概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)結(jié)合MATLAB軟件的教學(xué)探討

黃丹，劉雙花，龍法寧

（1.玉林師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，廣西 玉林；2.百色學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 百色）

一 引言

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的基礎(chǔ)學(xué)科，本課程包含兩大部分，一部分是理論基礎(chǔ)的概率論部分，另一部分是數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的實(shí)際應(yīng)用。它的應(yīng)用十分廣泛，包括工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等技術(shù)領(lǐng)域。得益于計(jì)算機(jī)學(xué)科的發(fā)展以及相關(guān)的統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)軟件的開(kāi)發(fā)，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》也得以迅速發(fā)展，其應(yīng)用范圍也在不斷擴(kuò)大?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這門課程傳統(tǒng)的教學(xué)方式主要是口授筆演，如果教師依然采用傳統(tǒng)的教學(xué)方式，學(xué)生被動(dòng)地學(xué)習(xí)，參與度低，不能引起學(xué)生的興趣，從而缺乏互動(dòng)性和操作性，使得抽象的內(nèi)容學(xué)生難以理解，課堂教學(xué)質(zhì)量達(dá)到事倍功半的效果，還會(huì)使學(xué)生的知識(shí)、能力與時(shí)代脫節(jié)。因此，這就需要教師們改變傳統(tǒng)的教學(xué)方式，結(jié)合實(shí)驗(yàn)教學(xué)，改革教學(xué)方法，探索教學(xué)新路徑。通過(guò)讓學(xué)生自我思考、自我分析，自主動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作，從而促進(jìn)學(xué)生綜合應(yīng)用能力的發(fā)展，教師才能真正提高教學(xué)質(zhì)量[1-2]。

Matlab程序中包含了功能強(qiáng)大的庫(kù)函數(shù)，內(nèi)置調(diào)用預(yù)定義函數(shù)和工具箱，如曲線擬合工具箱、支持向量機(jī)等，具有界面可視化、操作簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，課堂上結(jié)合MATLAB軟件進(jìn)行案例教學(xué)是提高教學(xué)效率與質(zhì)量的有力途徑。本文結(jié)合案例：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線、極大似然估計(jì)法、最小二乘法等，通過(guò)Matlab軟件作圖與數(shù)值計(jì)算，減少學(xué)生繪制曲線時(shí)間，簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)分析過(guò)程，從而提高課堂教學(xué)質(zhì)量[3-4]。

二 MATLAB軟件在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中的應(yīng)用

（一） 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》結(jié)合MATLAB軟件的必要性

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是理工科學(xué)生必修的課程之一，在新工科的背景下，我們需要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)將數(shù)學(xué)思維、方法與實(shí)際應(yīng)用有效的結(jié)合，學(xué)以致用，將學(xué)生培養(yǎng)成創(chuàng)新型現(xiàn)代化社會(huì)所需人才。目前，大多數(shù)教師對(duì)于《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的授課方式還是板書演算講解，教學(xué)手段落后，學(xué)生對(duì)于課程中蘊(yùn)含的抽象概念難以理解，這容易使學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)掌握不牢，課堂上教師教得“辛苦”，學(xué)生聽(tīng)得“痛苦”，教學(xué)效果也就不盡如人意。在傳統(tǒng)教學(xué)理念中，存在這樣的誤解：讓學(xué)生死記硬背公式，會(huì)靈活套用公式就是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握。但在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中涉及的概念繁多，理論抽象，計(jì)算復(fù)雜繁瑣，想讓學(xué)生將全部的知識(shí)長(zhǎng)久的記憶在腦海實(shí)非易事，并且死記硬背的教學(xué)方式必然會(huì)導(dǎo)致學(xué)生覺(jué)得枯燥乏味，對(duì)課程中的基本思想方法難以掌握，不利于培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題和創(chuàng)新能力。在這種背景下，我們認(rèn)為有必要將課堂教學(xué)生動(dòng)形象化，借助現(xiàn)代化教學(xué)手段與MATLAB軟件結(jié)合起來(lái)，課程教學(xué)改革的目的在于通過(guò)實(shí)驗(yàn)案例加深學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解、把握和應(yīng)用，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法結(jié)合MATLAB程序語(yǔ)言得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的解，來(lái)提高學(xué)生的探索欲望和學(xué)習(xí)興趣，逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、抽象思維能力與實(shí)踐能力[5-6]。

（二） 正態(tài)分布概率密度函數(shù)曲線結(jié)合MATLAB的教學(xué)探討

正態(tài)分布又稱高斯分布，是一個(gè)非常重要的概率分布，也是許多數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)。在現(xiàn)實(shí)世界中，正態(tài)分布是最常見(jiàn)的一種分布，大量的隨機(jī)變量都服從或近似地服從正態(tài)分布。由于正態(tài)分布應(yīng)用的廣泛性和普遍性，因此，理解和掌握它相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)就顯得尤為重要。 而傳統(tǒng)的教師口授知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)方式，不能使學(xué)生很好地理解透徹。 但如果結(jié)合MATLAB軟件教學(xué)，利用MATLAB軟件對(duì)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線圖形可視化，將抽象難懂的知識(shí)點(diǎn)通過(guò)圖形將其表示出來(lái)，讓學(xué)生結(jié)合圖形來(lái)加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解， 那么教學(xué)效率、效果會(huì)事半功倍。

例1 分別繪制 (μ,σ2) 為（-2, 4），（0, 0.4），（0,4），（0, 40），（2, 4）時(shí)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線，理解正態(tài)分布的圖形特征。

解 在編輯窗口中輸入MATLAB代碼程序：

運(yùn)行程序，得到效果如下圖1所示：

圖1 正態(tài)分布的概率密度曲線

從以上圖像上可以得到以下結(jié)論：（1）密度曲線關(guān)于x=μ對(duì)稱；（2）參數(shù)μ決定了曲線的位置，參數(shù)2σ決定了曲線的形狀。通過(guò)圖形直觀表示出來(lái)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶與理解。

（三） 極大似然估計(jì)法結(jié)合MATLAB的教學(xué)探討

極大似然估計(jì)法的思想是德國(guó)數(shù)學(xué)家首次提出的，后來(lái)被英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)希爾進(jìn)一步研究。其計(jì)算過(guò)程復(fù)雜且繁瑣，大部分計(jì)算容易出錯(cuò)，通常復(fù)雜的計(jì)算會(huì)抑制思維的培養(yǎng)，從而使課程的教學(xué)本末倒置。因此要求學(xué)生熟練掌握一種計(jì)算軟件，利用 MATLAB 軟件可以將學(xué)生從復(fù)雜的運(yùn)算中解救出來(lái)，節(jié)省課堂時(shí)間，將更多的精力放在對(duì)學(xué)生思維方式的培養(yǎng)上。

極大似然估計(jì)法一般用于區(qū)間估計(jì)，而MATLAB已經(jīng)將其封裝好的一些常見(jiàn)分布極大似然估計(jì)的MATLAB函數(shù)（如表1），供給學(xué)者調(diào)用。

表1 常見(jiàn)分布極大似然估計(jì)的MATLAB 函數(shù)

接下來(lái)，通過(guò)實(shí)例說(shuō)明極大似然估計(jì)法結(jié)合MATLAB的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，以正態(tài)分布為例。

例2 從某廠生產(chǎn)的批量餅干中隨機(jī)地抽取15袋，稱得重量（以克計(jì)）如下：

416, 528, 398, 425, 448, 506, 488, 506, 509, 498,487, 486, 502, 508, 511, 478.

設(shè)該批餅干的重量近似地服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，且μ,σ2未知，求μ和σ2的極大似然估計(jì)以及置信水平為0.9的置信區(qū)間。

解 在編輯窗口中輸入MATLAB代碼程序：

其計(jì)算結(jié)果為 mu =480.8750；sigma =38.3491；muci=464.0680, 497.6820; sigmaci =29.7076，55.1193. 因此μ=480.8750,σ2=38.3491, 在置信水平為0.9下μ和σ2的置信區(qū)間為[464.0680， 497.6820]和[29.7076， 55.1193]. 這表明在誤差可信程度為90%下估計(jì)該批餅干重量的均值在464.0680克與497.6820克之間，方差在29.7076與55.1193之間。

MATLAB本身內(nèi)置強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)工具箱，可在較短的時(shí)間內(nèi)檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果，使數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析擺脫了科學(xué)計(jì)算器落后計(jì)算工具的束縛。該教學(xué)改革方法豐富新穎，大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)本課程的興趣。

（四） 最小二乘法結(jié)合MATLAB的教學(xué)探討

最小二乘法是勒讓德( A.M. Legendre)于1805年提出的一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，主要原理是根據(jù)理論值與觀測(cè)值誤差平方和達(dá)到最小，對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。在數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析中，常常需要研究因變量是如何依賴自變量，研究其相關(guān)性是不可或缺的。通過(guò)在直角坐標(biāo)系中做散點(diǎn)圖的方式我們會(huì)發(fā)現(xiàn)很多統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)近似一條直線，它們呈正相關(guān)或者負(fù)相關(guān)，這就可以采用線性最小二乘法擬合直線，將不具有確定函數(shù)關(guān)系的相關(guān)變量借助線性回歸函數(shù)來(lái)表示它們之間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

例3 為了研究某一鐵制品制作過(guò)程中溫度x對(duì)產(chǎn)品得率Y的影響，測(cè)量數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 x 與Y 的數(shù)量關(guān)系

求Y關(guān)于x的線性回歸方程。

解：由題意知，產(chǎn)品得率Y關(guān)于溫度x的誤差方程為此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)估計(jì)出參數(shù)從而得出Y關(guān)于x線性回歸方程。接下來(lái)，我們應(yīng)用 MATLAB 程序進(jìn)行求解。

（1）在編輯窗口中輸入MATLAB代碼程序：

得到散點(diǎn)圖2。

由圖2可知Y關(guān)于x存在線性關(guān)系。

圖2 x 與y 的散點(diǎn)圖

（2）編輯窗口中繼續(xù)輸入MATLAB代碼程序：

運(yùn)行結(jié)果可得返回值 b0= -2.7394, b1=0.4830. 因此，最小二乘法擬合的一元線性回歸方程為

通過(guò) MATLAB 程序?qū)崿F(xiàn)對(duì)產(chǎn)品得率對(duì)溫度的直線擬合，可在有限的測(cè)量數(shù)據(jù)條件下描述產(chǎn)品得率隨溫度變化的特性，為實(shí)際應(yīng)用提供依據(jù)。 基于最小二乘法的一元線性回歸擬合結(jié)合MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)方法簡(jiǎn)明、適用，可以讓學(xué)生直接進(jìn)行實(shí)踐操作，圖文并茂的教學(xué)情境增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)MATLAB軟件的樂(lè)趣，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

三 結(jié)語(yǔ)

將MATLAB軟件結(jié)合《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程教學(xué)是一種新的探索與嘗試，借助MATLAB軟件輔助教學(xué)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，使學(xué)習(xí)內(nèi)容更加直觀，創(chuàng)造了一個(gè)圖文并茂的生動(dòng)直觀的教學(xué)環(huán)境，從而進(jìn)一步提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，豐富了課堂教學(xué)的表現(xiàn)手法。同時(shí)，還可以通過(guò)MATLAB軟件的數(shù)值計(jì)算功能簡(jiǎn)化繁瑣的計(jì)算, 提高學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和分析能力。這種理論教學(xué)與數(shù)學(xué)軟件相結(jié)合的教學(xué)模式，能引起學(xué)生對(duì)學(xué)科知識(shí)的興趣及探索欲望，并加深學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的理解和記憶，能有效培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、實(shí)踐操作各方面的能力，逐步培養(yǎng)大數(shù)據(jù)時(shí)代需求的創(chuàng)新型人才[7-8]。