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    拓展的灰色GM(1,1)模型及其在蘇州GDP 預測中的應用

    2022-06-18 08:45:04程毛林
    關鍵詞:蘇州地區(qū)白化灰色

    劉 昀, 程毛林

    (蘇州科技大學 數(shù)學科學學院,江蘇 蘇州 215009)

    灰色系統(tǒng)理論中把對信息掌握程度的0 與1 表示為黑箱與白箱,對處于這之間的部分,即內部特性既有已知又有未知的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng)。 該理論的主要任務是充分挖掘已知信息,尋求系統(tǒng)運行的數(shù)學規(guī)律,并進行對未來變化的定量預測[1]。在灰色系統(tǒng)研究中,GM 預測模型是灰色預測理論的基本模型,而GM(1,1)模型作為其中的核心和基礎,因其要求樣本量低、結構簡單、計算簡便等特點而成為研究最廣泛、應用最廣泛的預測模型[2-3]。 近些年來,學者們基于鄧聚龍教授提出的核心基礎模型[4],對GM(1,1)模型進行了多角度切入與深入研究改進。 這些改進主要集中在:累加生成方法的改進[5-8]、初始值優(yōu)化[9-10]、背景值優(yōu)化[11-15]、參數(shù)估計方法[16-17]、殘差序列優(yōu)化[18-20]以及其中一些方法的組合使用[21-23]等。

    在這其中,針對灰色作用量b 進行白化方程修正的研究相對較少。 崔杰等人[24]用kb 替換b,構建了NGM(1,1,k)模型,拓寬了傳統(tǒng)灰色模型的應用廣度;徐華鋒等人[25]發(fā)現(xiàn),隨著時間和空間的變化,灰色作用量也應當體現(xiàn)動態(tài)變化,以b1+b2k 代替?zhèn)鹘y(tǒng)模型中的b 作為灰色作用量可以有效提高模型預測精度;劉常麗等人[26]利用灰色模型的指數(shù)特性,把白化方程中的灰色作用量b1+b2k 改進為(b1+0.5b2)+b2t,得到一種對指數(shù)序列適應性好的優(yōu)化GM(1,1)模型。

    為了研究高增長時間序列的數(shù)學建模,解決因白化方程為常系數(shù)微分方程而引起的問題,筆者對傳統(tǒng)灰色模型結構進行兩種拓展(拓展模型1 與拓展模型2),在滿足高增長時間序列建模需要的同時,增添了三角函數(shù)以給予波動性適應更多的建模需要,并在最后給出這兩種模型的建模實例。

    1 傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型

    傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型基本形式為

    式中,x(0)(k)為k 個元素的原始數(shù)據(jù)數(shù)列,x(1)(k)為x(0)(k)的1-AGO 生成數(shù)列,z(1)(k)是x(1)(k)的緊鄰均值序列。

    將時刻k 視為連續(xù)的變量t,可得到GM(1,1)灰微分方程對應的白化方程為

    式中,a,b 為待估計常數(shù),a 稱為發(fā)展系數(shù),b 稱為灰色作用量。

    可求出時間響應式為

    則可得出原始數(shù)據(jù)的預測值為

    2 拓展的灰色GM(1,1)模型

    2.1 拓展的灰色GM(1,1)模型的建立

    由第1 節(jié)可以看出原始序列應為指數(shù)變化,且經過分析,易知預測精度與增長快慢有關。 為了研究高增長時間序列的數(shù)學建模(比如文中用到的例子——蘇州市GDP),下面對傳統(tǒng)灰色模型結構進行拓展,以適應此類建模的需要。

    設拓展的GM(1,1)灰色模型基本形式為

    它的白化方程為

    為了既保證預測精度又避免過擬合,以下取p=2,q=2,即該拓展的灰色模型GM(1,1)的灰微分方程為

    其白化方程為

    若建立這樣的灰色GM(1,1)拓展模型,其背景值z(1)(k)的生成系數(shù)α 為等權常數(shù)(α=0.5),即

    此建立的模型稱為拓展模型1。

    若建立這樣的灰色GM(1,1)拓展模型,對于變化趨于陡峭的序列數(shù)據(jù),為了減少誤差,其背景值z(1)(k)的生成系數(shù)α 為不等權常數(shù)(0<α<1 且α≠0.5),α 的值由優(yōu)化方法確定,即背景值表示為

    此建立的模型稱為拓展模型2。

    2.2 拓展的灰色GM(1,1)模型的時間響應方程

    由上一小節(jié)可知,拓展灰色GM(1,1)模型的白化方程為

    兩邊同時積分可以求得解為

    2.3 修正的拓展灰色GM(1,1)模型的參數(shù)估計

    拓展的灰色GM(1,1)模型的灰微分方程為

    它的白化方程為

    由于z(1)(k)=αx(1)(k-1)+(1-α)x(1)(k),當生成系數(shù)為等權常數(shù),即α=0.5 時,對給定的θ1,θ2,有參數(shù)估計值

    其中

    事實上,θ1,θ2是需要求出的,此處使用優(yōu)化的方法來確定θ1,θ2的值

    當生成系數(shù)為不等權常數(shù),即α 為常數(shù)且滿足0<α<1,α≠0.5 時,對給定的α,θ1,θ2,有參數(shù)估計值

    其中

    事實上,α,θ1,θ2是需要求出的,此處使用優(yōu)化的方法來確定α,θ1,θ2的值

    2.4 拓展的灰色GM(1,1)模型的應用實例

    為了掌握未來蘇州地區(qū)經濟發(fā)展態(tài)勢,更具有針對性與前瞻性地制定發(fā)展計劃,如何更準確地對蘇州地區(qū)年生產總值進行預測就成為了一個亟待解決的問題。 文中根據(jù)歷史數(shù)據(jù)從定量上建立蘇州地區(qū)年生產總值的預測模型。 蘇州市年生產總值記為x(0)(t)(單位:億元),相關資料見表1。

    表1 蘇州地區(qū)年生產總值數(shù)據(jù)及傳統(tǒng)GM(1,1)有關計算結果

    若建立傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型,計算得

    所以

    可以看出,由傳統(tǒng)模型計算得到的結果與實際數(shù)據(jù)走向不夠貼合,還有很大改進空間。

    若建立拓展模型1,計算得

    于是,時間響應方程為

    表2 蘇州地區(qū)年生產總值數(shù)據(jù)及拓展模型1 有關計算結果

    可以看出,拓展模型1 相較原始GM(1,1)模型而言,在各項平均相對誤差上都有了很大改善,但在預測精度上還有一定改進的可能性。 對比表2 中近三年(2017—2019 年)的預測數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),模擬值的增長速度相對實際值較慢,故在拓展模型2 中,通過引入變量生成系數(shù)α 來改善這一狀況,使得數(shù)據(jù)變化趨于持續(xù)的陡峭增長,從而更加符合原始數(shù)據(jù)指數(shù)增長的特征。

    若建立拓展模型2,計算得

    于是,時間響應方程為

    表3 蘇州地區(qū)年生產總值數(shù)據(jù)及拓展模型2 有關計算結果

    表4 拓展模型2 下蘇州地區(qū)年生產總值2020—2024 年預測值

    可以看出,拓展模型2 相較拓展模型1 而言又有了一定程度的改進,尤其體現(xiàn)在預測精確度上。根據(jù)以上傳統(tǒng)模型與2 種拓展模型的實例分析結果,可以得到如圖1 所示的誤差對比直方圖。

    圖1 傳統(tǒng)模型與2 種拓展模型誤差對比直方圖

    3 結語

    傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型適用于原始數(shù)據(jù)的統(tǒng)計規(guī)律為指數(shù)變化模式,但對于原始數(shù)據(jù)呈現(xiàn)增長很快的指數(shù)變化的情況,則效果不夠理想,歸根究底是其白化方程為常系數(shù)微分方程的原因。 文中提出的2 種新的拓展模型,經過對蘇州市近20 年GDP 數(shù)據(jù)進行實例分析數(shù)據(jù)檢驗,效果均優(yōu)于傳統(tǒng)模型,其中模型2 的結果最優(yōu),無論擬合還是預測模型效果均能更為貼切地反映出數(shù)據(jù)走向,故可以適用于GDP 預測。在實際應用中遇到類似上述高增長趨勢的數(shù)據(jù)時,可以考慮用該拓展模型來代替?zhèn)鹘y(tǒng)模型進行擬合預測,以期更真實地反映和預測數(shù)據(jù),對下一步經濟發(fā)展戰(zhàn)略的制定也有更好的參考價值。

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