)。

教學(xué)過(guò)程：

師：同學(xué)們，在你們心目中最小的數(shù)是幾？

生：0。

師：老師把0 的“家”安在這里。（板書(shū)呈現(xiàn)）

師：比0 大一些的數(shù)是幾？接下來(lái)是？

生：1、2、3、4、5……

師：我們學(xué)過(guò)的0、1、2、3……這些數(shù)均可以標(biāo)在這條直直的線(xiàn)上，再往下呢？

師：“數(shù)”家族是無(wú)窮無(wú)盡的，都可以安在這條線(xiàn)上。越往后面，數(shù)越怎么樣？也可以說(shuō)（手勢(shì)往前推）？

生：越往前面數(shù)越小。

師：還記得以前老師帶著你們從哪些角度研究這些數(shù)的嗎？

生：大小排序、讀寫(xiě)、運(yùn)算、產(chǎn)生、意義……

師：今天讓我們踏著曾經(jīng)學(xué)習(xí)的足跡，繼續(xù)去探尋更多有關(guān)數(shù)的奧秘。

【評(píng)析】以往在研究整數(shù)時(shí)，從數(shù)的意義、數(shù)的組成、數(shù)的讀寫(xiě)，數(shù)的排序、數(shù)的分類(lèi)等內(nèi)容著手，建起學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)知識(shí)的框架性結(jié)構(gòu)。在教學(xué)時(shí)，教師嘗試盡早地呈現(xiàn)和揭示這樣的知識(shí)結(jié)構(gòu)。同時(shí)，注重把學(xué)生已有的數(shù)數(shù)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)打通，學(xué)生就可能主動(dòng)地投入運(yùn)用到后續(xù)的學(xué)習(xí)中去，并且學(xué)會(huì)把這些看似不同的知識(shí)從本質(zhì)上聯(lián)系起來(lái)，從而達(dá)到認(rèn)知的結(jié)構(gòu)化的目的。

一、情境導(dǎo)入，引起沖突——體驗(yàn)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過(guò)程

師：周末陽(yáng)光明媚，明明和麗麗結(jié)伴去郊游野餐，我們一起去看看。（出示教材主題圖）從圖中，你能獲得哪些數(shù)學(xué)信息？

生：4 個(gè)蘋(píng)果、2 瓶礦泉水、1 個(gè)蛋糕。

師：4 個(gè)蘋(píng)果，你打算怎么分？

生：每人2 個(gè)，4÷2=2（個(gè)）。

師：在數(shù)學(xué)上，我們把這樣“每份分得同樣多”叫做？

生：平均分。（教師板貼）

師：2 個(gè)蘋(píng)果，用數(shù)字2 來(lái)表示，你能在這條直直的線(xiàn)上找到數(shù)字2 嗎？

學(xué)生標(biāo)注“2”。

師：礦泉水，誰(shuí)來(lái)？

生：把2 瓶礦泉水平均分成2 份，每人分得2÷2=1 瓶。

師：那1 呢？（指著數(shù)軸圖，讓學(xué)生標(biāo)注“1”）

師：蛋糕只有1 個(gè)，還好平均分嗎？每人分得多少？

生：每人半個(gè)。

師：如果請(qǐng)你來(lái)分，你打算從哪兒切？

生：中間

師：中間這個(gè)詞用得好，表示什么？

生：平均分

教師將課件中的蛋糕切成兩半。

師：如果半個(gè)用一個(gè)數(shù)來(lái)表示，應(yīng)該在這條直直的線(xiàn)的哪里呢？

學(xué)生標(biāo)注在0 和1 中間。

【評(píng)析】從“平均分”分食物入手，能有效喚醒學(xué)生原有的“平均分”的經(jīng)驗(yàn)，為由整數(shù)向分?jǐn)?shù)的過(guò)渡做好鋪墊，構(gòu)建平均分在數(shù)學(xué)中的前后聯(lián)系。另外，學(xué)生早在一年級(jí)時(shí)，10 以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)就已經(jīng)出現(xiàn)數(shù)線(xiàn)了，不論是整數(shù)、分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，數(shù)線(xiàn)都應(yīng)該貫穿于數(shù)的認(rèn)識(shí)始終。這里借助數(shù)形結(jié)合的思想把要研究的分?jǐn)?shù)標(biāo)在數(shù)線(xiàn)上，讓學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)到分物體時(shí)不能整分產(chǎn)生一個(gè)新的數(shù)的必要性。

二、借助直觀，感知意義——形成分?jǐn)?shù)的概念

師：可是這半個(gè)該用什么數(shù)來(lái)表示？還能用以前所學(xué)的這些數(shù)來(lái)表示嗎？

生：0.5 個(gè)、二分之一個(gè)。

師：是的，半個(gè)就是二分之一個(gè)。那這里的二分之一在數(shù)學(xué)上該怎么記錄呢？

師：用以前所學(xué)的數(shù)無(wú)法表示半個(gè)了，人們經(jīng)過(guò)了漫長(zhǎng)地探索，創(chuàng)造一個(gè)新的數(shù)——分?jǐn)?shù)。今天我們就一起認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。（出示課題）

【評(píng)析】設(shè)置懸念，使學(xué)生在表達(dá)平均分結(jié)果的過(guò)程中體會(huì)到：當(dāng)平均分的結(jié)果不能用以前學(xué)過(guò)的數(shù)表示，從而引發(fā)擴(kuò)展數(shù)概念的心理需要，激發(fā)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和興趣。

生：我們把這個(gè)蛋糕平均分成2 份（教師板貼平均分成兩份的蛋糕圖），半個(gè)是其中的1 份。

師（指著圖）：那這一半呢（板貼半個(gè)蛋糕圖）？

生：把一個(gè)蛋糕平均分成2 份，每份都是它的二分之一。

師：有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的樣子和我們以往學(xué)的數(shù)有什么不一樣的地方？

生：比以前所學(xué)的數(shù)多了一條短橫線(xiàn)，而且橫線(xiàn)的上下都有數(shù)字。

教師布置學(xué)生自學(xué)教材第87 頁(yè)，尋找答案。

生：分?jǐn)?shù)里的一條線(xiàn)叫做分?jǐn)?shù)線(xiàn)，表示平均分。

師：仔細(xì)觀察蛋糕圖，哪里有“2”呢？

生：把一個(gè)蛋糕平均分成2 份，也就是平均分成的份數(shù)。

學(xué)生點(diǎn)頭示意。

師：剛剛我們是分蛋糕，換成其它物品，你還會(huì)分嗎？同桌相互說(shuō)一說(shuō)。

【評(píng)析】借助直觀演示，幫助學(xué)生在“生活經(jīng)驗(yàn)”與“數(shù)學(xué)知識(shí)”之間架起認(rèn)知橋梁。學(xué)生自學(xué)與教師引導(dǎo)相結(jié)合，對(duì)于分?jǐn)?shù)各部分的名稱(chēng)，學(xué)生通過(guò)自學(xué)的方法來(lái)完成，對(duì)于分?jǐn)?shù)各部分表示的含義還是需要教師來(lái)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)。

（二）操作感悟——折長(zhǎng)方形的

學(xué)生匯報(bào)（貼在黑板上）。

2.提問(wèn)：同樣的長(zhǎng)方形，折法不同，得到每一份的形狀也不同，為什么涂色的部分都能用表示呢？

生：這三種方法雖然不同，但涂色部分都是長(zhǎng)方形紙的一半，也就是長(zhǎng)方形的

教師適時(shí)小結(jié)：只要是把長(zhǎng)方形平均分成2 份，每一份就一定是它的

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：三條折痕交于一點(diǎn)。

師：是的，這是一個(gè)神奇而重要的點(diǎn)，這條折痕也是一條會(huì)變的線(xiàn)。你有什么大膽的猜想嗎？

生：是不是只要折痕通過(guò)這個(gè)神奇的點(diǎn)，就可以把長(zhǎng)方形平均分成2 份呢？

師：這真是一個(gè)偉大的猜想，我們的數(shù)學(xué)就是要這樣大膽地猜想和嘗試。那么我們可以怎么驗(yàn)證一下她大膽的猜想呢？

師：你認(rèn)為這樣的折法有多少種？

生：無(wú)數(shù)種。

師：是的，你們真是有數(shù)學(xué)眼光。數(shù)學(xué)有的時(shí)候就是這么地奇妙，換個(gè)角度，多想一會(huì)兒，說(shuō)不定就會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。

總結(jié)過(guò)渡：從剛才的學(xué)習(xí)，我們知道不管是一個(gè)蛋糕、一個(gè)圖形，還是其他的，只要是把它平均分成2 份，每份就是它的

【評(píng)析】教學(xué)緊緊抓住分?jǐn)?shù)的本質(zhì)開(kāi)展，在課堂中著重讓學(xué)生感受了“一張長(zhǎng)方形紙折法不一樣”折出的都是，這是分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的核心問(wèn)題，目的是讓學(xué)生在動(dòng)手做的過(guò)程充分理解分?jǐn)?shù)的意義。通過(guò)對(duì)長(zhǎng)方形的平均分，能得到同樣的分?jǐn)?shù)，在對(duì)比中建立分?jǐn)?shù)的概念。

3.課堂小練習(xí)——判斷：涂色部分能用二分之一表示嗎？

生：因?yàn)檫@三幅圖都沒(méi)有平均分。

師：同學(xué)們不僅善于觀察和學(xué)習(xí)，還善于總結(jié)，真是好樣的！同時(shí)這里的幾幅圖再次給我們提了個(gè)醒兒，平均分在分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中是多么的重要。

（三）做分?jǐn)?shù)——認(rèn)識(shí)其他幾分之一

2.活動(dòng)操作：小組內(nèi)拿一張紙折一折，并用斜線(xiàn)表示它的幾分之一，然后在小組內(nèi)匯報(bào)。

隨機(jī)選取三個(gè)同學(xué)的作品臺(tái)前展示。同時(shí)請(qǐng)其他學(xué)生說(shuō)說(shuō)他們的想法。

3.研究“不同中的相同”，收集幾個(gè)作品。

4.匯報(bào)梳理：

【評(píng)析】引導(dǎo)學(xué)生從不同的圖形、不同的折法中找出它們的共同特點(diǎn)，有利于幫助他們建立關(guān)于準(zhǔn)確而清晰的表象。由認(rèn)識(shí)到認(rèn)識(shí)，是分?jǐn)?shù)外延的擴(kuò)展。這樣的擴(kuò)展既能使學(xué)生進(jìn)一步積累感性經(jīng)驗(yàn)，又能使他們已有的對(duì)幾分之一的認(rèn)識(shí)得以及時(shí)鞏固。在交流中重點(diǎn)關(guān)注“圖形被平均分成多少份，涂色部分是這樣的幾份”，突出了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性。

（四）比較幾分之一的大小

研究“相同中的不同”。

過(guò)渡：不同的圖形能表示出相同的分?jǐn)?shù)，那相同的圖形能表示出不同的分?jǐn)?shù)嗎？

揭示第二張卡片。

師：你是怎么比較的？

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：同一個(gè)圓，平均分的份數(shù)越多，每份就越小。

【評(píng)析】比較于“無(wú)形”之中，在不知不覺(jué)中就讓學(xué)生悟出了分?jǐn)?shù)的大小原因，同時(shí)課的開(kāi)始就將三張同樣大小的圓重疊在一起，抓住“同樣大小”這個(gè)關(guān)鍵，讓數(shù)學(xué)知識(shí)變得嚴(yán)密，在交流的過(guò)程中滲透并讓學(xué)生感受了分母的意義，同時(shí)進(jìn)一步體會(huì)幾分之一與整數(shù)“1”的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)相關(guān)知識(shí)奠定經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

三、找一找、練一練——深化對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解

（一）在數(shù)線(xiàn)上找分?jǐn)?shù)的“家”

師：現(xiàn)在，我們來(lái)找一找這些分?jǐn)?shù)的“家”，

（二）感悟分?jǐn)?shù)的位置

師：如果繼續(xù)平均分下去，還會(huì)出現(xiàn)幾分之一？它們的“家”又分別在哪里？

師：這些分?jǐn)?shù)的“家”越來(lái)越靠近誰(shuí)？

生：0。

【評(píng)析】在用紙條猜分?jǐn)?shù)的環(huán)節(jié)，有兩點(diǎn)思考：一是通過(guò)涂色部分的大小用分?jǐn)?shù)來(lái)表示，滲透“數(shù)感”；二是讓學(xué)生深入地思考，感悟極限思想。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中增長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)，悟出道理，抓住了數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)本質(zhì)，感受數(shù)學(xué)課堂的魅力。

四、應(yīng)用知識(shí)，拓展能力——感受數(shù)學(xué)的魅力

師：學(xué)到這兒，一起回頭看我們研究的腳步。今天我們研究的都是什么樣的分?jǐn)?shù)？觀察分母和分子……

生：都是幾分之一（板貼）。

……

師：看來(lái)大家的收獲可真多，想不想再到生活中去找找分?jǐn)?shù)。

（一）生活中的分?jǐn)?shù)——披薩

1.估一估，已經(jīng)切好的這小塊披薩占整個(gè)披薩的幾分之一？

【評(píng)析】課堂教學(xué)中，教師注重學(xué)生操作體驗(yàn)，善于為學(xué)生融入生活元素，設(shè)計(jì)生活情境化練習(xí)，學(xué)生在探討的表述過(guò)程中，盡管可能有不規(guī)范、不準(zhǔn)確、不簡(jiǎn)練等問(wèn)題的存在，教師適時(shí)地進(jìn)行修正和提煉，幫助學(xué)生形成規(guī)范的語(yǔ)言表達(dá)，以此促進(jìn)他們數(shù)學(xué)思維能力的提升。

（二）繪本推薦

師：數(shù)學(xué)閱讀，開(kāi)卷有益。最后，老師要和大家分享的是數(shù)學(xué)繪本《保羅大叔分披薩》，故事主人公披薩店老板——保羅大叔是一個(gè)非常智慧的人，他的技術(shù)嫻熟得就像精彩的魔術(shù)，讓人驚嘆不已，相信這本書(shū)一定能讓你大開(kāi)眼界！

【評(píng)析】在教育部的課后托管相關(guān)文件中，明確提出“開(kāi)展豐富多彩的文體活動(dòng)、閱讀、興趣小組以及社團(tuán)活動(dòng)，提高課后服務(wù)質(zhì)量水平。”閱讀，作為重要的選項(xiàng)位列其中。

五、全課總結(jié)，反思提升——提出關(guān)于分?jǐn)?shù)的問(wèn)題

師：我們一起回頭看看我們研究的腳步。你有哪些收獲？你的腦海里有沒(méi)有長(zhǎng)出新的問(wèn)題？對(duì)于一個(gè)新學(xué)的知識(shí)我們可以看看你有什么疑問(wèn)，帶著疑問(wèn)可以去查找資料，或動(dòng)手操作，或和小伙伴們討論，這些都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，而且學(xué)習(xí)的過(guò)程中產(chǎn)生新的問(wèn)題也很重要，因?yàn)槟銜?huì)學(xué)得更好更智慧。

【總評(píng)】整節(jié)課學(xué)生在輕松、愉悅的氛圍中度過(guò)，在教師的引導(dǎo)下充分動(dòng)手、動(dòng)腦、思辨，尤其在理解分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，能進(jìn)行有條理地表達(dá)。這得益于教師讀懂、讀透教材，了解教學(xué)內(nèi)容在教材體系中的位置，把握住知識(shí)本質(zhì)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，整體進(jìn)行架構(gòu)知識(shí)，重視教學(xué)的一致性，并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中提升學(xué)生思維能力。

一、在抽象中凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

抽象是從許多事物中舍棄個(gè)別的非本質(zhì)屬性，得到共同的本質(zhì)屬性的思維過(guò)程，是形成概念的必要手段。在本課的教學(xué)場(chǎng)景中學(xué)生知道把一個(gè)完整的蛋糕平均分給2 人，每人可以得到“半個(gè)”，“半個(gè)”是學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，沒(méi)法用“1”表示，于是尋求新的數(shù)。為了讓學(xué)生順利感知數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，借助蛋糕實(shí)物圖直觀演示，實(shí)現(xiàn)從生活到半抽象，學(xué)生的認(rèn)知從感性上升到理性，再?gòu)臄?shù)學(xué)圖形到數(shù)，實(shí)現(xiàn)從半抽象到完全抽象，學(xué)生的理性認(rèn)知更進(jìn)一步。在整個(gè)抽象的過(guò)程中，第一次的實(shí)物蛋糕圖是更為本質(zhì)的，學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，同時(shí)在教師的引領(lǐng)下，直觀圖與抽象數(shù)兩者信息產(chǎn)生密不可分的關(guān)聯(lián)，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二、鏈接數(shù)線(xiàn)圖實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化

數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的科學(xué)，數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想方法。作為學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的種子課，不能忽視學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生從一年級(jí)學(xué)習(xí)“1”就認(rèn)識(shí)了直尺上的數(shù)，隨后的練習(xí)開(kāi)始就出現(xiàn)數(shù)線(xiàn)圖，數(shù)線(xiàn)圖能形象地描述出數(shù)。在這節(jié)課的開(kāi)始把知道的自然數(shù)在數(shù)線(xiàn)圖上表示出來(lái)，不僅能夠幫助學(xué)生回顧已有數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，知道數(shù)的順序、排列是有規(guī)律和方向的，使數(shù)和點(diǎn)建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，抽象的數(shù)變得有形可依。學(xué)生知道學(xué)過(guò)的自然數(shù)在數(shù)線(xiàn)上可以表示出來(lái)，學(xué)生就能帶著這樣的經(jīng)驗(yàn)去學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，打通了知識(shí)關(guān)聯(lián)的關(guān)鍵點(diǎn)，厘清了知識(shí)的結(jié)構(gòu)。課中不是單純地去教分?jǐn)?shù)，而是把要學(xué)習(xí)的數(shù)放在知識(shí)的整個(gè)體系、數(shù)的領(lǐng)域來(lái)看，它和以前學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)一樣具有可數(shù)性、可比性、能計(jì)算，在數(shù)線(xiàn)圖上有自己的位置。在突破本節(jié)課的核心知識(shí)即認(rèn)識(shí)后，把放在數(shù)線(xiàn)圖上，學(xué)生的猜想得到證實(shí)：位于0 和1 之間，在拓展環(huán)節(jié)，學(xué)生猜想還有不同的分?jǐn)?shù)藏在上面，數(shù)形結(jié)合順利實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的前伸后延，鏈接已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化。

三、深度學(xué)習(xí)提升數(shù)學(xué)思維

深度學(xué)習(xí)是從數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)出發(fā)，把握數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，依學(xué)生已有的知識(shí)現(xiàn)狀，合理運(yùn)用、重組教材，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力得到了發(fā)展，思維能力得到提升。本課中同桌之間互相說(shuō)一說(shuō)對(duì)的印象，學(xué)生通過(guò)對(duì)蛋糕圖的直觀操作，在互相交流中，初步悟出了的意義，然后教師開(kāi)始類(lèi)比遷移，相機(jī)提問(wèn)如果分的是其他物體呢，這樣學(xué)生在表達(dá)過(guò)程中順利完成了對(duì)意義的理解，學(xué)生學(xué)到外顯知識(shí)的同時(shí)，還能感悟到數(shù)學(xué)的推理和模型思想。教師注意關(guān)鍵問(wèn)題的追問(wèn)：現(xiàn)在學(xué)的和以前學(xué)的數(shù)有什么不同呢？為什么折法不同，都能用表示，為什么形狀不同、大小不同都可以用表示，每次問(wèn)完，教師先讓學(xué)生先自己想一想，引起學(xué)生頭腦風(fēng)暴，實(shí)現(xiàn)與自己的對(duì)話(huà)，與心中的疑團(tuán)進(jìn)行辯論，再與伙伴進(jìn)行交流，相互進(jìn)行批判、補(bǔ)充，轉(zhuǎn)化成了全體學(xué)生的共享資源，達(dá)到了加深對(duì)分?jǐn)?shù)核心知識(shí)的學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)了思維進(jìn)階，提升了數(shù)學(xué)思維能力。