一類非齊次Choquard方程的解整體存在與爆破的條件

何巧玲， 黃 娟

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 可視化計算與虛擬現(xiàn)實四川省重點實驗室， 成都 610068)

1 引 言

本文研究如下非齊次非線性Choquard方程解整體存在及爆破的條件：

(1)

其中u(t,x):I×RdC是復(fù)值波函數(shù)，d≥3，b≤0，Iα是Riesz位勢，即

值得注意的是，在已有文獻(xiàn)中，關(guān)于方程(1)的整體解和爆破解的相關(guān)結(jié)論都只考慮初值質(zhì)能低于基態(tài)質(zhì)能的情形. 一個自然的問題是：若初值質(zhì)能高于基態(tài)質(zhì)能，會有怎樣的結(jié)果呢？對于這個問題，目前我們尚未發(fā)現(xiàn)有相關(guān)研究. 鑒于此，本文主要研究方程(1)當(dāng)初值質(zhì)能高于基態(tài)質(zhì)能時解的整體存在和爆破的條件. 此外，受Lushnikov在文獻(xiàn)[16]中所用方法的啟發(fā)，我們利用Cauchy-Schwartz不等式和不確定原理，借助一個粒子在具有勢壘場中運動的力學(xué)分析得到了方程(1)的一個新的爆破解存在的充分條件.

后文安排如下. 在第2節(jié)中，我們主要介紹方程(1)的局部適定性，Gagliardo-Nirenberg不等式及Pohozaev恒等式等預(yù)備知識. 在第3節(jié)中，我們給出并證明當(dāng)初值質(zhì)能高于基態(tài)質(zhì)能時方程(1)解的整體存在和爆破的條件. 在第4節(jié)中，我們借助一個粒子在具有勢壘場中運動的力學(xué)分析得到方程(1)的一個新的爆破解存在的充分條件. 在第5節(jié)中，我們對本文的主要結(jié)果作出總結(jié).

2 預(yù)備知識

|·|b|u(t)|p)|u(t)|p)dx≡E[u0].

引理2.2(最佳Gagliardo-Nirenberg不等式)[15,17,18]對于任意的f∈H1(Rd)，存在CQ>0，使得

(2)

其中

B=Np-d-α-2b=2(p-1)sc+2,

-ΔQ+Q-

(Iα*|·|b|Q|p)|x|b|Q|p-2Q=0

(3)

注1把(3)式兩邊分別乘以Q和x·?Q后在Rd上積分，可得到Pohozaev等式

于是

(4)

|x|b|u|pdx=

(5)

引理2.4[19]設(shè)g∈H1(Rd),xg∈L2. 則有

證明 注意到

在(2)式中令f=eiλ|x|2g，則對任意λ∈R有

將上式視為關(guān)于λ的一元二次多項式，則不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于λ的多項式的判別式為非正，即引理2.4. 證畢.

3 解整體存在及爆破的條件

定理3.1設(shè)u(t,x)是問題(1)的解，V(0)<∞，u0∈H1(Rd).令

M[u]1-scE[u]sc≥M[Q]1-scE[Q]sc

(6)

(7)

則

(i) 若有

M[u0]1-sc·

(8)

及

Vt(0)≤0

(9)

則u(t,x)在有限時間內(nèi)爆破；

(ii) 若有

M[u0]1-sc·

(10)

及

Vt(0)≥0

(11)

則有

(12)

那么u(t,x)全局存在.

證明 由(5)式得

(13)

(14)

再由(4)式和引理2.4可得

(15)

(Zt(t))2≤4φ(Vtt)

(16)

令

由(13)式可知σ∈(-∞,8E[u]]，從而

當(dāng)φ′(σm)=0時，其中的σm滿足

(17)

所以(6)式和(7)式分別等價于

σm≥0

(18)

及

(19)

(i) (9)式可寫為

Zt(0)≤0

(20)

由(8)式和Pohozaev恒等式可得

結(jié)合(20)式得

Vtt(0)<σm

(21)

下證對任意t∈[0,T)都有

Ztt(t)<0

(22)

由(19)式和(21)式有

(23)

當(dāng)證(22)式成立，我們反設(shè)(22)式不成立.則由(23)式知存在t0∈(0,T)使得Ztt(t0)=0且Ztt(t0)<0對任意t∈[0,t0)成立. 再由(19)式和(20)式，對任意t∈(0,t0]有

(24)

因此Zt(t)2>4φ(σm)成立. 由(16)式可知，φ(Vtt(t))>φ(σm)(其中t∈(0,t0]). 由(21)式及Vtt(t)的連續(xù)性，有

Vtt(t)<σm,?t∈(0,t0]

(25)

根據(jù)式(23)(24)(25)可得

這與假設(shè)Ztt(t0)=0產(chǎn)生矛盾. (22)式成立.

(ii) 假設(shè)(6)式，(7)式，(10)式和(11)式成立.則(ii)等價于(18)式，(19)式及下列不等式成立

Zt(0)≥0

(26)

Vtt(0)>σm

(27)

注意到存在t0≥0，使得

(28)

取一個足夠小的參數(shù)ε>0，滿足

(29)

反設(shè)(29)式不成立.令

由Zt(t)的連續(xù)性有

(30)

及

(31)

由(16)式知

?t∈[t0,t1]

(32)

因而φ(Vtt(t))>φ(σm)對任意t∈[t0,t1]成立. 這意味著Vtt(t)≠σm. 結(jié)合Vtt(0)>σm及Vtt(t)的連續(xù)性，可得到Vtt(t)>σm.

假設(shè)存在一個常數(shù)D>0，使得

(33)

將φ在σ=σm的泰勒展開式，則存在常數(shù)a>0使得

|σ-σm|≤1?φ(σ)≤φ(σm)+a(σ-σm)2

(34)

如果Vtt(t)>σm+1，則(33)式成立(對于足夠大的D). 如果σm

4φ(σm)+4a(σ-σm)2.

因此有

從而得到(33)式，其中

但是，由(33)式和(30)式又可得

顯然，對任意t∈[t0,T),(33)式都成立. 結(jié)合(13)式和Pohozaev恒等式，我們有

4 解爆破的新條件

在本節(jié)中，不同于Zakharov[20]與Glassey[14]提出的經(jīng)典爆破準(zhǔn)則，以及陳波濤[21]提出的利用函數(shù)的可積性證明爆破解存在的方法，我們借助一個粒子在具有勢壘場中運動的力學(xué)分析，結(jié)合Cauchy-Schwarz不等式和不確定原理獲得問題(1)在有限時間內(nèi)爆破的一個充分條件.這是對Lushnikov方法[16]的一個推廣.

(35)

其中-1<δ<γ，0<γ<1，0<ω<1.定義泛函

若v是問題(35)的一個非負(fù)解，使得以下任意一個條件成立：

(i)ε(0)

(ii)ε(0)>Umax,vs(0)<0;

(iii)ε(0)=Umax,vs(0)<0;v(0)<1,

那么v在某個有限時間T+內(nèi)達(dá)到零點.

定理4.2設(shè)u0∈H1(Rd)，V(0)<∞，E[u]>0.若

其中N=[d(p-1)-(2+2b+α)]，k=sc(p-1)， 且

則方程(1)的解在有限時間內(nèi)爆破.

證明 由于

則

由Cauchy-Schwarz不等式，有

即

將上述不等式代入(5)式，可得

Vtt(t)≤8[sc(p-1)+1]E[u]-

(36)

令

其中

對任意t∈[0,T+)，(36)式可以改寫為

(37)

這里，若N=[d(p-1)-(2+2b+α)]則令B(t)=Bmaxv(s)，s=at.從而有

(38)

從而由(37)式可得

(39)

借助一個粒子在具有勢壘場中的力學(xué)運動分析(39)式，則可將其改寫成

(40)

其中

為粒子的電勢，

設(shè)v=v(s)(質(zhì)量為1)是在以下兩種外力作用下運動的粒子坐標(biāo)：

其中g(shù)2(t)是將粒子拉向零點的未知非負(fù)外力. 如果粒子在有限時間內(nèi)到達(dá)零點，則意味著會發(fā)生坍塌；如果粒子到達(dá)零點時沒有受到外力-g2(t)，那么當(dāng)它受到這個力時一定會更快地到達(dá)零點. 所以，我們考慮方程

(41)

并定義粒子v的能量為

(42)

由(41)式知能量是守恒的. 如果粒子在有限時間內(nèi)到達(dá)零點，即存在t<∞使得v(t)=0，則有V(t)=0，方程(1)存在爆破解. 由引理4.1，滿足(41)式的爆破條件為

(i)ε(0)

(ii)ε(0)>Umax,vs(0)<0;

(iii)ε(0)=Umax,vs(0)<0;v(0)<1，

那么v會在某個有限時間T+內(nèi)達(dá)到零點.

則有

(43)

令k=2β=sc(p-1). 則有函數(shù)

(44)

于是爆破條件(i)～(iii)可以寫為

因此，我們有

其中

定理得證.

5 結(jié) 論