由超輻射引起的遷移率邊和重返局域化*

吳瑾 陸展鵬 徐志浩 郭利平

(山西大學理論物理研究所,量子光學與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

1 引言

超冷原子氣與腔量子電動力學分別是凝聚態(tài)物理與量子光學中最重要的研究領域之一,它們有著各自的發(fā)展歷史與豐富成果[1,2].冷原子氣體與光腔的耦合系統(tǒng)進一步結合了這兩大領域,為模擬和研究各種新奇量子物態(tài)提供了一個重要平臺[3,4],引起了人們的廣泛關注.在單模腔中的玻色愛因斯坦凝聚體加入橫向泵浦會導致體系從正常相轉變?yōu)槌椛湎郲5].而在超輻射相區(qū)內(nèi),腔內(nèi)原子將受到一個腔誘導的超晶格勢作用[6].實驗上已經(jīng)觀測到在腔誘導的公度超晶格中存在超固體相[7,8].當腔誘導的晶格勢與靜態(tài)光晶格勢是非公度的,在平均場近似下系統(tǒng)形成一個有效的準周期調(diào)制,導致金屬-絕緣的轉變[9-11].

另一方面,在這種既不是周期的,又不是完全無序的準周期系統(tǒng)中,最典型的模型就是具有準周期調(diào)制的一維Aubry-André (AA)模型,它展現(xiàn)了獨特的局域化性質(zhì)[12,13].由于AA 模型的自對偶特征,具有與能量無關的局域化轉變,即在某一準周期調(diào)制強度下,所有的單粒子態(tài)要么都是局域的,要么都是擴展的.2008 年,Roati 等[14]在冷原子體系中利用雙色光晶格的方案已經(jīng)實現(xiàn)了準周期調(diào)制的AA 模型,并且觀測了其局域化轉變.但值得注意的是,通過破壞自對偶特性,一維準周期調(diào)制系統(tǒng)中可以出現(xiàn)遷移率邊[15-19],即擴展態(tài)與局域態(tài)之間的能量邊界.最近,理論上預測了長程躍遷的準周期調(diào)制系統(tǒng)[20]、具有特殊形式準周期調(diào)制的系統(tǒng)[21]、準周期調(diào)制的玻色子對系統(tǒng)[22]以及二維非厄米準晶[23]等具有簡潔解析形式的遷移率邊.通常來說,無序系統(tǒng)經(jīng)過局域相變后,隨著無序強度的進一步增強,所有的態(tài)始終處于局域態(tài).然而,最近Roy 等[24]研究了一維交叉調(diào)制的二聚體準晶系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)由于二聚體和準周期調(diào)制的競爭,導致重返局域化現(xiàn)象的產(chǎn)生,即部分態(tài)在特殊的無序強度范圍內(nèi)從局域態(tài)重新變成擴展態(tài),隨著無序強度進一步增強,所有態(tài)又重新回到局域態(tài)的現(xiàn)象.這一現(xiàn)象在非厄米準周期系統(tǒng)也被發(fā)現(xiàn)[25].重返局域化現(xiàn)象可以利用激發(fā)動力學手段探測[26].通常的冷原子實驗中,實現(xiàn)具有重返局域化現(xiàn)象的無序模型存在一定的困難.

基于以上的研究和存在的難題,本文討論了在原子-光腔耦合系統(tǒng)中由超輻射引起的遷移率邊和重返局域化,以及實驗的實現(xiàn)方案.

2 理論模型

如圖1 所示,考慮一團含有Nb個原子的玻色愛因斯坦凝聚體被捕陷在一個梯子形的光晶格中,并且此梯形光晶格處于x-y平面被裝載進一個高精度腔中.每條梯子腿上的原子受到x方向上的周期勢Vstatic=V1cos2(kx) 限制,其中V1正比于光格子強度和晶格波矢k.沿著z方向梯子腿加載波矢為kp、頻率為ωp的泵浦光.在緊束縛近似下,系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為:

圖1 實驗裝置示意圖.在高精度腔中,中性原子被x-y 平面的梯子形光晶格俘獲,并沿著z 方向加入驅動泵浦場.泵浦場的頻率為 ωp 遠失諧于原子能級躍遷頻率 ωa,但接近于腔場頻率ωcFig.1.A schematic diagram of experimental setup.In a high-finesses optical cavity,spinless atoms are trapped by a ladder lattice in x-y plane.The atoms are driven by a pump laser beam along z direction.The frequency ωp of the pump laser is far detuned from the atomic transition line ωabut close to the cavity-mode frequency ωc .

其中

當κ ＞J時,腔場存在穩(wěn)態(tài)解.腔場的穩(wěn)態(tài)解(?tα=0)可以寫為:

依賴于光場序參量α.當處于正常相(α=0)時,系統(tǒng)可以由一個標準的梯子模型所描述,而當系統(tǒng)進入超輻射相區(qū)(α0),一個由超輻射引起的調(diào)制勢被引入到梯子模型.圖2(a)給出了在L=1974,K=0.8,Δc=-2 和κ=1.2 時,對于不同U,光場序參量|α|隨有效耦合強度λ的變化.對于不同的U,在小λ情況下,|α|=0,而隨著λ的增加到超過某個臨界有效耦合強度λc后,光場序參量|α|跳變?yōu)橐粋€有限值,表明此時系統(tǒng)進入到超輻射相區(qū).由圖2(a)可以看出,隨著U的增加,臨界耦合強度λc的值逐漸增加.圖2(b)給出了λc隨著U值的變化情況,其中黑色實線為數(shù)值擬合結果,即λc=-0.1149U2+0.4251U+1.9875 .由此可見,通過調(diào)節(jié)腔場強度可以有效地控制超輻射轉變點,從而實現(xiàn)對模型中調(diào)制強度λD和UD調(diào)節(jié)的控制.

圖2 (a) 腔場耦合強度U 取不同的值時,光場 |α| 隨著耦合強度λ 變化的圖像;(b) 臨界耦合強度 λc 隨著U 的變化情況.這里,L=1974,K=0.8,β=610/987,Δc=-2和κ=1.2Fig.2.(a) The cavity field |α| as a function of the pumping strength λ for different U;(b) the critical pumping strength λc as a function of U.Here L=1974,K=0.8,β=610/987 ,Δc=-2 and κ=1.2 .

3 結果與討論

本節(jié)首先選取參數(shù)UD=1,2 作為具體的例子,通過改變不同的調(diào)制強度λD,分別討論存在兩種不同的局域化現(xiàn)象,即存在遷移率邊和重返局域化.最后給出系統(tǒng)在λD-UD參數(shù)平面的局域化相圖.

3.1 遷移率邊

圖3(a)給出了UD=1 和L=3194 時,〈IPR〉和〈NPR〉隨著準周期調(diào)制強度λD的變化情況.對比AA 模型,此時系統(tǒng)的〈IPR〉和〈NPR〉并不是在同一點發(fā)生轉變,而是存在了一段〈IPR〉和〈NPR〉同時具有有限值的臨界相區(qū),即圖3(a)中灰色標記的區(qū)域.這一現(xiàn)象表明在的區(qū)間,體系能譜中應該同時存在擴展和局域態(tài).這里,而當所有本征態(tài)隨著λD的增加都變成局域態(tài).圖3(b)—圖3(d)給出了在UD=1,對應于不同λD時,〈NPR〉隨著尺寸L的標度分析.當λD=0.5 時,如圖3(b)所示,在L →∞的極限下,〈NPR〉隨著尺寸L的增大趨近于一個有限值,約為 0.445,表明系統(tǒng)中所有本征態(tài)都是擴展態(tài).當λD=5 時,如圖3(d)所示,,表明此時系統(tǒng)中所有的本征態(tài)都為局域態(tài).當調(diào)制強度λD落在中間臨界相區(qū)時,以λD=2為例,如圖3(c)所示,〈NPR〉在L →∞時,隨著L呈衰減趨勢,并趨近于一個有限值,約為0.14,它遠小于擴展相區(qū)的情況,表明此時系統(tǒng)中既存在擴展態(tài)又存在局域態(tài),即存在遷移率邊.

圖3 (a) 當 UD=1,K=0.8,L=3194 時,〈IPR〉 (黑色實線) 和 〈NPR〉 (紅色虛線) 隨 λD 變化的曲線,灰色區(qū)域代表著具有遷移率邊的臨界區(qū)域;(b) λD=0.5,(c) λD=2,(d) λD=5 時,〈NPR〉 隨著 L-1的變化,其余參數(shù)的取值是UD=1,K=0.8Fig.3.(a) 〈IPR〉 (the black solid line) and 〈NPR〉 (the red dashed line) as the functions of λD forUD=1,K=0.8,L=3194.The grey region denotes the critical region with mobility edges;〈NPR〉 as a function of L-1 withUD=1 and K=0.8 for (b) λD=0.5,(c) λD=2,and (d) λD=5 .

圖4 (a1) λD=0.5,(b1) λD=2 和(c1) λD=5時第300 個激發(fā)態(tài)的密度分布;(a2) λD=0.5,(b2) λD=2 和(c2) λD=5 時第 1100 個激發(fā)態(tài)的密度分布.這里,K=0.8,UD=1和L=1220Fig.4.Density distributions of the 300th excited eigenstates for (a1) λD=0.5,(b1) λD=2,and (c1) λD=5 ;density distributions of the 1100th excited eigenstates for(a2) λD=0.5,(b2) λD=2,and (c2) λD=5 .Here,K=0.8 ,UD=1,and L=1220 .

圖5 在 UD=1,K=0.8 和 L=3194 時,分形維度γ 隨著調(diào)制強度 λD 和能量本征值 En 的變化.其中,黑色實線和黑色虛線分別對應了兩個局域化轉變點 和.圖中顏色代表著γ 的大小Fig.5.γ of the eigenstates as a function of the energy spectrum and λD for UD=1,K=0.8,and L=3194 .Here the black solid line and black dashed line denote two transport points, and .The color code represents the values of γ.

3.2 重返局域化

通常來說,進一步增加調(diào)制強度λD,系統(tǒng)將一直處于局域區(qū),如UD=1 時的情況.然而通過計算發(fā)現(xiàn),在λD∈區(qū) 間,〈IPR〉和〈NPR〉又重新恢復到都保持有限值的情況,表明此時系統(tǒng)又重新進入到具有遷移率邊的相區(qū).這里,≈2.85 和而當λD＞系統(tǒng)又進入完全局域相.這是典型的重返局域化的特性.

重返局域化的特征可以由每個能量對應的本征態(tài)的分形維度γ隨著λD的變化來精確地反映,如圖6(b)所示.其中,4 條灰色實線從左到右分別對應于局域化轉變點重返局域化現(xiàn)象指的是系統(tǒng)經(jīng)過第一次局域轉變,已經(jīng)處于完全局域相后,隨著調(diào)制強度的進一步增大,部分態(tài)再次回到擴展態(tài);最終在更大的無序強度下,系統(tǒng)重新返回到完全局域相.從圖6(b)可以直觀地看出,時,所有態(tài)的γ值都趨于 1,系統(tǒng)處于完全擴展相.時,部分態(tài)的γ值趨于 0,部分態(tài)的γ值趨于 1,系統(tǒng)處于兩種態(tài)并存的臨界相區(qū).在的區(qū)間內(nèi),所有態(tài)的γ都趨于 0,系統(tǒng)經(jīng)歷局域轉變,已經(jīng)處于完全局域相.而在區(qū)間內(nèi),部分本征態(tài)對應的γ的值趨于 1,代表著這些態(tài)重新回到擴展態(tài),最終在后,所有態(tài)對應的γ都趨近于 0,系統(tǒng)又一次返回到完全局域相,該過程更加清晰地描述了重返局域化現(xiàn)象.

圖6 當 UD=2,K=0.8,L=3194 時 (a) 〈IPR〉(黑色實線)和〈NPR〉 (紅色虛線)隨著 λD 變化的曲線,灰色區(qū)域表示具有遷移率邊的臨界相區(qū);(b)分形維度γ 隨著能量本征值 En 和調(diào)制強度 λD 的變化.圖中顏色代表γ 的大小Fig.6.(a) 〈IPR〉 (the black solid line) and 〈NPR〉 (the red dashed line) as the functions of λD forUD=2,K=0.8,L=3194.The grey regions denote the intermediate regimes with mobility edges;(b) fractal dimension γ of all the eigenstates as a function of energies and λD forUD=2,K=0.8,and L=3194 .Here the color code represents the values of γ.

為了進一步驗證重返局域化現(xiàn)象是否存在,在臨界相區(qū)和局域相區(qū),分別研究了〈NPR〉的標度變化.在圖7(a)中,展示了λD=1,4 時,〈NPR〉隨尺寸L變化的情況,可以看出當L →∞時,〈NPR〉均趨近于有限值,表明此時系統(tǒng)處于擴展和局域混合的臨界相區(qū).并且在熱力學極限情況下,λD=1 時的〈NPR〉要比λD=4 時大很多,這表明系統(tǒng)處于λD=1時的擴展態(tài)所占比例要遠大于λD=4 時的比例.而圖7(b)展示了λD=2.5,5.5 時〈NPR〉隨尺寸L的變化情況.可以看出,當L →∞時,〈NPR〉均趨于零,展示了完全局域的特性.由此可見,在UD=2時,隨著調(diào)制強度λD的增加,系統(tǒng)出現(xiàn)了重返局域化現(xiàn)象.

圖7 當 UD=2,K=0.8時平均參與率〈NPR〉 隨 1/L 變化的曲線 (a) 臨界相區(qū);(b) 局域相區(qū)Fig.7.〈NPR〉 as a function of 1/L for UD=2,K=0.8 :(a) critical phase region;(b) localized phase region.

3.3 局域化相圖

利 用〈IPR〉和〈NPR〉定義η=ln[〈IPR〉〈NPR〉],可以把臨界相從完全的擴展和局域相中清晰地區(qū)分出來.這是因為在臨界相時η的值大于-lnL,而處于完全擴展和局域的相時,η的值小于-lnL.圖8(a)給出了λD-UD的平面內(nèi),以η的大小為填充顏色的相圖.其中,白色區(qū)域代表了完全局域相或完全擴展相,紅色區(qū)域代表了具有遷移率邊的臨界相,黑色實線對應于臨界值≈1.97 .在本文所研究的調(diào)制強度UD的取值范圍內(nèi),可以看到當UD＜時,系統(tǒng)隨著λD的增大,從完全擴展相經(jīng)歷一個擴展態(tài)和局域態(tài)共存的臨界相,最終轉變到完全局域相.而當UD＞時,隨著λD的增大,系統(tǒng)經(jīng)歷第一次局域轉變到達完全局域相后,又重新回到臨界相區(qū),最終經(jīng)歷第二次局域轉變到達完全局域相.因此,當UD＞時,體系中存在重返局域化現(xiàn)象.

圖8 (a) λD-UD 參數(shù)平面內(nèi),以序參量η 的大小為填充顏色的相圖,其中白色區(qū)域表示完全擴展或局域相,紅色區(qū)域表示具有遷移率邊的臨界相.其中,綠色方塊對應λ=3.183,Δc=-0.2 ,|α|=0.604 ,λD ≈2.86 ;黑色圓圈對應的是 λ=4.113 ,Δc=-0.6,|α|=0.607,λD ≈4.86 ;藍色叉號對應于 λ=5.069 ,Δc=-2 ,|α|=0.608,λD ≈6.08.這里,κ=1.2,U=6,UD ≈2.21 .相圖中的(b)綠色方塊,(c) 黑色圓圈和(d) 藍色叉號對應的參數(shù)取值下,所有態(tài)的逆參與率隨本征能變化的情況.這里,K=0.8和L=1974Fig.8.(a) Phase diagram in the λD-UD plane.The color code represents the values of η,where the white regions denote the full extended or localized phase and the red region represents the critical phase.Here,the green square corresponds to λ=3.183 ,Δc=-0.2 ,|α|=0.604,λD ≈2.86,the black circle corresponds to λ=4.113,Δc=-0.6,|α|=0.607,λD ≈4.86,and the blue cross corresponds to λ=5.069,Δc=-2 ,|α|=0.608,λD ≈6.08 for κ=1.2,U=6,UD ≈2.21 .The IPR of different eigenstates as a function of energies for (b) the green square,(c) the black circle,and (d) the blue cross.Here,K=0.8,and L=1974.

為了考察實際的腔場參數(shù)與重返局域化現(xiàn)象的關系,在圖8(a)中選取3 種不同的點去計算它們的IPR,通過數(shù)值計算可以得到此時圖8(a)中綠色方塊、黑色圓圈、藍色叉號處所對應的|α|分別為 0.604,0.607 和 0.608,λD分別 為 2.86,4.86 和6.08,且具有相同的UD≈2.21 .為了進一步驗證此時這3 個點所對應的局域化性質(zhì),圖8(b)—(d)分別給出了它們的IPR 隨著全部能量的變化情況.可以看出|α|=0.604,λD≈2.86 時,系統(tǒng)已經(jīng)處于完全局域相.而在|α|=0.607,λD≈4.86 時,部分態(tài)處于局域態(tài),部分態(tài)處于擴展態(tài),系統(tǒng)處于臨界相.最后,在|α|=0.608,λD≈6.08 時,所有態(tài)又重新回到局域態(tài).由此可見,通過合理地調(diào)節(jié)腔場的參數(shù),在超輻射相區(qū)可以實現(xiàn)重返局域化現(xiàn)象.

之前討論了K=0.8 時的情況,圖9 分別給出了K=0.5 和K=1.5 時,超輻射相變與局域化相圖的情況.可以看出,當K的取值在有限的變化范圍內(nèi)(以K=0.5 (圖9(a1))和K=1.5 (圖9(b1))為例),對于不同的腔場耦合強度U,光場|α|隨泵浦和腔的耦合強度λ的變化具有類似的轉變行為.對于不同的K值,如圖9(a2)和圖9(b2)所示的K=0.5和K=1.5 情況,展示了與前文中K=0.8 類似的局域化相圖.由此可見,當K取值與J處于相同量級時,系統(tǒng)展示了類似的超輻射和局域化相變.

圖9 (a1) K=0.5,(b1) K=1.5時,腔場耦合強度U取不同的值時,光場 |α| 隨著耦合強度λ 變化的圖像.這里,L=1974 ,β=610/987 ,Δc=-2 和 κ=1.2 .(a2) K=0.5,(b2) K=1.5 時,λD-UD 參數(shù)平面內(nèi),以序參 量η 的大小為填充顏色的相圖,其中白色區(qū)域表示完全擴展或局域相,紅色區(qū)域表示具有遷移率邊的臨界相.這里,L=1974Fig.9.The cavity field |α| as a function of the pumping strength λ for different U for (a1) K=0.5,(b1) K=1.5 .Here L=1974 ,β=610/987,Δc=-2 and κ=1.2 .Phase diagram in the λD-UD plane with L=1974 for(a2) K=0.5,(b2) K=1.5 .The color code represents the values of η,where the white regions denote the full extended or localized phase and the red region represents the critical phase.

4 結論

本文研究了在高精度光腔中由超輻射引起的準周期調(diào)制的梯子模型.通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中存在遷移率邊以及重返局域化現(xiàn)象,并且得到了全參數(shù)空間的相圖.在本文研究的調(diào)制強度UD范圍內(nèi),系統(tǒng)的相圖被臨界值分為兩部分,在小于臨界值的區(qū)間,系統(tǒng)隨著λD的增大,僅僅出現(xiàn)一次具有遷移率邊的臨界相;而在大于臨界值的部分,系統(tǒng)隨著λD的增大,會出現(xiàn)重返局域化現(xiàn)象.

重返局域化現(xiàn)象最初是在具有奇偶交錯的準周期調(diào)制的Su-Schrieffer-Hegger (SSH) 模型中發(fā)現(xiàn)的[24],并且重返局域化現(xiàn)象出現(xiàn)的區(qū)間非常狹小,這給實驗探測帶來了極大的挑戰(zhàn).而對于最初的理論方案中如果選取一個無奇偶交替的準周期調(diào)制時,此一維晶格并不會出現(xiàn)重返局域化現(xiàn)象,僅僅能觀測到遷移率邊的存在.本文提出了一種梯子形冷原子體系與光腔耦合的方案,此方案并不要求奇偶交替的調(diào)制并且具有有限的重返局域化相區(qū).以堿金屬原子23Na 為例實現(xiàn)該理論模型,其中鈉原子被捕陷在一個晶格長度約為 266 nm 的梯子形光晶格中,其晶格隧穿強度約為 2π×200 kHz,并且選用腔長約為 300μm—1 mm,耗散率κ約為2π×240kHz 的高精度腔,泵浦光的頻率與腔場頻率相差Δc≈2π×140—2π×600 kHz.通過調(diào)節(jié)腔場和泵浦場各個參數(shù),實現(xiàn)耦合強度λ和腔及原子的耦合強度U達到 2π×800 kHz,這些參數(shù)是目前實驗上可實現(xiàn)的.值得注意的是,在平均場近似下,當超輻射相變發(fā)生時,梯子模型將出現(xiàn)兩種不同頻率的調(diào)制,而這兩種不同頻率的準周期調(diào)制的共同作用是出現(xiàn)重返局域化的主要原因.本文所研究的重返局域化現(xiàn)象的出現(xiàn)并不依賴于所填充的原子種類.但是由于費米子體系存在泡利不相容原理,造成發(fā)生超輻射相變的難易程度與原子填充數(shù)有關[28-32],使得計算過程更為復雜.本文為了理論計算的簡便僅關注了玻色原子的情況.該工作為原子與光腔耦合系統(tǒng)和重返局域化現(xiàn)象的研究建立了聯(lián)系,也為重返局域化的研究提供了新的思路.