課程思政融入線性代數(shù)教學(xué)的初探

官元紅 陳麗娟 朱建 陳群 符美芬

【摘要】本文首先分析了課程思政融入線性代數(shù)教學(xué)的必要性;其次針對(duì)線性代數(shù)課程的特點(diǎn)，從定義講解、證明推導(dǎo)兩方面挖掘蘊(yùn)含思政元素的知識(shí)點(diǎn);再次，探討了含思政元素內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì);最后進(jìn)行了初步實(shí)踐.以期通過探究思政元素融入線性代數(shù)課程的教學(xué)，加深學(xué)生對(duì)線性代數(shù)知識(shí)的理解，幫助他們樹立正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀，真正實(shí)現(xiàn)“立德樹人”的目的.

【關(guān)鍵詞】課程思政;線性代數(shù);教學(xué)設(shè)計(jì);立德樹人

【基金項(xiàng)目】本文系南京信息工程大學(xué)“課程思政”教育教學(xué)改革研究專項(xiàng)重點(diǎn)課題（課題編號(hào)：2020KCSZJGZX005）.

2016年12月，習(xí)近平總書記在全國高校思想政治工作會(huì)議中指出：高校教育要堅(jiān)持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人.由此，課程思政作為一種教育理念，逐步為高等教育領(lǐng)域重視.2018年9月，在全國教育大會(huì)上，習(xí)近平總書記又強(qiáng)調(diào)要把立德樹人滲透到基礎(chǔ)教育、職業(yè)教育、高等教育等各領(lǐng)域.2020年6月，教育部印發(fā)《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，再次強(qiáng)調(diào)要全面推進(jìn)高校課程思政建設(shè).課程思政是立足于具體的課程，充分挖掘各類課程中的思想政治教育元素，實(shí)現(xiàn)“思政”寓課程，課程融“思政”，共同致力于提高學(xué)生的思想水平、政治覺悟、道德品質(zhì)、文化素養(yǎng)，是高校思想政治工作的一種新理念.因此，想要培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人，大力推動(dòng)以課程思政為目標(biāo)的教學(xué)改革勢在必行.

目前，課程思政已受到高度關(guān)注，很多高校教師在馬克思主義原理、離散數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、高等數(shù)學(xué)等具體課程中，就如何融入思政元素展開了深入的研究.對(duì)于線性代數(shù)課程，曹潔等對(duì)思政教育融合線性代數(shù)的教材建設(shè)進(jìn)行了研究;楊威等針對(duì)西安交通大學(xué)的線代教學(xué)做了探討.相比大學(xué)數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課中的高等數(shù)學(xué)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，思政元素融入線性代數(shù)課程的教學(xué)研究還不多見.

線性代數(shù)是理、工、經(jīng)濟(jì)管理等專業(yè)的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，也是這些專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程的基礎(chǔ).該課程不僅在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、抽象思維、空間想象力方面具有重要的作用，而且在培養(yǎng)具有良好科學(xué)素養(yǎng)、創(chuàng)新能力的數(shù)學(xué)應(yīng)用人才方面也起著十分重要的作用.在南京信息工程大學(xué)，線性代數(shù)是70%左右學(xué)生的必修課，覆蓋面廣，且開設(shè)時(shí)間早（大一下學(xué)期或大二上學(xué)期），此時(shí)正是開展思政教育的大好時(shí)機(jī).因此，教師要緊跟時(shí)代步伐，立足當(dāng)代大學(xué)生的思想和學(xué)習(xí)特點(diǎn)，利用好線性代數(shù)課堂教學(xué)這個(gè)主渠道，將課程思政融入其中，這對(duì)于學(xué)生的未來發(fā)展具有重要意義.

一、線性代數(shù)課程中“思政元素”的挖掘

針對(duì)線性代數(shù)課程的概念多、內(nèi)容抽象、邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn)，本文從定義的講解和證明求解的過程出發(fā)，通過引入數(shù)學(xué)發(fā)展史、數(shù)學(xué)家和企業(yè)家的故事及馬克思辯證唯物主義思想，挖掘思政元素實(shí)現(xiàn)向?qū)W生傳遞愛國主義精神、馬克思辯證唯物主義思想，以及培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度和堅(jiān)持不懈的意志品質(zhì)的目的.

1.愛國主義的教育

教師在上課時(shí)可結(jié)合數(shù)學(xué)發(fā)展史以及中國數(shù)學(xué)家、企業(yè)家的故事對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育.

挖掘1：矩陣的概念.矩陣雖然是英國數(shù)學(xué)家凱萊于1855年在《矩陣論的研究報(bào)告》中首次提出，但中國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的第八章方程術(shù)中就已有利用“數(shù)碼方陣”解決實(shí)際問題的例子.因此，矩陣概念的雛形是我國古代數(shù)學(xué)家提出并加以應(yīng)用的，它是我國古代杰出數(shù)學(xué)家的成就和智慧成果.教師在課件中加入《九章算術(shù)》中求解線性方程組雛形的圖片介紹相關(guān)概念，可通過弘揚(yáng)中國文化，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和愛國情懷.

針對(duì)不同專業(yè)的學(xué)生，教師可列舉不同的例子，如自動(dòng)化、電子專業(yè)，可引入華為主要?jiǎng)?chuàng)始人任正非;如計(jì)算機(jī)專業(yè)，可引入百度創(chuàng)始人李彥宏，分享他們背后鮮為人知的艱辛的創(chuàng)業(yè)故事.一方面可讓學(xué)生明白成功來之不易，另一方面能夠培養(yǎng)學(xué)生精益求精的工匠精神，激發(fā)他們科技報(bào)國的家國情懷和使命擔(dān)當(dāng).

另外，在講解枯燥的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，教師也可引入我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤犧牲個(gè)人利益維護(hù)祖國尊嚴(yán)的故事.教師在課程中穿插這樣的故事，不僅可以提起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能激發(fā)學(xué)生的愛國主義情懷.

2.馬克思辯證唯物主義思想的引領(lǐng)

完成知識(shí)點(diǎn)的講解之后，教師可做適當(dāng)延伸，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步理解馬克思辯證唯物主義思想，如透過現(xiàn)象看本質(zhì)、事物之間的對(duì)立與統(tǒng)一性、整體與部分的關(guān)系等.

挖掘2：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.如用正交變換法求二次型

f（x1，x2，x3）=x21-5x22+x23+4x1x2+2x1x3+4x2x3的標(biāo)準(zhǔn)形，通過計(jì)算可得-6y22+3y23，也可寫為-6y21+3y23或3y21-6y23.

若不要求正交變換，我們還可以通過配方法將其轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形z21-9z22，雖與正交變換法所得的標(biāo)準(zhǔn)形形式不同，但二次型的秩、正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)都不變.教師通過以上討論可類比到做任何事都有很多方法和途徑，結(jié)果大同小異，反映了馬克思辯證唯物主義中事物之間的內(nèi)在統(tǒng)一性.

挖掘3：極大線性無關(guān)組的概念.教師講解極大線性無關(guān)組時(shí)可引出馬克思主義哲學(xué)中的整體與部分的辯證唯物主義思想.

挖掘4：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.在講解基礎(chǔ)解系的概念時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生將其與已學(xué)的向量組的秩、向量空間的基進(jìn)行對(duì)比，這三個(gè)概念本質(zhì)上就是極大線性無關(guān)組的概念，只是在不同場合冠以不同名稱.通過類比學(xué)生能夠更好地掌握基礎(chǔ)解系的定義.進(jìn)一步延伸，教師可引導(dǎo)學(xué)生平時(shí)在分析問題時(shí)學(xué)會(huì)透過現(xiàn)象看本質(zhì).

挖掘5：線性方程組的求解Ⅰ.如求線性方程組

x1-x2-x3+x4=0，

x1-x2+x3-3x4=1，x1-x2-2x3+3x4=-0.5（1）

的通解.對(duì)該方程組，我們既可寫成向量形式，也可寫成矩陣形式，雖然三種形式的表達(dá)不同，但卻是同一個(gè)方程組.此時(shí)教師也可再次引導(dǎo)學(xué)生明確解決問題要先看其本質(zhì).對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：

1-1-1101-11-311-1-23-0.5→1-10-10.5001-20.500000，

變換后的矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為：

x1-x2-x4=0.5，x3-2x4=0.5，（2）

通過矩陣的初等行變換，原方程組中3個(gè)方程變成了2個(gè)方程，去除了原方程組中的冗余信息，形變而質(zhì)不變，故方程組（2）與（1）同解.教師要注意強(qiáng)調(diào)為什么這里只能初等行變換，引導(dǎo)學(xué)生解決問題一定要理解問題本質(zhì)，抓事物的主要矛盾.

解得方程組（2）對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含2個(gè)向量，根據(jù)解的結(jié)構(gòu)原理即可得原方程組的通解，這種由2個(gè)解向量（有限）生成無限個(gè)解向量（無限）的方法，實(shí)現(xiàn)了由量變到質(zhì)變的飛躍.線性方程組的這一求解過程也體現(xiàn)了對(duì)立與統(tǒng)一的辯證唯物主義思想.

挖掘6：n維向量.在數(shù)軸、平面和空間直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)可分別用一維、二維和三維向量來表示.理論上，將三維向量推廣到n維向量，由一、二、三維向量對(duì)應(yīng)的幾何直觀，學(xué)生就很容易理解和掌握n維向量.這種從特殊到一般的學(xué)習(xí)過程體現(xiàn)了認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律.

3.嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度的樹立

挖掘7：行列式的概念Ⅰ.教師在講解行列式的概念時(shí)，可與矩陣的概念進(jìn)行對(duì)比.通過分析它們形式和本質(zhì)上的差異，培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣.

挖掘8：線性方程組的求解Ⅱ.挖掘5中求解完方程組后，教師可再強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：1）對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換，雖然只是簡單的加減乘除，但細(xì)心很重要，否則失之毫厘謬之千里;2）求對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系時(shí)，是將自由元代入齊次線性方程組后求得，而不是非齊次線性方程組.嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真的態(tài)度是解題的關(guān)鍵，態(tài)度決定一切，生活中做任何事都應(yīng)如此.

4.堅(jiān)持不懈的意志品質(zhì)的培養(yǎng)

挖掘9：行列式的概念Ⅱ.教師在講解行列式的概念時(shí)，可引入德國數(shù)學(xué)家高斯、法國數(shù)學(xué)家柯西、瑞士數(shù)學(xué)家克拉默等，通過介紹高斯引入行列式的過程、克拉默建立行列式與齊次線性方程組解的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生正確面對(duì)挫折和失敗，敢于探索，刻苦鉆研，崇尚科學(xué)的精神，還可介紹我國數(shù)學(xué)家華羅庚，講述他從初一輟學(xué)后成為著名數(shù)學(xué)家的成長歷程，讓學(xué)生明白任何人的成功都不是一蹴而就的，天才也只不過是99%的努力+1%的天賦，以此培養(yǎng)學(xué)生頑強(qiáng)拼搏的毅力和堅(jiān)持不懈的意志品質(zhì).

二、融合了“思政元素”內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)

蘊(yùn)含思政元素的線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容，不僅包含線性代數(shù)知識(shí)、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)思想和方法，還涉及馬克思主義哲學(xué).因此，融入課程思政的教學(xué)對(duì)教師提出了更高的要求.作為教師，首先要進(jìn)行課程思政理論的學(xué)習(xí)，提高自身的政治理論水平和人文素養(yǎng);其次要有熱愛教育的定力，加大研究教學(xué)力度、做好教學(xué)設(shè)計(jì)、豐富教學(xué)手段等;最后才能有效地開展課程思政教育.

1.分析學(xué)生、了解學(xué)生的基礎(chǔ)

結(jié)合學(xué)生所學(xué)專業(yè)設(shè)置教學(xué)內(nèi)容是教師備課的第一步.針對(duì)不同專業(yè)的學(xué)生，教師需引入不同的專業(yè)知識(shí).如我校一流專業(yè)“大氣科學(xué)”，氣象上常用“EOF”（empirical orthogonal functions）方法分析某氣象要素場多年來的時(shí)空變化特征，該方法對(duì)應(yīng)的是矩陣分解;在氣象資料同化方法的基本原理中也涉及二次型理論.如自動(dòng)化專業(yè)，電機(jī)控制中常用到坐標(biāo)變換、動(dòng)態(tài)矩陣降維等，其對(duì)應(yīng)的是矩陣的秩、線性變換等內(nèi)容.再如計(jì)算機(jī)專業(yè)，機(jī)器學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)的算法中涉及矩陣的轉(zhuǎn)置、逆和矩陣的乘法等.教師通過逐步引入專業(yè)知識(shí)，讓學(xué)生了解所學(xué)線性代數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，提高學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到學(xué)以致用的目的.

2.教學(xué)策略、教學(xué)模式

替代式教學(xué)策略作為常見的傳統(tǒng)教學(xué)方式，教師多結(jié)合板書、多媒體以講授為主，同時(shí)可通過啟發(fā)式、提問式等問題和學(xué)生產(chǎn)生互動(dòng)，活躍學(xué)生的思維，提高學(xué)習(xí)積極性.此外，教師在每一學(xué)期可進(jìn)行一次翻轉(zhuǎn)課堂，課前學(xué)生自行分組，以小組為單位完成布置的學(xué)習(xí)任務(wù)，讓他們自己組織教學(xué)內(nèi)容，課上每個(gè)小組輪流派一個(gè)代表上臺(tái)講解，結(jié)束后由教師進(jìn)行答疑、補(bǔ)充和總結(jié).這種翻轉(zhuǎn)課堂也叫產(chǎn)生式教學(xué)策略，它一方面能激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，另一方面也能培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作能力和社交能力.

目前，在線互動(dòng)的教育平臺(tái)越來越多，“線上+線下”混合教學(xué)模式也可作為現(xiàn)有教學(xué)模式的一種補(bǔ)充.教師課上面授，課下利用電腦、手機(jī)發(fā)布作業(yè)、上傳課件、給學(xué)生答疑等.該模式不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，還可彌補(bǔ)教學(xué)課時(shí)不足的問題.

3.教學(xué)方式、時(shí)間控制

思政元素融入教學(xué)內(nèi)容，在方式上一定要自然，切忌“貼標(biāo)簽”式的生搬硬套.在講解蘊(yùn)含思政元素的知識(shí)點(diǎn)前，教師可在課件上展示與知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的思政元素照片或播放短視頻，引起學(xué)生的興趣，將思政元素與教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行無縫對(duì)接，達(dá)到事半功倍的效果.另外，教師需要注意把握思政元素融入的比重，不能占用太多時(shí)間而影響了知識(shí)的講授.

三、初步實(shí)踐的調(diào)查結(jié)果

我校對(duì)大氣科學(xué)專業(yè)20級(jí)19～21班共119人進(jìn)行了課程思政融入線性代數(shù)教學(xué)的實(shí)踐，并在學(xué)期結(jié)束后開展了問卷調(diào)查，共收到問卷117份.問卷中設(shè)計(jì)了11個(gè)問題，前10個(gè)問題總結(jié)為五大類：1）對(duì)于在課上引入數(shù)學(xué)發(fā)展史，有93%的同學(xué)認(rèn)為這讓他們了解了數(shù)學(xué)的部分發(fā)展史，特別是我國古代在數(shù)學(xué)上的偉大成就，覺得很自豪;2）對(duì)于在課上引入數(shù)學(xué)家的故事，有98%的同學(xué)認(rèn)為這讓他們明白了努力的道理，也增加了學(xué)習(xí)的興趣;3）對(duì)于在課上引入企業(yè)家的故事，有96%的同學(xué)覺得這吸引了他們的興趣和注意力，也懂得了成功離不開堅(jiān)持不懈的努力和持之以恒的決心，還有91%的同學(xué)立志要以他們?yōu)榘駱樱W(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)科技報(bào)國的使命擔(dān)當(dāng);4）對(duì)于在課上教師將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行類比、總結(jié)和延伸，有97%的同學(xué)覺得這樣能更好地幫助他們掌握所學(xué)內(nèi)容，更重要的是便于以后用數(shù)學(xué)的思維方式和辯證唯物主義思想去面對(duì)實(shí)際問題，拓展了解決問題的思路;5）對(duì)引入后續(xù)專業(yè)課程需要的線性代數(shù)知識(shí)，有92%的同學(xué)認(rèn)為這讓他們明確了該課程的重要性.最后1個(gè)問題是學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程你有什么樣的收獲，全部的同學(xué)都認(rèn)為通過線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)，不僅學(xué)到了線性代數(shù)的知識(shí)，還學(xué)會(huì)了很多為人處事的道理，這門課的學(xué)習(xí)使他們受益匪淺.

四、結(jié)論

在高等學(xué)校課程思政建設(shè)的大背景下，本文首先分析了課程思政融入線性代數(shù)教學(xué)的必要性.其次從定義的講解、證明求解的過程中，挖掘線性代數(shù)課程含思政元素的知識(shí)點(diǎn).教師通過課程思政融入線性代數(shù)的教學(xué)，實(shí)現(xiàn)向?qū)W生傳遞愛國主義精神，馬克思辯證唯物主義思想，以及培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度和堅(jiān)持不懈的意志品質(zhì)，并探討了含思政元素內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)方式.最后還在課堂進(jìn)行了初步實(shí)踐，問卷調(diào)查結(jié)果顯示思政融入線性代數(shù)課程取得了較好的反饋.“課程”與“思政”有機(jī)結(jié)合，以立德樹人為宗旨，使思想政治教育始終貫穿線性代數(shù)課程的教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)與價(jià)值引領(lǐng)的有機(jī)統(tǒng)一，這與我校的校訓(xùn)“明德格物、立己達(dá)人”也不謀而合.在以后的教學(xué)實(shí)踐中，我們將繼續(xù)尊重教育教學(xué)、人才培養(yǎng)規(guī)律，進(jìn)一步挖掘思政元素、改進(jìn)教學(xué)模式、豐富教學(xué)手段，不斷豐富課程思政內(nèi)涵、提升課程整體質(zhì)量，真正實(shí)現(xiàn)潤物于無聲處，育人于課堂中，為培養(yǎng)中國特色社會(huì)主義優(yōu)秀建設(shè)者和接班人而努力.

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