初中數(shù)學(xué)習(xí)題二次開發(fā)與利用策略的研究

余亞明

【摘要】教學(xué)中，我們?nèi)绻麑?shù)學(xué)習(xí)題只進(jìn)行一次性使用，這樣就不能最大化地發(fā)揮這些習(xí)題的作用，要發(fā)揮它們的全部作用就需要對它們進(jìn)行二次開發(fā).教材上的習(xí)題具有二次開發(fā)的價值，這些習(xí)題能夠使得所學(xué)新知識得到綜合性的運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】習(xí)題; 二次開發(fā);思維拓展;變式教學(xué)

在“雙減”背景下，通過大量的習(xí)題訓(xùn)練來培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，這種增加學(xué)生負(fù)擔(dān)、高耗低效的教學(xué)方式顯然是行不通的，我們可以通過對教材上的習(xí)題進(jìn)行二次開發(fā)來尋找一種低消耗、收益更高的方法.教師可采用一題多用、多題重組的方法，這樣能充分喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，調(diào)動他們積極參與到學(xué)習(xí)中來，化被動為主動，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情，使學(xué)生在對知識進(jìn)行全面、深刻理解的同時進(jìn)一步掌握知識，思維品質(zhì)也獲得更好的發(fā)展.

對數(shù)學(xué)習(xí)題的二次開發(fā)利用可以從以下幾種不同的角度進(jìn)行：

◆多題一法，培養(yǎng)學(xué)生的建模思想

建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，這就要求教師能利用建模思想，從教材中尋找典型的、具有代表性的題目進(jìn)行研究、歸納和提升，使這種題型成為解決類似問題的模型.例如，在剛學(xué)“解二元一次方程組”時的思路是“消元”， 教材上提供了方程組x+y=10，2x+y=16，，教師先由實際問題引導(dǎo)學(xué)生了解y可以用10-x表示，這樣第二個方程就可以表示為2x+10-x=16，這樣二元一次方程就轉(zhuǎn)化為了學(xué)生熟悉的一元一次方程，解出x，進(jìn)而就能得出方程組的解，這樣把未知數(shù)由多變少，逐個解決的思想就是“消元”的思想.再如，在“解分式方程”時的思路是“轉(zhuǎn)化”，教材上提供的例題分別是：解方程2x-3=3x和xx-1-1=3（x-1）（x+2），顯然，這里提供了最基本的兩個方程作為例題，讓學(xué)生通過去分母、去括號等方法完成從分式方程到整式方程的轉(zhuǎn)化，這是解分式方程的主要思路.因此，我們在對教材進(jìn)行二次開發(fā)時，應(yīng)當(dāng)秉承這一思路，即強(qiáng)調(diào)建模的思想，學(xué)生掌握了解決問題的模型，然后模仿進(jìn)行編題，學(xué)生會編題了，那么解決這一類型的題就自然而然了.

◆一題多用，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

教材所選題目都是非常經(jīng)典的，我們要善于對教材中的題目進(jìn)行開發(fā)利用，可以從以下幾個角度進(jìn)行.

一、一題多解，讓學(xué)生的思維更發(fā)散

不同的人思考問題的角度、途徑不盡相同，學(xué)生在解決問題時有了一種方法，慣性使然，他不會再停下來去思考其他方法，因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、用不同的論證方式去思考問題，探求不同的解決方案，這樣就能拓寬學(xué)生的思路，多方向發(fā)展他們的思維，培養(yǎng)他們思維的發(fā)散性.

例如：引導(dǎo)學(xué)生觀察方程組x+y=102x+y=16中，兩個方程中y的系數(shù)有什么關(guān)系？利用這個關(guān)系，你能得到不同于前面的方法解這個方程組嗎？這樣學(xué)生就會不拘泥于一種方法解題了.

例如：四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上的一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F.

求證：EF=ED.

筆者做了一定的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生都是習(xí)慣以下解法.解法1：如圖2所示，作EP⊥CD于點(diǎn)P，EQ⊥BC于點(diǎn)Q，利用正方形中AC平分SymbolPC@BCD得EP=EQ，再證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED.

這時教師適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生思考：從EF⊥DE的角度出發(fā)還能想到什么？學(xué)生就會想到以下兩個論證的方法：

解法2：聯(lián)想“K”型全等，如圖3所示，作EM⊥AD于點(diǎn)M，延長ME交BC于點(diǎn)N，利用正方形中NE=NC=MD，再證明Rt△EDM≌Rt△FEN，得到EF=ED.

解法3：由四邊形內(nèi)角和易得SymbolPC@EDC=SymbolPC@EFB，如圖4所示，連接EB，利用正方形中SymbolPC@EDC=SymbolPC@EBC，從而得出EB=EF，再由正方形中EB=DE，得到EF=ED.

二、一題多變，讓學(xué)生的思維更靈活

一題多變其實就是變式教學(xué)，一題多變可以將條件改變，結(jié)論保留;也可以將條件保留，結(jié)論改變;或者由于題目的需要將條件和結(jié)論同時改變;也可以將已知條件和結(jié)論進(jìn)行對換.變式變換了習(xí)題的形式，而題目所蘊(yùn)含的本質(zhì)不變，所以變式教學(xué)更多的是要引導(dǎo)學(xué)生去探尋變化中的不變，從而揭示問題的本質(zhì)，它需要學(xué)生在原有思考問題的方法上加以拓展進(jìn)行思考才能解決.教師用這種方式進(jìn)行教學(xué)，能使學(xué)生根據(jù)變化了的情況積極思考，想方設(shè)法尋找解決的辦法，從而培養(yǎng)思維的靈活性.

例如：如圖5所示，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn).

若AB=6，CD=8，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求EF的長.

本題解法是：取BD的中點(diǎn)P，構(gòu)造三角形的中位線，得到直角三角形PEF，以及兩條直角邊，從而得出EF的長.

教師若對此題多做一些變式，既能培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，又能提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.

探索一：將題目中的條件“∠ABD=30°，∠BDC=120°”去掉，關(guān)于EF的長你能得出什么結(jié)論？并給予證明.

探索二：延長BA、CD，分別于FE延長線交于點(diǎn)G、H，如圖6所示，你能判斷∠BGF與∠CHF的大小關(guān)系嗎？

這樣的變式教學(xué)，不僅提高了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，而且培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力，發(fā)展了學(xué)生的求異思維.

三、一題多思，讓學(xué)生的思維更深遠(yuǎn)

牛頓說過：沒有大膽的猜想就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).中學(xué)生具有非常豐富的想象力，因此，教師可以通過相關(guān)題目的特點(diǎn)，鼓勵、引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，讓學(xué)生的思維更深遠(yuǎn).

例如：如圖7所示，平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.

求證：OE=OF.

進(jìn)一步思考：直線EF是否將平行四邊形ABCD的面積二等分？若是，請說明理由.

拓展應(yīng)用：張大爺家有一塊平行四邊形的菜園，園中有一口水井P，如圖8所示，張大爺計劃把菜園平均分成面積相等的兩塊，分別種植西紅柿和茄子，且使兩塊地共用這口水井，即兩塊地的分割線經(jīng)過點(diǎn)P，請你作圖幫助張大爺把地分開.

引導(dǎo)學(xué)生思考：

1.在題目的解決過程中，解題的關(guān)鍵是什么？

2.通過上面的研究，如果要將平行四邊形的面積二等分，直線需要滿足什么條件？

3.通過這道題，我們獲得了怎樣的解題體驗？

一題多思讓學(xué)生的解題思路更深遠(yuǎn)，從而培養(yǎng)了他們遇到問題時的應(yīng)變能力.

四、注意遷移，讓學(xué)生的思維更全面

初中數(shù)學(xué)中有很多題目，表面上看起來形式不一，但仔細(xì)分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，它們在本質(zhì)上是一樣的，或者說通過轉(zhuǎn)化，它們的實質(zhì)相同.所以教師可以把它們歸結(jié)為用同一種方法解答，把這樣的題放在一起讓學(xué)生做比較，可以使學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，讓學(xué)生的思維更全面.

例如：（1）如圖9所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，DC上的點(diǎn)，且AF⊥BE.求證：AF=BE.

（2）如圖10所示，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且MP⊥NQ，判斷MP與NQ是否相等并說明理由.

以上兩題從表面上看并不相同，但實際上它們的本質(zhì)相同，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過對比可以發(fā)現(xiàn)：將圖10做平移變化為圖11，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和（1）中的結(jié)論即可解答本題.所以教師在平時的教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生善于捕捉題目中的有關(guān)信息，認(rèn)真比對，對相通的知識形成體系，不要出現(xiàn)“只見樹木不見森林”的現(xiàn)象.

◆反思升華 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏說過：學(xué)生對作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益.

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程就是一個積累、運(yùn)用和內(nèi)化的過程，在學(xué)習(xí)過程中，反思尤為重要，它能讓學(xué)生更深入理解和掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，通過反思，學(xué)生才能真正啟動思維，思想才能得到升華.作為組織者、引導(dǎo)者的教師要強(qiáng)化學(xué)生的反思性學(xué)習(xí)能力，要善于挖掘習(xí)題中的素材、意圖，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)反思的情境，這樣學(xué)生就能主動反思，他們有了反思習(xí)慣，反思能力就會提高，對問題的理解就會深入，就能真正提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力.

總之，數(shù)學(xué)習(xí)題二次開發(fā)與利用能培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界.

【參考文獻(xiàn)】

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[2] 張繼海.初中數(shù)學(xué)教材中例題、習(xí)題的演變方法.中國數(shù)學(xué)教育，2012（12）：34-40.