利用多種手段破除物理錯(cuò)覺

崔海龍 董書平 章林 汪霞

摘要：本文以一道上海高考物理試題改編題目的解法敘述中的錯(cuò)覺分析入手，通過常規(guī)分析與推導(dǎo)得出一個(gè)較為復(fù)雜的“速度—角度”關(guān)系函數(shù)，并通過求導(dǎo)數(shù)、desmos作圖工具軟件等新手段進(jìn)行多角度論證探究，最終對(duì)這一物理問題形成直觀的物理圖象和明晰的物理感覺。文章進(jìn)一步指出，多種手段并用進(jìn)行科學(xué)推理與論證，有利于物理學(xué)科核心素養(yǎng)中“科學(xué)思維”能力的培養(yǎng)，特別是對(duì)于參加“強(qiáng)基計(jì)劃”的學(xué)生，能幫助其對(duì)物理問題形成全方位的認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：物理學(xué)科 核心素養(yǎng) 科學(xué)思維

在高中物理教學(xué)與學(xué)習(xí)中，教師和學(xué)生可能對(duì)某些問題形成一些直觀判斷，也可稱之為直覺，這些直覺有些是正確的，有些可能是錯(cuò)誤的，也可稱之為“錯(cuò)覺”。而如何培養(yǎng)學(xué)生正確的物理感覺[1]，需要從題目的初步印象中，發(fā)現(xiàn)物理概念和確定的物理意義，構(gòu)建合適的物理模型，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行科學(xué)推理與論證，形成令人信服的結(jié)果。這一過程，恰恰就是物理學(xué)科核心素養(yǎng)中關(guān)于科學(xué)思維能力的要求，特別對(duì)于培養(yǎng)未來參與“強(qiáng)基計(jì)劃”的學(xué)生尤為重要。

一、一道改編題解題分析過程的錯(cuò)誤及一個(gè)待解疑問

筆者在對(duì)一道上海高考試題[2]進(jìn)行研討時(shí)，發(fā)現(xiàn)部分類似或改編題目及其解法[3，4，5]。其中，《中學(xué)生物理思維方法叢書·類比》2015年第一版第195—196部分內(nèi)容[3]對(duì)這一問題的分析，存在直覺上的錯(cuò)誤。

原題呈現(xiàn)（1994年上海高考試卷第六大題）[2]：

如圖1，輕質(zhì)長繩水平地跨在相距2l的兩個(gè)小定滑輪A、B上，質(zhì)量為m物塊懸掛在繩上O點(diǎn)，O與A、B兩滑輪的距離相等。在輕繩兩端C、D分別施加豎直向下的恒力F=mg。先托住物塊，使繩處于水平拉直狀態(tài)，靜止釋放物塊，在物塊下落過程中，保持C、D兩端的拉力F不變。

（1）當(dāng)物塊下落距離h為多大時(shí)，物塊的加速度為零？

（2）在物塊下落上述距離的過程中，克服C端恒力F做功W為多少？

（3）求物塊下落過程中的最大速度vm和最大距離H。

改編題及其分析如下[3]：

例題6.31如圖2所示，細(xì)繩繞過相距為2l的兩個(gè)定滑輪A和B，兩端各掛一個(gè)質(zhì)量為m的物體，在AB的中點(diǎn)C掛一個(gè)質(zhì)量為M的大球，M<2m.開始時(shí)用手把球托住，輕輕釋放后，這個(gè)球可能達(dá)到的最大下降距離是多少？

大球釋放后，開始時(shí)球的重力大于AC、BC兩繩中張力的合力，球向下做加速運(yùn)動(dòng)。隨著球的下落，AC、BC兩繩中張力的合力增大，球下落的加速度減小，但速度卻不斷增大，當(dāng)大球下落到某位置滿足條件Mg=2mgcosθ，

即到達(dá)靜力平衡位置時(shí)（見圖3），大球所受的合力為零，加速度為零，速度達(dá)到最大值vmax。接著，大球繼續(xù)下落，AC、BC兩繩中張力的合力大于球的重力，大球向下做減速運(yùn)動(dòng)（加速度方向向上），且加速度的大小越來越大，下落速度越來越小，直至速度等于零，大球下降到最低點(diǎn)。此后，大球重又向上做加速運(yùn)動(dòng)。

以上改編題的分析論述中，認(rèn)為大球M下落過程中，“當(dāng)大球下落到某位置滿足條件Mg=2mgcosθ，即到達(dá)靜力平衡位置時(shí)，大球所受的合力為零，加速度為零，速度達(dá)到最大值vmax?！敝庇X上看似有道理，但仔細(xì)思考會(huì)發(fā)現(xiàn)：“Mg=2mgcosθ時(shí)，M到達(dá)靜力平衡位置”這個(gè)判斷，在改編題的場(chǎng)景中可能有問題。

與改編題不同的是，如圖1所示的高考原題中，只在中間懸掛了質(zhì)量為m的物塊，兩側(cè)并沒有懸掛物塊，而是分別施加豎直向下的恒力F=mg。因此，的確是在mg=2Fcosθ=2mgcosθ時(shí)，物塊m的速度達(dá)到最大值。但是，圖2所示的改編題與高考原題相比，兩側(cè)掛質(zhì)量為m的物塊，與施加大小等于mg的豎直向下的恒力F之間，顯然存在差別。

實(shí)際上，對(duì)于改編題（如圖2），對(duì)大球M做受力分析易知，Mg-2Fcosθ=Ma1

其中F為兩側(cè)繩中拉力大小，a1為M的加速度大小，取豎直向下為正。只有滿足Mg=2Fcosθ，即到達(dá)靜力平衡位置時(shí)，大球所受的合力為零，加速度為零，速度達(dá)到最大值vmax。需要注意的是，此處的靜力平衡條件Mg=2Fcosθ和改編題論述中認(rèn)為Mg=2mgcosθ達(dá)到靜力平衡之間是存在差別的，二者不能直接等同。除非兩根細(xì)繩中的張力與物體m的重力相等，即F=F1=F2=mg，二者可以等同。但顯然的是，在剛開始M加速時(shí)，m也加速，F(xiàn)>mg，只有當(dāng)m達(dá)到靜力平衡時(shí)才有F=mg。

利用多手段探究破除物理錯(cuò)覺2022年5月中第14期（總第114期）那么，有沒有可能存在這么一種情況，即M向下運(yùn)動(dòng)過程中，速度達(dá)到最大值時(shí)，兩側(cè)m的速度也同時(shí)達(dá)到最大值，從而恰好滿足Mg=2Fcosθ=2mgcosθ？這個(gè)待解疑問，我們將在下文中進(jìn)行探究。

二、常規(guī)推理與探究

各物理量標(biāo)注如圖4所示。當(dāng)M下落h時(shí)，兩邊m同時(shí)上升（s-l），由動(dòng)能定理得：

Mgh-2mg（s-l）=12Mv21+2·12mv22①

其中，v1為M的速度大小，v2為兩側(cè)m的速度大小。M和m沿繩方向具有相同的運(yùn)動(dòng)速度，故有：

v1cosθ=v2②

其中，θ為M與定滑輪的一段細(xì)繩與豎直方向的夾角。

另有：

tanθ=lh③

s·sinθ=l④

解得：

v1=2glMcosθ+2m（sinθ-1）（M+2mcos2θ）sinθ⑤

v2=2glMcosθ+2m（sinθ-1）（M+2mcos2θ）sinθ·cosθ⑥

到了這里，我們精確地寫出了M的速度v1作為θ的函數(shù)的表達(dá)式。但是，看著這個(gè)表達(dá)式，我們能得到的直觀信息有限，很難一下子理解問題的本質(zhì)，難以獲得明晰的物理感覺。因此，我們需要引入新的手段進(jìn)一步進(jìn)行推理、論證和探究，建立直觀的物理圖象和明晰的物理感覺。6DD6FEC0-B619-482D-BE5B-2C629997ED3E

三、新手段論證探究

對(duì)于M下落過程中的速度v1表達(dá)式⑤，如果要探究v1取得極大值時(shí)θ滿足的條件，有兩種方法。

一是導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行定量探究，二是通過作出函數(shù)圖象進(jìn)行直觀探究。

手段1運(yùn)用求導(dǎo)數(shù)方法，探究：“v1取得極大值時(shí)θ滿足的條件”及M與兩側(cè)m是否同時(shí)達(dá)到速度最大？

為便于探討，可以設(shè)v1=2glf（θ），其中f（θ）=Mcosθ+2m（sinθ-1）（M+2mcos2θ）sinθ0<θ≤π2。

對(duì)f（θ）進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)處理，過程比較復(fù)雜。不妨取一個(gè)特別情況M=m=1，則：

f（θ）=cosθ+2（sinθ-1）（1+2cos2θ）sinθ

f′（θ）=

（2cosθ-1）（1+2cos2θ）+4sin2θcosθ[cosθ+2（sinθ-1）]（1+2cos2θ）2sin2θ

當(dāng)f′（θ）=0時(shí)，M下落的速度v1取得極大值。此時(shí)，θ滿足的方程為：

2cosθ+4sin2θcosθ1+2cos2θ[cosθ+2（sinθ-1）]=1

我們來嘗試回答上面的疑問，即：有沒有可能存在這么一種情況，即M向下運(yùn)動(dòng)過程中，速度達(dá)到最大值時(shí)，兩側(cè)m的速度也同時(shí)達(dá)到最大值？

不妨設(shè)v2=2glφ（θ），其中：φ（θ）=f（θ）cos2θ0<θ≤π2。由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則，易知：

φ′（θ）=f′（θ）cos2θ-2f（θ）sinθcosθ

因?yàn)閒（θ）≥0，且0<θ≤π2，故當(dāng)f′（θ）=0時(shí)，φ′（θ）<0。即，在M向下運(yùn)動(dòng)過程中（θ由90°開始逐漸變小），當(dāng)M速度達(dá)到最大值v1max時(shí)，兩側(cè)m的速度仍然在變大。因此，M和兩側(cè)的m并非同時(shí)達(dá)到速度的最大值，因而無法恰好滿足Mg=2Fcosθ=2mgcosθ?？梢姡硇缘耐茖?dǎo)有時(shí)優(yōu)于通常意義下的直觀感覺。

運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)的方法，能探究推理出M下落速度達(dá)到最大時(shí)θ滿足的方程，以及中間的M和兩側(cè)的m并非同時(shí)達(dá)到速度最大的結(jié)論，但仍然不夠直觀。為此，我們需要另外的方法，呈現(xiàn)明晰直觀的物理圖象。

手段2運(yùn)用作圖方法，直觀展示v1θ圖象，并探究：“v1取得極大值時(shí)θ滿足的條件”及M與兩側(cè)m是否同時(shí)達(dá)到速度最大？

利用網(wǎng)頁版desmos作圖工具，可以進(jìn)行作圖。為了方便，我們把式⑤、⑥中的v1和v2歸一化，令v′1=v1gl=2f（θ），v′2=v2gl=2φ（θ），保留M、m作為參量，作出v′1θ和v′2θ的圖象。圖4描繪了m=0.7M（滿足題設(shè)M<2m[1]）時(shí)的圖象。

從圖5可以明顯看出，在θ由90°開始逐漸變小的過程中，M、m的速度皆是先變大再變小，但是二者的最大值v1max和v2max并非同時(shí)出現(xiàn)。而且，v1max先達(dá)到，v2max后達(dá)到，即不存在M速度達(dá)到最大值v1max時(shí)，兩側(cè)m的速度也同時(shí)達(dá)到最大值v2max這種情況，因此，也沒有恰好滿足Mg=2Fcosθ=2mgcosθ。由圖5可以看到，當(dāng)M速度達(dá)到最大值時(shí)，m仍處于加速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)繩中拉力F>mg，從而Mg=2Fcosθ>2mgcosθ。

M、m在分別達(dá)到最大速度后，速度皆逐漸變小，直到M運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)，此時(shí)v1=0，v2=0。此后，M向上運(yùn)動(dòng)直至到達(dá)初始釋放時(shí)的位置，這樣往復(fù)運(yùn)動(dòng)（在不考慮任何運(yùn)動(dòng)損耗的理想情況下）。

圖6展示了m=M時(shí)v′1θ和v′2θ的圖象。此時(shí)，可以看出θ≈67.453°時(shí)，M達(dá)到最大速度v1max≈0.6212gl。而如果認(rèn)為Mg=2mgcosθ時(shí)M達(dá)到最大速度v1max，則對(duì)應(yīng)的cosθ=12，此時(shí)θ=60°，這與θ≈67.453°相比，顯然是不對(duì)的。

運(yùn)用作圖方法，可以直觀展示在θ由90°開始逐漸變小過程中的速度大小變化，也可以直觀地看到，在M和m取不同值時(shí)，M和兩側(cè)的m各自達(dá)到速度最大值時(shí)θ的取值，幫助學(xué)生形成直觀的物理感覺。

四、結(jié)語

本文運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)和數(shù)學(xué)作圖等手段進(jìn)行科學(xué)探究與論證，對(duì)中間物塊下降和兩側(cè)物塊上升過程中的速度問題，進(jìn)行了多角度的深度探究，糾正了改編題中關(guān)于中間物塊下降過程中達(dá)到速度最大條件的錯(cuò)覺，對(duì)中間物塊下降過程中達(dá)到最大速度和兩側(cè)物塊上升過程中達(dá)到最大速度的時(shí)間先后、大小，及與夾角的關(guān)系等問題，形成了理論的堅(jiān)實(shí)認(rèn)知和直觀的物理圖象，形成了明晰的物理感覺。

數(shù)學(xué)能提高和加深學(xué)生的物理感覺。一方面，是超越高中階段物理學(xué)習(xí)正常要求的數(shù)學(xué)推理。雖然在中學(xué)階段，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的深度理論推導(dǎo)（如通過導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究等）要求較低或基本不做要求，但是對(duì)那些未來準(zhǔn)備參加高校“強(qiáng)基計(jì)劃”的學(xué)生，以高階方法作為工具解決物理問題是必要的。特別是，導(dǎo)數(shù)的方法，也是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高水平的學(xué)生應(yīng)該可以熟練掌握和運(yùn)用。

另一方面，對(duì)于數(shù)學(xué)推導(dǎo)出來的復(fù)雜數(shù)學(xué)關(guān)系，運(yùn)用作圖工具來著展現(xiàn)，可使枯燥的科學(xué)推理與論證變得形象、生動(dòng)、易于理解，有利于物理學(xué)科核心素養(yǎng)中科學(xué)思維能力的培養(yǎng)，能幫助學(xué)習(xí)者對(duì)物理問題形成全方位的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生成為對(duì)物理問題有全方位物理感覺的拔尖人才。

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責(zé)任編輯：黃大燦6DD6FEC0-B619-482D-BE5B-2C629997ED3E