關(guān)于“分數(shù)乘分數(shù)”的深度思考

張春梅

（涉縣第二實驗小學(xué)，河北 邯鄲 056400）

分數(shù)乘法是人教版六年級的內(nèi)容，每年在教學(xué)這部分內(nèi)容時，總要遭遇分數(shù)乘分數(shù)這塊難啃的“骨頭”。大家一致認為，分數(shù)乘分數(shù)的計算法則是容易掌握的。最棘手的問題是，如何讓學(xué)生在學(xué)會計算的同時更好地理解分數(shù)乘分數(shù)的意義，因為這對后續(xù)分數(shù)應(yīng)用題的學(xué)習(xí)具有重要的意義。

基于以上一系列思考，本設(shè)計主要通過兩個環(huán)節(jié)開展教學(xué)活動，一是讓學(xué)生理解分數(shù)乘分數(shù)的意義；二是在理解意義基礎(chǔ)上推導(dǎo)計算法則。

一、激發(fā)認知沖突，拓展乘法意義

（一）比較

學(xué)生在過去分數(shù)乘整數(shù)的基礎(chǔ)上，很快畫圖列出算式：

師：你能說出每個算式的含義嗎？

學(xué)生結(jié)合圖示說出每個算式表示的含義。

師：為什么這樣列式？能說一下理由嗎？

生2：根據(jù)“工作效率×工作時間=工作總量”，可以列出算式。

生3：1 小時就相當于1 份，3 小時就是3份，所以用乘法計算。

師：這些算式有什么相同之處呢？

生：都是求一個數(shù)的幾倍是多少。

設(shè)計說明：此處教師讓學(xué)生尋找三個問題的共同之處，喚醒舊知，明確分數(shù)乘整數(shù)的意義，為下面遷移類推拓展乘法的意義做好充分準備。此環(huán)節(jié)的展開還是比較順利的，因為學(xué)生有過去整數(shù)乘法做基礎(chǔ)。

（二）建構(gòu)

教師接著出示問題并提出要求：

A.采取自己喜歡的方式解決問題，比如畫圖。

B.解釋算理。

學(xué)生列出算式，交流列式根據(jù)。

生1：根據(jù)“工作效率×工作時間=工作總量”，直接列出算式。

生2：1 小時刷的面積知道了，那么不管幾小時都用乘法計算。

師：請同學(xué)們結(jié)合一位同學(xué)畫的圖，思考一下，這三個算式表示什么意義？學(xué)生在辨析討論中遇到困難，教師引導(dǎo)：

師：我們把這三個圖與剛才第一組的第三個圖比較一下，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：從圖上可以知道，第一組的第三個圖表示1 小時刷整個墻的，那么小時刷的就是這個的

師：回過頭來看我們列出的算式，還是原來的求幾個幾的意義嗎？

設(shè)計說明：此環(huán)節(jié)教師拋出今天研究的新問題，借助畫圖的方式幫助理解和列出算式，在利用舊知無法解釋新問題時，學(xué)生一般會打破心理平衡，產(chǎn)生認知沖突，即皮亞杰提出的順應(yīng)現(xiàn)象。此時，教師引導(dǎo)學(xué)生認真觀察圖示，從圖示中尋求算式的意義，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)乘一個分數(shù)就是求這個數(shù)的幾分之幾這樣的關(guān)系。

（三）提升

師：將前三個問題歸為第一組，后三個問題歸為第二組，這兩組問題有什么相同和不同之處嗎？請大家小組討論交流一下。

師：也就是說，當我們求一個數(shù)的幾倍的時候用乘法，當我們求一個數(shù)的幾分之幾的時候也可以用乘法，對嗎？下面我們再重新來看看剛才出示的所有圖示和算式：

設(shè)計說明：從相同點可以統(tǒng)一概括乘法的意義，突顯新知與舊知之聯(lián)系；從不同點使學(xué)生明確整數(shù)乘法與一個數(shù)乘分數(shù)的意義有所不同，沖破過去乘法的理解限制，突顯新知之“新”在何處，舊知與新知關(guān)系清晰，此時學(xué)生的小學(xué)乘法意義結(jié)構(gòu)已初步構(gòu)成。

二、利用數(shù)形結(jié)合，推導(dǎo)計算法則

（一）方法發(fā)現(xiàn)

師：剛才我們理解了算式的意義，那么你知道第二組的算式等于多少嗎？

學(xué)生很快找出答案。

師：觀察圖示和算式的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？為什么會這樣？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)了用分數(shù)的分子乘分子得出積的分子，分母乘分母得出積的分母。

（二）專項練習(xí)

A.請你根據(jù)下面的圖示列出算式，并寫出計算過程。

B.計算下面各題

C.通過畫圖的方法解釋B 題中的任意一個算式意義和算理。

設(shè)計說明：學(xué)生雖然能夠從圖上得出算式的答案，但不代表已經(jīng)通曉算理。教師沒有簡單地停留在計算技能的訓(xùn)練上，而是引導(dǎo)學(xué)生思考計算過程的道理，采取的方法就是結(jié)合圖示對應(yīng)理解。同時，為了擺脫例題圖示的影響，出示三道練習(xí)題，進一步加深對算式的意義和算理的理解；一方面拓展圖示的份數(shù)，另一方面由圖示過渡到單獨的算式，最后再由算式嘗試解釋，這樣的過程有效地建構(gòu)起分數(shù)乘分數(shù)的計算法則。

【教學(xué)反思】

1.從整數(shù)到分數(shù)，實現(xiàn)乘法意義的拓展。如果教師直接按照教材呈現(xiàn)新知，勢必會使學(xué)生陷入多重問題之中：一個分數(shù)的幾分之幾如何理解，為什么用乘法計算，乘法的意義如何建構(gòu)等等。不僅意義理解不到位，計算法則也會流于技能層面。俗話說，“接知如接枝”，新的知識總是在原有知識的基礎(chǔ)上發(fā)展而成的。以上設(shè)計從學(xué)生的已有知識經(jīng)驗出發(fā)，根據(jù)過去整數(shù)乘法意義的理解，先從3 小時、2 小時、1 小時開始，然后逐步拓展到小時、小時、小時等，由整數(shù)的幾倍過渡到一個整體及到這個整體的一部分，使學(xué)生遭遇認知沖突，繼而上升到對一個數(shù)的幾分之幾的認識，實現(xiàn)了乘法意義的有效拓展。美國著名教育家布魯姆明確提出，不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。本節(jié)課中乘法意義的知識結(jié)構(gòu)就顯得清晰連貫，有效溝通了新知與舊知之間的密切聯(lián)系，取得了較好的教學(xué)效果。

2.從圖形到算式，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。本設(shè)計無論是分數(shù)乘法意義的建構(gòu)還是計算法則的推導(dǎo)均采用了畫圖理解的方式，使得學(xué)習(xí)難點得到了有效突破。首先，在意義理解上，的幾倍和的幾分之幾通過表格表示，給學(xué)生提供一個十分清晰的表象，為抽象意義準備了充分的感知材料。其次，在計算法則的推導(dǎo)上，每步計算都能在圖形中得到解釋和意義支撐，使得法則的形成順理成章，有效突破了學(xué)習(xí)難點。曹培英教授指出，這種表格圖示就是分數(shù)乘法的幾何模型，為什么分母相乘、分子相乘，一目了然，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。