阿波羅尼斯圓及其逆向問(wèn)題

甘志國(guó)

本文對(duì)阿波羅尼斯圓給予了深入研究：給出了其平面解析幾何解法及平面幾何解法，還解決了其逆向問(wèn)題，并給出了它們?cè)诮獯鸶呖碱}方面的應(yīng)用.

題1 （普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)2.必修.A版》（人民教育出版社.2007年第3版）（下簡(jiǎn)稱(chēng)《必修2》）第140頁(yè)例）已知點(diǎn)P（2，0）， Q（8，0），點(diǎn)M與點(diǎn)P的距離是它與點(diǎn)Q距離的1/5，用“幾何畫(huà)板”探究點(diǎn)M的軌跡，并給出軌跡的方程

題2（與《必修2》配套使用的《教師教學(xué)用書(shū)》（人民教育出版社，2007年第2版）（下簡(jiǎn)稱(chēng)《必修2.教師教學(xué)用書(shū)》）第142頁(yè)第三題第2題，即普通高中教科書(shū)《教師教學(xué)用書(shū)》（數(shù)學(xué)·選擇性必修·第一冊(cè)（A版））（人民教育出版社，2007年第2版）（下簡(jiǎn)稱(chēng)《選擇性必修第一冊(cè)·教師教學(xué)用書(shū)》）第156頁(yè)第三題第15題）在△ABC中，已知|BC|=2，且|AB|/|AC|=m，求點(diǎn)，A的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形，

注《必修2.教師教學(xué)用書(shū)》第144頁(yè)- 145頁(yè)給出題2的答案是：由題設(shè)可得m>0.以BC所在直線為x軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，當(dāng)m=1時(shí)，所求軌跡方程是x=0.軌跡是y軸（筆者注：應(yīng)改為“所求軌跡方程是x=O（y≠0），軌跡是，軸（但要去掉坐標(biāo)原點(diǎn)）”）;當(dāng)m>0且m≠1時(shí)，所求

這兩道題中的圓就是阿波羅尼斯（ Apollonius ofPerga，公元前262 -公元前190）圓：在平面上與兩個(gè)定點(diǎn)A.B的距離之比為定值λ（λ>0且λ≠1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓，通常把這個(gè)圓叫做阿波羅尼斯圓.

定理1在平面上與兩個(gè)定點(diǎn)A.B（ |AB| =2a，a>0）的距離之比為定值λ（λ>0且λ≠1）的動(dòng)點(diǎn)

D.早于公元前6000年

解析 由題意可畫(huà)出示意圖，如圖2所示，其中AO⊥BO（BO代表骨笛），λO= 10. 00，BC=9.40.BO= 16. 00.故OC=6.60.

設(shè)黃赤交角為θ.由題意得∠BAC= ∠CAD=θ.故θ= ∠BAO - ∠CAO.

對(duì)照題中表2.由0.455<0.457<0.461.得該骨笛的大致年代早于公元前6000年，故選D.

點(diǎn)評(píng) 本題讀懂題意畫(huà)出示意圖，通過(guò)解直角三角形和兩角差的正切公式，計(jì)算出黃赤交角的正切值，對(duì)照題中的表格而得解，

證法1 （平面解析幾何法）如圖l所示，以線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O.線段AB所在的直線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，得點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）.

定理2若在平面上圓心為點(diǎn)C、半徑為r的定圓r上有三個(gè)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值A(chǔ)，則A>O且A≠1：且三點(diǎn)A，B，C在一條直線上（設(shè)該直線l與圓廠的兩個(gè)交點(diǎn)是D，E，可得兩點(diǎn)D，E中有且僅有一個(gè)（不妨設(shè)為點(diǎn)D）在線段AB上）且兩點(diǎn)A，B可由直線l及AB=（1+A）DB=（1

解法 2√2由于AB為定長(zhǎng)，因此△ABC的面積由AB邊上的高決定，而動(dòng)點(diǎn)C滿足AC=√2-BC，所以可如圖6所示以直線AB為x軸，線段AB的中垂線為'，軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy來(lái)求出點(diǎn)C的軌跡方程，

題5（2013年高考江蘇卷第17（2）題）如圖7所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線/：y= 2x -4.設(shè)圓的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點(diǎn)M，使MA= 2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍，9C0360F5-2860-426A-AA25-A4706205BFAB