《一元二次方程》教學(xué)案例

洪艷星

案例背景

一元二次方程在初中數(shù)學(xué)中占有重要的地位，是數(shù)學(xué)建模的一種方法，進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和條件，同時(shí)也是解決生活問(wèn)題的工具之一，因此教師要格外重視一元二次方程的教學(xué)。初中生在初次接觸一元二次方程的時(shí)候無(wú)法正確掌握一元二次方程及其相關(guān)概念，在解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候建立有誤的一元二次方程的數(shù)學(xué)模型。這部分的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生在了解相關(guān)概念的基礎(chǔ)上掌握配方法等解決一元二次方程的方法，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

案例實(shí)施

在第一課時(shí)中教師主要通過(guò)經(jīng)典的例子和學(xué)生進(jìn)行深入的探討和分析，教師對(duì)學(xué)生的思考做出評(píng)價(jià)，進(jìn)而順利建立數(shù)學(xué)模型，順其自然提出一元二次的相關(guān)概念，結(jié)合學(xué)生學(xué)過(guò)的相關(guān)整式的概念為學(xué)生講解二次項(xiàng)等相關(guān)的概念。之后講解缺一次項(xiàng)的一元二次方程的直接開(kāi)方法以及配方法等，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展一定量的聯(lián)系。在第二課時(shí)中引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)習(xí)過(guò)的配方法解出求根公式及其條件，再用整式中所學(xué)的方法進(jìn)行知識(shí)遷移引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用因式分解法解方程，最后用一元二次方程的模型解決實(shí)際的問(wèn)題。

第一課時(shí)。在課堂導(dǎo)入階段，教師提問(wèn)學(xué)生《九章算術(shù)》中的題目，一個(gè)長(zhǎng)方形的門長(zhǎng)比寬多6尺8寸，門的對(duì)角線長(zhǎng)1丈，那么長(zhǎng)和寬是多少？學(xué)生設(shè)定寬為x尺，然后列出方程，計(jì)算求得具體的長(zhǎng)度和寬度（用x表示）。這里教師可以根據(jù)課堂進(jìn)行時(shí)間的長(zhǎng)短和學(xué)生的反應(yīng)設(shè)計(jì)一些導(dǎo)入題目讓學(xué)生思考，之后教師點(diǎn)評(píng)并且分析如何建立本節(jié)課要學(xué)的一元二次方程的模型。接下來(lái)真實(shí)開(kāi)展新知識(shí)的教學(xué)。教師讓學(xué)生思考導(dǎo)入階段寫(xiě)出的方程包含有幾個(gè)未知數(shù)，結(jié)合在整式中所學(xué)的多項(xiàng)式的概念，這些未知數(shù)的最高次數(shù)可以是多少？有等號(hào)嗎？和以前的多項(xiàng)式一樣只有式子嗎？學(xué)生口答這些問(wèn)題，教師給了學(xué)生肯定的回答。教師這個(gè)時(shí)候總結(jié)學(xué)生的回答，并且引出一元二次方程的含義，這種方程只有一個(gè)未知數(shù)，也就是一元的，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的方程。學(xué)生對(duì)照剛才的方程可以清晰分辨出這樣的方程就是一元二次方程。教師讓學(xué)生整理剛才的一元二次方程，形成ax2+bx+c=0的形式，這就是一般的形式。學(xué)生自己看書(shū)思考并且說(shuō)出二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)。教師給學(xué)生思考的時(shí)間，并且當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)問(wèn)題的時(shí)候教師糾正學(xué)生即可。從目前學(xué)生的反應(yīng)來(lái)看，學(xué)生對(duì)這部分的知識(shí)已經(jīng)有一定程度的掌握。之后教師讓學(xué)生將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一般的形式，并指出其中的二次一次和常數(shù)項(xiàng)。學(xué)生這個(gè)時(shí)候稍加思考并細(xì)心點(diǎn)就可以完成這個(gè)題目。之后繼續(xù)給學(xué)生出一些題目讓學(xué)生完成，讓不同程度的學(xué)生完成簡(jiǎn)單例題、鞏固練習(xí)和應(yīng)用拓展部分。

第二課時(shí)。在課堂導(dǎo)入階段，教師讓學(xué)生完成問(wèn)題：一個(gè)梯子靠墻而立，墻的高度是8m，梯子底端到墻面的距離是多少米。學(xué)生設(shè)是x米，然后列出方程，之后列表得到結(jié)果。正式開(kāi)展教學(xué)，提問(wèn)學(xué)生最后的答案是多少？在不考慮這個(gè)司機(jī)背景的前提下還有其他的解嗎？學(xué)生陷入思考，然后列方程單純開(kāi)展計(jì)算，發(fā)現(xiàn)其實(shí)還可以有-6這個(gè)解。教師這個(gè)時(shí)候進(jìn)行總結(jié)，這是一元二次方程的根，題目的根有兩個(gè)，但是由于負(fù)數(shù)不滿足條件，因此去掉，這里我們就可以知道在實(shí)際問(wèn)題中列出的方程得到的根要滿足實(shí)際的條件因此要進(jìn)行判斷。為了讓學(xué)生熟悉根的概念，教師可以出題目讓學(xué)生判斷滿足某一個(gè)一元二次方程的根有哪些，學(xué)生只需要帶入等式兩邊相等即可，之后讓學(xué)生求出一些簡(jiǎn)單的一元二次方程的根，鞏固學(xué)生所學(xué)的知識(shí)。緊接著為學(xué)生講解直接開(kāi)平方法，根據(jù)上節(jié)課所學(xué)的x2=8，就可以得到x=±2，如果將其中的x換元為2t+1，這個(gè)時(shí)候能不能也直接開(kāi)方？學(xué)生開(kāi)始激烈的討論，認(rèn)為專業(yè)那個(gè)是可以的，只是結(jié)果就會(huì)變成t+1=±2，這個(gè)時(shí)候方程的根就很容易得到了。教師讓學(xué)生完成可以湊成完全平方公式的方程，這個(gè)時(shí)候?yàn)閷W(xué)生具體講解降次轉(zhuǎn)化的思想。最后進(jìn)行歸納總結(jié)即可。之后采取同樣的方法講解配方法、公式法等內(nèi)容。

案例反思

在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師采取的是誘導(dǎo)和思考的方法，讓學(xué)生掌握了一元二次方程的相關(guān)內(nèi)容。學(xué)生的課堂體驗(yàn)感比較好，也積極參與了大部分的學(xué)習(xí)任務(wù)，與教師也有十分頻繁的互動(dòng)，在和小伙伴討論中也提升了個(gè)人的綜合能力。但是仍然存在三點(diǎn)不足之處：每一課時(shí)的導(dǎo)入階段都是采用問(wèn)題導(dǎo)入的，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)這無(wú)法起到激發(fā)興趣的目的，而一節(jié)課的開(kāi)端是奠定整節(jié)課基調(diào)的重要環(huán)節(jié)，因此在之后的教學(xué)中要做出改進(jìn);在教學(xué)中學(xué)生雖然積極完成學(xué)習(xí)任務(wù)，但是幾乎全部都是在教師的推動(dòng)下完成的，教師也并未做出任何鼓勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的行為，因此學(xué)生探究的欲望和學(xué)習(xí)的興趣也不是很高，而眾所周知，取得良好教學(xué)效果的原因主要在于學(xué)生的自主性、自覺(jué)性;整個(gè)教學(xué)的方式比較單一，全程都在用提問(wèn)問(wèn)題的方法，節(jié)奏也是十分快速的，缺乏彈性，這會(huì)導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生疲倦的心理，且對(duì)數(shù)學(xué)課這種高壓的狀態(tài)感到畏懼，因此教師可以采用相對(duì)輕松的方法，比方說(shuō)多媒體動(dòng)態(tài)教學(xué)、實(shí)踐活動(dòng)教學(xué)、情境教學(xué)等方式，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率，構(gòu)建高效數(shù)學(xué)課堂。