從棋子計(jì)數(shù)看一類數(shù)表型創(chuàng)新題

北京市順義牛欄山第一中學(xué)(101300)李啟超

1.從一道棋子計(jì)數(shù)趣題談起

例1在2n×2n的正方形棋盤(pán)上放上3n枚棋子.求證:可以找到n行n列,使得它們包括了全部3n枚棋子.

分析直觀上講,應(yīng)優(yōu)先找到那些棋子多的行或列,若能多到n行中包含了2n枚棋子,則問(wèn)題得證.但是我們不知道哪些行或哪些列的棋子較多,為此我們不妨設(shè)2n行上的棋子數(shù)ai(1 ≤i≤2n)是按從大到小的順序分布的,滿足a1≥a2≥···≥a2n≥0,有了順序后接下來(lái)就容易操作了.

證明設(shè)棋盤(pán) 2n行上的棋子數(shù)量分別為a1,a2,···,a2n.因?yàn)榻粨Q棋盤(pán)的任意兩行不影響題意,不妨設(shè)a1≥a2≥···≥a2n≥ 0,并且根據(jù)題意有a1+a2+···+a2n=3n.

斷言a1+a2+···+an≥2n.

①若an≥2,則a1+a2+···+an≥nan≥2n,斷言成立;

②若an≤1,則a2n≤a2n-1≤···≤an+1≤1,且an+1+an+2+···+a2n≤n,進(jìn)而a1+a2+···+an=3n-(an+1+an+2+···+a2n)≥2n,斷言也成立.

據(jù)此,棋盤(pán)前n行中至少包含了2n枚棋子,剩下的棋子不超過(guò)n枚,至多分布在n列中.因而,可以找到n行n列,使得它們包括了全部3n枚棋子.證畢.

以上解題過(guò)程中,有三點(diǎn)值得注意的策略:

(1)找到題目條件的“對(duì)稱不變性”,即交換棋盤(pán)的任意兩行或任意兩列,都不改變題意;

(2)有序化假設(shè),根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)各行的棋子數(shù)a1,a2,···,a2n滿足a1≥a2≥···≥a2n≥0.顯然,對(duì)棋子數(shù)排序是打開(kāi)解題局面的關(guān)鍵;

(3)極端原理,優(yōu)先考慮棋子數(shù)最多的n行,然后先猜后證,得到a1+a2+···+an≥2n.

以上提到的“找對(duì)稱不變性”,“有序化假設(shè)”和“極端原理”都是對(duì)題目的有效增設(shè)(參考[1-2]).有效增設(shè)是原題目條件中沒(méi)有明確指出,我們?cè)诮忸}過(guò)程中新增的假設(shè),它們既不改變題意又對(duì)發(fā)現(xiàn)解題思路非常有幫助.我們將發(fā)現(xiàn),這三點(diǎn)策略在解決一類數(shù)表型創(chuàng)新題時(shí)非常有效.

2.在數(shù)表型創(chuàng)新題中的應(yīng)用

綜合運(yùn)用“有序化假設(shè)”策略和整數(shù)的“離散性”,有時(shí)候可以解決比較復(fù)雜的問(wèn)題.我們?cè)倏匆焕?

例4(2021年北京市海淀區(qū)高三期末第21 題)設(shè)A是由n×n(n≥2)個(gè)實(shí)數(shù)組成的n行n列的數(shù)表,滿足:每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是1,且所有數(shù)的和是非負(fù)數(shù),則稱數(shù)表A是n階非負(fù)數(shù)表.第(Ⅰ)(Ⅱ)問(wèn)略;

(Ⅲ)當(dāng)n= 2k(k ∈N*)時(shí),證明:對(duì)于任意n階非負(fù)數(shù)表A,均存在k行k列,使得這k行k列交叉處的k2個(gè)數(shù)之和不小于k.

分析(1)本題看似與棋陣無(wú)關(guān),其實(shí)不然,事實(shí)上只要把數(shù)表中的1 分量全部換成黑子,把0 分量換成白子,所謂“n階非負(fù)數(shù)表”變成“黑子數(shù)不少于白子數(shù)的棋陣”.原題第(Ⅲ)問(wèn)則變成了“存在k×k的子棋陣,其中黑子數(shù)至少比白子數(shù)多k個(gè)”;

(2)容易知道,交換非負(fù)數(shù)表的任意兩行或任意兩列,得到的新數(shù)表也是非負(fù)數(shù)表.我們可以反復(fù)運(yùn)用這個(gè)對(duì)稱性,使得2k×2k非負(fù)數(shù)表左上角的k×k子數(shù)表中的所有數(shù)的代數(shù)和盡可能大,然后證明這個(gè)和大于等于k即可;

(3)為了使得左上角的k×k子數(shù)表中的所有數(shù)的代數(shù)和數(shù)盡可能大,我們分幾步把和數(shù)較大的行或列交換調(diào)整到左上角上去,為此需要多次使用“有序化假設(shè)”.

證明因?yàn)榻粨Q非負(fù)數(shù)表的任意兩行或任意兩列,得到的新數(shù)表也是非負(fù)數(shù)表.我們分三步調(diào)整出一個(gè)符合題意的k×k子數(shù)表.

第一步不妨設(shè)數(shù)表A中各行的分量之和分別為αi(1 ≤i≤n),且滿足α1≥α2≥···≥αn.由非負(fù)數(shù)表定義知α1+α2+···+αn-1+αn≥0.

斷言1α1+α2+···+αn-1≥0.

事實(shí)上,若αn-1≥0,斷言1 顯然成立;若αn-1＜0,則αn ＜0,進(jìn)而α1+α2+···+αn-1≥-αn ＞0,斷言1 仍成立.

據(jù)此,非負(fù)數(shù)表A中存在n-1 行所構(gòu)成的(n-1)×n子數(shù)表A1,其所有元素之和大于等于零.

第二步將第一步所得子數(shù)表A1分成n個(gè)n -1維列向量,記每個(gè)列向量的分量之和為βi(1 ≤i≤n),由n-1=2k-1 為奇數(shù),且每個(gè)分量為±1,可知βi(1 ≤i≤n)為奇數(shù).由對(duì)稱性,不妨設(shè)β1≥β2≥···≥βk≥···≥β2k.根據(jù)第一步結(jié)論,知β1+β2+···+β2k≥0.

斷言2β1+β2+···+βk≥k.

事實(shí)上,若βk≥1,斷言2 顯然成立; 若βk ＜1,則βk≤-1,從而β2k≤···≤βk+1≤βk≤-1,進(jìn)而β1+β2+···+βk≥-(βk+1+···+β2k)≥k,斷言2仍成立.

據(jù)此,非負(fù)數(shù)表A中存在2k-1 行k列交叉處分量所組成的(2k-1)×k子數(shù)表A2,其所有分量之和大于等于k.

第三步將第二步所得子數(shù)表A2分成2k-1 個(gè)k維行向量,記每個(gè)行向量的所有分量之和為γi(1 ≤i≤2k-1).由對(duì)稱性,不妨設(shè)γ1≥γ2≥···≥γk≥···≥γ2k-1.

根據(jù)第二步結(jié)論可知γ1+γ2+···+γ2k-1≥k.

斷言3γ1+γ2+···+γk≥k.

事實(shí)上,若γk≥ 1,斷言3 顯然成立; 若γk ＜1,則γk≤0,從而γ2k-1≤···≤γk+1≤γk≤0,進(jìn)而γ1+γ2+···+γk≥k -(γk+1+···+γ2k-1)≥k,斷言3 仍成立.

據(jù)此,非負(fù)數(shù)表A中存在k行k列交叉處分量所組成的k×k階子數(shù)表A3,其所有元素之和大于等于k.

綜上所述,對(duì)于任何n= 2k階非負(fù)數(shù)表A,均存在k行k列,使得這k行k列交叉處的所有數(shù)之和不小于k.證畢.

3.總結(jié)與感悟

近年的新高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了一類以集合、數(shù)列或數(shù)表為載體的創(chuàng)新題,這些題目一方面對(duì)考生的數(shù)學(xué)閱讀、歸納探究和推理論證能力都有較高要求([3]),另一方面題型不循套路,形式富于多變.如何提高學(xué)生解答創(chuàng)新題的能力,是廣大數(shù)學(xué)教師共同關(guān)注的問(wèn)題.對(duì)此,我們不妨參考著名數(shù)學(xué)家波利亞的一個(gè)觀點(diǎn):“解題就像采蘑菇一樣,當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)蘑菇時(shí),它的周圍可能有一個(gè)蘑菇圈.”同理,當(dāng)我們從一道經(jīng)典題目的解答中習(xí)得某種有意思的解題策略時(shí),不妨多做歸納總結(jié)和類比,因?yàn)檫@個(gè)策略往往還能用于其它題目.本文可以看作這方面的一個(gè)嘗試.