金屬互聯(lián)中晶粒結(jié)構(gòu)梯度演化及其對(duì)力、電性能的影響

張恒嘉 ,張曉敏 ,趙志鵬 ,唐洪武

(1.重慶大學(xué) 航空航天學(xué)院,重慶 400044;2.重慶大學(xué) 非均質(zhì)材料力學(xué)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400044)

隨著微電子封裝的集成度不斷提高,電遷移導(dǎo)致的金屬互聯(lián)失效成為集成電路可靠性的主要瓶頸之一[1]。除了眾所周知的質(zhì)量擴(kuò)散極性效應(yīng)外,電遷移作用下晶界(GB)遷移引起的晶粒尺寸演變對(duì)金屬互聯(lián)結(jié)構(gòu)的宏觀性能的潛在影響也越來越受到研究者的關(guān)注。

Albert 等[2]采用X 射線微衍射技術(shù)研究了電遷移作用下錫的微觀結(jié)構(gòu)演變,發(fā)現(xiàn)在恒定電流密度作用下晶界的定向遷移行為導(dǎo)致陽極側(cè)晶粒處于壓縮狀態(tài),陰極側(cè)晶粒則處于拉伸狀態(tài)。之后Liang 等[3]用相場(chǎng)法模擬了這一現(xiàn)象,指出晶界的遷移速度與電流密度呈正相關(guān),晶粒的生長行為是由其電各向異性決定的。而對(duì)于銅等電各向同性材料,恒定的電流密度對(duì)其晶粒尺寸無明顯影響[4-5]。與此同時(shí),一些研究表明在諸如焊點(diǎn)和鍵合線等結(jié)構(gòu)中存在晶粒的不均勻生長行為。如:在Sn-Cu 焊點(diǎn)中,電流在流入和流出Sn 層均存在明顯的電流擁擠現(xiàn)象,Cheng 等[6]發(fā)現(xiàn)在陽極側(cè)附近的Sn 晶粒相比于陰極側(cè)的更細(xì)小。Galand等[7]發(fā)現(xiàn),在恒定溫度下,銅互連結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的微孔周圍存在更高的電流密度,且該區(qū)域的銅晶粒更小。此外,Wang 等[8-9]和Guo 等[10]通過對(duì)比銀合金鍵合線在電遷移作用下的正負(fù)極形貌還發(fā)現(xiàn),在靠近負(fù)極的區(qū)域形成了更多的大晶粒,表明較大晶粒尺寸不利于提高合金線電阻。而在鍵合線的“頸部”同樣存在電流密度的集中效應(yīng)。因此,電遷移作用下晶粒尺寸的梯度分布和電流密度的不均勻性密切相關(guān)。材料的力學(xué)和電學(xué)性能對(duì)晶粒尺寸十分敏感,因此晶粒尺寸的梯度化現(xiàn)象對(duì)材料性能的潛在影響有待進(jìn)一步研究。

針對(duì)大電流密度下的晶粒結(jié)構(gòu)的梯度化的影響,本文從微觀層面出發(fā),通過一套考慮了電遷移效應(yīng)的相場(chǎng)模型闡明金屬互聯(lián)中晶粒尺寸的梯度化路徑。而在宏觀層面上,定量表征了晶粒尺寸梯度對(duì)材料的力學(xué)和電學(xué)性能的影響。

1 相場(chǎng)模型

典型的相場(chǎng)模型以系統(tǒng)總自由能泛函的表達(dá)式開始,它被定義為體域上v的一個(gè)積分。為了描述電遷移對(duì)晶界遷移行為影響,在相場(chǎng)自由能泛函中考慮了靜電自由能密度項(xiàng)fem:

式中:k為梯度能系數(shù);f0(η1,η2,…,ηp)為包含序參數(shù)ηi的體自由能密度,可以表示為:

式中:Ai(i=1,2,3)為相場(chǎng)參數(shù);p為晶粒數(shù)目;ηi在晶粒i中被設(shè)置為1,在其他晶粒中為0。

靜電自由能密度fem可以表示為[11]:

其中,Na,e,Z,Ψ(ηi)和Vm分別為阿伏伽德羅常數(shù)、電子電荷、有效電荷數(shù)、電勢(shì)和摩爾體積。電勢(shì)和電流密度J滿足:

其中,τ為電導(dǎo)率。

非保守場(chǎng)變量ηi的演化能夠通過Ginzburg-Landau(G-L)方程來描述:

式中,L為晶界遷移率。其取值僅僅影響晶界遷移行為的時(shí)間尺度,而不影響晶界遷移的機(jī)制,因此為了方便,隨后計(jì)算結(jié)果中的時(shí)間是一個(gè)加速的度量。

2 計(jì)算模型和邊界條件

本文使用的計(jì)算模型如圖1 所示,初始的均勻結(jié)構(gòu)由邊長為2 μm 的正六邊形晶粒組成,平均晶粒尺寸D(t)=2[A(t)/π]1/2近似計(jì)算為3.6 μm,A(t)表示在t時(shí)刻的平均晶粒面積。假設(shè)電流密度沿x軸分為n段,呈梯度分布。本文所計(jì)算目標(biāo)選取銅,其物性參數(shù)為表1 所示。

圖1 計(jì)算模型示意圖Fig.1 Schematic of calculation models

表1 銅的物性參數(shù)[12]Tab.1 Physical parameters of Cu[12]

3 模擬結(jié)果與討論

3.1 電流密度梯度的效應(yīng)

首先,將電流密度分為3 段來分析電流密度梯度對(duì)晶粒尺寸演化的影響。如圖2 所示,保持J1=J3=2.0×108A/m2,通過設(shè)置J2分別為2.0×108,3.0×108和4.0×108A/m2來調(diào)節(jié)電流密度梯度的大小。

圖2 在電流密度梯度作用下t=150 s 時(shí)的晶粒相圖Fig.2 Phase diagram of grain evolution att=150 s under current density gradients

電遷移作用下的晶界遷移方向與材料的有效電荷數(shù)相關(guān),由圖2(a)、(b)和(c)所示在t=150 s 時(shí)不同電流密度梯度作用下的晶粒演化相圖可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于銅而言,晶界存在向陰極側(cè)的定向遷移行為。已有實(shí)驗(yàn)證明當(dāng)施加恒定的電流密度時(shí),銅晶粒的尺寸無明顯變化[4],對(duì)應(yīng)圖2(a)的模擬結(jié)果。而當(dāng)存在電流密度梯度時(shí),晶粒尺寸發(fā)生了明顯變化。在電流密度增大和減小的區(qū)域,如圖2 中紅色框和藍(lán)色框所示,分別發(fā)生了明顯的晶粒長大和細(xì)化現(xiàn)象?？梢酝茰y(cè)隨著電遷移的不斷進(jìn)行,靠近陰極側(cè)的晶粒尺寸會(huì)更細(xì)小。Liang 等[3]的模擬結(jié)果表明,晶界遷移的速度和電流密度的大小呈正相關(guān)。因此,當(dāng)晶界向電流密度更高和更低的區(qū)域遷移時(shí),晶界遷移的速度也會(huì)成比例變化。最終,在電流密度變化的區(qū)域會(huì)發(fā)生晶界的疏散或堆積效果,從而導(dǎo)致晶粒的不均勻生長行為,這就是電流密度梯度的效應(yīng)。

3.2 晶粒尺寸的梯度化

在明確了電流密度梯度效應(yīng)對(duì)晶粒尺寸演化的影響后,進(jìn)一步擴(kuò)大梯度效應(yīng)的區(qū)域,晶粒尺寸的梯度化也更明顯。如圖3 所示,增加電流密度的梯度段可以得到一個(gè)晶粒尺寸沿x軸呈梯度化分布的結(jié)構(gòu)。

在電流密度整體增大的區(qū)域,晶粒隨著電遷移的進(jìn)行發(fā)生了明顯粗化,如圖3 中紅色虛線框內(nèi)演化相圖所示;而在電流密度減小的區(qū)域,晶粒則被不斷細(xì)化,如圖3 中藍(lán)色虛線框內(nèi)演化相圖所示。此外,將藍(lán)色虛線框內(nèi)區(qū)域定義為細(xì)晶層,并計(jì)算了該區(qū)域晶粒度隨時(shí)間的演化如圖4 所示。細(xì)晶層的晶粒數(shù)目隨著時(shí)間增加而不斷增加,直到約t=350 s 時(shí)晶粒的數(shù)目達(dá)到了飽和的狀態(tài)。也就是說,在電流密度梯度作用下,隨著電遷移的不斷進(jìn)行,受梯度影響的區(qū)域的晶粒尺寸會(huì)逐漸梯度化并最終趨于穩(wěn)定。

圖3 在多段電流密度梯度作用下t=100 s,t=250 s和t=350 s 時(shí)刻的晶粒尺寸梯度結(jié)構(gòu)相圖Fig.3 Grain size gradient structure phase diagram att=100 s,t=250 s andt=350 s under the action of multi-stage current density gradients

圖4 細(xì)晶層的晶粒數(shù)目隨時(shí)間的演化Fig.4 Grain number evolution of fine-grained layer with time

為了定量分析電流密度梯度作用下的晶粒尺寸梯度化的機(jī)制,本文對(duì)晶界遷移的驅(qū)動(dòng)力進(jìn)行了表征。從圖3所示的晶粒尺寸梯度化的過程可以發(fā)現(xiàn),晶界在遷移過程中發(fā)生了彎曲,這也更接近實(shí)際的情形。一般而言,晶界能夠以曲率驅(qū)動(dòng)的方式向曲率中心自發(fā)遷移。因此,當(dāng)前模型涉及曲率驅(qū)動(dòng)力F0和電遷移驅(qū)動(dòng)力Fem兩部分,通過計(jì)算晶界兩側(cè)的化學(xué)勢(shì)的差,可以表示為:

式中,ηi×ηj>0 代表晶界區(qū)域[13]。選取圖3 中的兩條晶界GB1 和GB2 作為代表,給出了兩部分驅(qū)動(dòng)力隨時(shí)間的演化如圖5 所示。

圖5 驅(qū)動(dòng)力隨時(shí)間的演化。(a)電遷移驅(qū)動(dòng)力(J1=2.2×108 A/m2,J2=4.8×108 A/m2,J3=4.5×108 A/m2,J4=2.0×108 A/m2);(b)曲率驅(qū)動(dòng)力Fig.5 Evolution of the driving forces result from(a) electromigration (J1=2.2×108 A/m2,J2=4.8×108 A/m2,J3=4.5×108 A/m2,J4=2.0×108 A/m2) and (b) curvature of GB1 and GB2 shown in Fig.3

顯然,圖5(a)所示的電遷移驅(qū)動(dòng)力的轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)應(yīng)晶界所處區(qū)域的電流密度發(fā)生變化的時(shí)刻,電遷移驅(qū)動(dòng)力變化的幅度決定了晶粒尺寸的跨度。而曲率驅(qū)動(dòng)力的大小與晶界曲率相關(guān),因此,圖5(b)所示曲率驅(qū)動(dòng)力隨著晶界的形態(tài)變化略有震蕩,其數(shù)值的正負(fù)分別表示與電遷移驅(qū)動(dòng)力的方向相同和相反。相比之下,曲率驅(qū)動(dòng)力比電遷移驅(qū)動(dòng)力小1～2 個(gè)數(shù)量級(jí),因此整個(gè)過程中電遷移的效應(yīng)仍為主導(dǎo)。

4 梯度結(jié)構(gòu)的力學(xué)和電學(xué)性能的評(píng)估

4.1 梯度結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能評(píng)估

針對(duì)上一節(jié)得到的梯度結(jié)構(gòu),通過一套基于位錯(cuò)密度的本構(gòu)方程對(duì)其力學(xué)性能進(jìn)行了必要的評(píng)估。對(duì)于圖6 所示的簡單拉伸模型,Voigt 混合法則[14]常被用來描述梯度材料整體的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)。細(xì)晶層和粗晶層被視為獨(dú)立的兩層,假設(shè)在單軸拉伸載荷下材料各個(gè)深度應(yīng)變相同。梯度結(jié)構(gòu)的總體拉伸應(yīng)力表示為:

圖6 梯度微結(jié)構(gòu)的拉伸示意圖Fig.6 Sketch of the gradient microstructure

式中:σxx1和σxx2分別為細(xì)晶層和粗晶層的應(yīng)力;h1和h2代表對(duì)應(yīng)層的厚度,分別為12 μm 和35 μm。細(xì)晶層和粗晶層的平均晶粒尺寸計(jì)算為:d1=1.9 μm,d2=5 μm。

金屬的變形機(jī)制與晶粒尺寸有關(guān)。對(duì)于粗晶(d>1 μm)和超細(xì)晶(100 nm

式中,前兩項(xiàng)表示彈性部分,μ和K分別為剪切模量和體積模量。第三項(xiàng)表示塑性部分,σe=(3sijsij/2)1/2和εe=(2εijεij/2)1/2分別表示等效應(yīng)力和等效應(yīng)變;sij=σij-σkkδij/3 為偏應(yīng)力;m、M、α、b和ρ分別為速率敏感常數(shù)、泰勒因子、泰勒常數(shù)、Burgers 向量的模和位錯(cuò)密度;σ0為晶格摩擦力;σGB=kHP/d1/2為晶界對(duì)流動(dòng)應(yīng)力的貢獻(xiàn),其中kHP和d為霍爾佩奇常數(shù)和晶粒尺寸;σb=MμbN/d為晶界處位錯(cuò)積累引起的背應(yīng)力,其中N為晶界處累積的位錯(cuò)數(shù),其隨塑性應(yīng)變?chǔ)舙的演化規(guī)律如下:

式中,ω和N?分別為滑移帶間的平均間距和晶界堆積位錯(cuò)的最大數(shù)目。

位錯(cuò)密度隨塑性應(yīng)變的演化表示為:

式中:k=k3/ bd();;ke=(de/d)2。k20、和n0為材料參數(shù);k3和ζ分別為與晶粒形狀和位錯(cuò)相關(guān)的比例因子和幾何因子;de表示發(fā)生增強(qiáng)動(dòng)態(tài)恢復(fù)的臨界粒徑。模擬中使用的銅材料參數(shù)如表2 所示。

表2 銅的材料參數(shù)[15]Tab.2 Material parameters of Cu[15]

首先,通過對(duì)比平均晶粒尺寸為25 μm 和500 nm的實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了模型的適用性,進(jìn)一步計(jì)算梯度結(jié)構(gòu)的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)如圖7(a)所示。顯然,梯度結(jié)構(gòu)的拉伸響應(yīng)介于大晶粒尺寸和小晶粒尺寸之間。由如圖7(b)所示的屈服應(yīng)力和均勻伸長率的強(qiáng)度-延性圖可以看出,屈服應(yīng)力隨著晶粒尺寸的增大而減小,同時(shí)應(yīng)變硬化能力隨之增加。當(dāng)前模擬獲得的梯度結(jié)構(gòu)晶粒尺寸的跨度有限,通過調(diào)整細(xì)晶層的晶粒尺寸,本文計(jì)算了一個(gè)參考的梯度結(jié)構(gòu)(d1=500 nm,d2=5 μm)。由圖7(b)可發(fā)現(xiàn),和晶粒尺寸為1.9 μm 的均勻結(jié)構(gòu)相比,梯度結(jié)構(gòu)可以達(dá)到近乎相同的屈服強(qiáng)度,且表現(xiàn)出更好的韌性。因此,具備晶粒尺寸梯度的結(jié)構(gòu)可以克服強(qiáng)度和韌性之間的折中。

圖7 (a)梯度結(jié)構(gòu)和均勻晶粒結(jié)構(gòu)的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng);(b)梯度結(jié)構(gòu)和均勻晶粒結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度-塑性圖Fig.7 (a) Comparison of stress-strain response between gradient structure and uniform grain structure;(b) Strengthductility map of gradient structure and uniform grain structure

顯然,梯度材料的力學(xué)性能對(duì)晶粒尺寸的分布很敏感,也就是說,晶粒尺寸跨度和梯度層比例是最直接的控制參數(shù)。分別通過調(diào)整細(xì)晶層和粗晶層的晶粒尺寸以及細(xì)晶層的體積分?jǐn)?shù):d1、d2和f,表征了梯度材料的屈服強(qiáng)度和均勻延伸率,如圖8 所示?？梢钥闯?屈服強(qiáng)度和均勻延伸率分別隨細(xì)晶層體積分?jǐn)?shù)的增加近似線性地增加和減小,曲線斜率隨d1減小或d2增大而增大。由此可以推斷,細(xì)化的晶?？梢蕴岣呓Y(jié)構(gòu)的強(qiáng)度,而粗晶層主要貢獻(xiàn)于應(yīng)變硬化能力和由此產(chǎn)生的延性。此外,還發(fā)現(xiàn)存在晶粒尺寸跨度和梯度層比的最優(yōu)組合,從而產(chǎn)生強(qiáng)度和延性之間的最佳協(xié)同效應(yīng)。例如,對(duì)于圖8 中的構(gòu)型(1),(3)和(4),在獲得相同的延伸率(27%)(紅點(diǎn))的同時(shí),構(gòu)型(3)表現(xiàn)出比其他構(gòu)型更大的屈服強(qiáng)度(藍(lán)點(diǎn))。因此,基于物理機(jī)理建模的方法還可為指導(dǎo)梯度材料的微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以及提高金屬互聯(lián)結(jié)構(gòu)的可靠性提供理論指導(dǎo)。

圖8 屈服強(qiáng)度和均勻延伸率隨細(xì)晶層體積分?jǐn)?shù)的演化(f=h1/(h1+h2))Fig.8 Evolution of yield stress and uniform elongation with volume friction of fine-grained layer (f=h1/(h1+h2))

4.2 梯度結(jié)構(gòu)的電學(xué)性能評(píng)估

晶粒尺寸對(duì)于金屬材料的導(dǎo)電性同樣有顯著影響,通過晶粒細(xì)化得到的納米銅強(qiáng)度相比于粗晶銅提高了約9 倍,但其電導(dǎo)率的損失高達(dá)90%[17]。依據(jù)Matthiessen 準(zhǔn)則[18],銅的電阻率可以表示為:

式中,第一項(xiàng)表示理想無缺陷銅的電阻率,第二項(xiàng)和第三項(xiàng)分別表示晶界和位錯(cuò)相關(guān)的影響。SGB表示單位體積的晶界面積。γ0、γGB和γdis的值由相關(guān)報(bào)道可獲得[18-19],分別為:1.68×10-8Ω·m,2.04×10-16Ω·m2和2.3×10-25Ω·m3。

首先,采取式(12)分別計(jì)算了晶粒尺寸為100 μm和430 nm 的電阻率分別為:1.681×10-8和2.150×10-8Ω·m,相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)值分別為1.690×10-8Ω·m 和2.180×10-8Ω·m[18,20]。通過對(duì)比,認(rèn)為該模型對(duì)于當(dāng)前晶粒結(jié)構(gòu)電阻率的評(píng)估是適用的。

假設(shè)材料不發(fā)生塑性變形,分別表征了粗晶層、細(xì)晶層和梯度結(jié)構(gòu)的電阻率如圖9 所示。計(jì)算結(jié)果表明,隨著晶粒細(xì)化,晶界密度增大,電阻率提高。由于粗晶層表現(xiàn)出較低的電阻率,使得當(dāng)前梯度結(jié)構(gòu)整體的導(dǎo)電性能提高。在t=350 s 時(shí),穩(wěn)定梯度結(jié)構(gòu)的電阻率比原始均勻結(jié)構(gòu)降低了0.06%。

圖9 梯度結(jié)構(gòu)的電阻率隨時(shí)間的演化Fig.9 The evolution of resistivity with time of gradient structure

有研究表明[21],對(duì)于發(fā)生塑性變形的銅,其位錯(cuò)密度一般低于7×1014m-2,其相應(yīng)貢獻(xiàn)的電阻率為1.6×10-10Ω·m,遠(yuǎn)低于無缺陷銅的固有應(yīng)變率。因此,當(dāng)晶粒不斷細(xì)化,其導(dǎo)電性的損失主要?dú)w因于晶界密度的大幅提高,這一行為可能誘發(fā)金屬互聯(lián)電氣性能的失效。

5 結(jié)論

本文采用相場(chǎng)法模擬了電流密度梯度作用下的晶粒尺寸梯度化路徑,并對(duì)梯度結(jié)構(gòu)的力學(xué)和電學(xué)性能做出了評(píng)估,得出以下結(jié)論:

(1)電流密度梯度的存在是金屬互聯(lián)中晶粒尺寸梯度化的主要誘因;

(2)梯度結(jié)構(gòu)通過部分細(xì)化的晶粒得到強(qiáng)化,而粗晶層則主要為必要的延展性以及防止電氣性能失效提供保障;

(3)晶粒尺寸的跨度和梯度層的體積分?jǐn)?shù)存在一個(gè)最優(yōu)比例,使得梯度結(jié)構(gòu)在不損失延性的同時(shí)提高材料的強(qiáng)度。