加權(quán)馬爾可夫鏈階數(shù)對(duì)湖北省年降雨量預(yù)測(cè)精度的影響研究

周安琪1 高 松2 喻 丹34

(1.湖北千里目檢測(cè)技術(shù)有限公司，湖北 宜昌 443002；2.宜昌市環(huán)境保護(hù)監(jiān)測(cè)站，湖北 宜昌 443002；3.三峽大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，湖北 宜昌 443002；4.水資源安全保障湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 4300742)

降雨作為一個(gè)區(qū)域主要的水資源補(bǔ)給，是目前水文和氣象研究中非常重要的一個(gè)關(guān)注項(xiàng)。降雨量的預(yù)測(cè)能夠?yàn)檗r(nóng)業(yè)、氣象和水利等多個(gè)部門的決策制定提供重要的數(shù)據(jù)支持和科學(xué)依據(jù)[1-3]。由于降雨量的多少受到多種氣象因素的綜合影響，表現(xiàn)出較強(qiáng)的隨機(jī)性[3]，因此很難利用準(zhǔn)確的數(shù)值計(jì)算方法得到某一時(shí)段內(nèi)的降雨量的值。長(zhǎng)期以來(lái)，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者針對(duì)降雨量的預(yù)測(cè)方法開(kāi)展了大量的研究，主要形成了兩大類方法：一類是概率統(tǒng)計(jì)的方法，如一元線性回歸預(yù)測(cè)、馬爾可夫鏈模型、時(shí)間序列預(yù)測(cè)等；另一類是時(shí)間序列方法，如自回歸預(yù)測(cè)，非線性門限自回歸、滑動(dòng)平均自回歸模型等[4-7]。其中，馬爾可夫鏈模型因其原理簡(jiǎn)單、計(jì)算方法簡(jiǎn)便，且對(duì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)波動(dòng)規(guī)律具有一定的適應(yīng)性，被廣泛應(yīng)用于降雨量的預(yù)測(cè)研究中[3-4,8-9]。

馬爾可夫過(guò)程是研究隨機(jī)過(guò)程中事物狀態(tài)以及狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移規(guī)律的理論，基本原理是結(jié)合事物當(dāng)前的狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率來(lái)預(yù)測(cè)事物將來(lái)的變化趨勢(shì)。馬爾可夫過(guò)程最基本的特征是“無(wú)后效性”(也稱之為“馬氏性”)，即認(rèn)為事物將來(lái)的狀態(tài)只取決于事物當(dāng)前的狀態(tài)，而與過(guò)去的狀態(tài)無(wú)關(guān)。馬爾可夫鏈?zhǔn)菭顟B(tài)和時(shí)間都離散的一種特殊的馬爾可夫過(guò)程，水文要素如降雨、徑流的狀態(tài)序列屬于典型的馬爾可夫鏈，同樣也具有“無(wú)后效性”的特征。加權(quán)馬爾可夫鏈?zhǔn)窃趥鹘y(tǒng)馬爾可夫鏈的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的，其基本思想是，對(duì)于一列相依的隨機(jī)變量，各階自相關(guān)系數(shù)刻畫(huà)了各種滯時(shí)的指標(biāo)值的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，因此可考慮先分別依其前面若干年的指標(biāo)值所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)對(duì)該時(shí)段的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，然后按前面各時(shí)段與該時(shí)段相依關(guān)系的強(qiáng)弱對(duì)絕對(duì)轉(zhuǎn)移概率加權(quán)求和。即通過(guò)各階馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率與相依隨機(jī)變量的相關(guān)分析，達(dá)到充分、合理地利用信息進(jìn)行預(yù)測(cè)的目的[9-10]。

目前，關(guān)于加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)降雨量的研究大多集中在方法的應(yīng)用上，然而在利用加權(quán)馬爾可夫鏈時(shí)，階數(shù)的選擇會(huì)影響各種滯時(shí)指標(biāo)值的權(quán)重，從而影響最終的預(yù)測(cè)結(jié)果，現(xiàn)有的研究缺少對(duì)不同階數(shù)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)結(jié)果的對(duì)比分析。因此，本文以湖北省為研究區(qū)，根據(jù)中國(guó)國(guó)家氣象局(China Meteorological Administration，CMA)[11]提供的氣象站點(diǎn)逐日降雨數(shù)據(jù)，利用不同階數(shù)的加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)年降雨?duì)顟B(tài)，再結(jié)合模糊集理論預(yù)測(cè)對(duì)應(yīng)狀態(tài)下的年降雨量的值，通過(guò)對(duì)比研究分析加權(quán)馬爾可夫的階數(shù)對(duì)年降雨量預(yù)測(cè)精度的影響。

1 年降雨量預(yù)測(cè)方法

1.1 加權(quán)馬爾可夫鏈

加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)年降雨量狀態(tài)的一般步驟如下：

a.采用均值-均方差分級(jí)法對(duì)年降雨序列進(jìn)行分級(jí)，計(jì)算年降雨序列的樣本均值s，據(jù)此建立分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，將歷年降雨量劃分為特旱、干旱、平水、偏豐和豐水共5個(gè)狀態(tài)。

b.對(duì)上一步得到的狀態(tài)序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，得到不同滯時(shí)(階數(shù))馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣，這些矩陣決定了降雨量狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程的概率法則。

c.進(jìn)行“馬氏性”檢驗(yàn)。

d.計(jì)算年降雨序列的各階自相關(guān)系數(shù)rk，計(jì)算公式為

(1)

e.對(duì)各階自相關(guān)系數(shù)進(jìn)行規(guī)范化處理，作為各滯時(shí)(階數(shù))的馬爾可夫鏈的權(quán)重wk，即

(2)

式中：m為最大的階數(shù)。

(3)

則矩陣Pi中最大概率值所隸屬的狀態(tài)即為預(yù)測(cè)期的預(yù)測(cè)降雨量狀態(tài)。

1.2 模糊集理論

馬爾可夫鏈采用最大概率隸屬原則來(lái)確定預(yù)測(cè)對(duì)象的狀態(tài)，主要存在兩個(gè)方面的不足：?只考慮最大概率，忽略了其他概率的影響；?預(yù)測(cè)結(jié)果只能給出預(yù)測(cè)對(duì)象所屬的區(qū)間，而無(wú)法確定具體的預(yù)測(cè)值[9]。因此，吳林川等[3]、張偉[4]、王艷[10]等學(xué)者通過(guò)引入模糊集理論中的級(jí)別特征值來(lái)解決以上兩個(gè)問(wèn)題。模糊集理論用于年降雨量預(yù)測(cè)的基本步驟如下：

a.首先根據(jù)預(yù)測(cè)年份降雨量的5個(gè)狀態(tài)概率Pi矩陣，計(jì)算各狀態(tài)的模糊數(shù)di：

(4)

式中：η為最大概率作用指數(shù)，值越大越能突出最大概率的主導(dǎo)性，一般取值為2或4。

b.計(jì)算級(jí)別特征值H：

(5)

c.降雨量的預(yù)測(cè)x值為

(6)

式中：i為預(yù)測(cè)Pi最大概率對(duì)應(yīng)的狀態(tài)；Ti和Bi分別為該狀態(tài)的上、下限。

2 實(shí)例研究

2.1 研究區(qū)概況

本文以湖北省為研究區(qū)，見(jiàn)圖 1。湖北省位于我國(guó)內(nèi)陸腹地長(zhǎng)江中游地區(qū)，總面積18.59萬(wàn)km2。湖北省處于我國(guó)地勢(shì)第二級(jí)階梯向第三級(jí)階梯過(guò)渡地帶，地勢(shì)西高東低，地貌類型多樣，山地、丘陵崗地和平原兼?zhèn)?，分別占總面積的56%、24%和20%。湖北省地處亞熱帶，位于典型的季風(fēng)區(qū)內(nèi)，全省除高山地區(qū)外，大部分為亞熱帶季風(fēng)性濕潤(rùn)氣候，年平均氣溫為15～17℃。年平均降雨量在800～1600mm之間，降雨空間分布呈由南向北遞減的趨勢(shì)，降雨量表現(xiàn)出明顯的年內(nèi)季節(jié)性變化，一般夏季雨量較多，約為300～700mm，冬季雨量較少，約為30～190mm。本研究的日降雨數(shù)據(jù)來(lái)自中國(guó)氣象數(shù)據(jù)網(wǎng)，研究區(qū)共包含27個(gè)氣象站點(diǎn)，由此得到1971—2018年各站的年降雨序列。

圖1 研究區(qū)湖北省概況

2.2 單站點(diǎn)年降雨量預(yù)測(cè)結(jié)果

表1 氣象站點(diǎn)57251實(shí)測(cè)年降雨量

表2 氣象站點(diǎn)57251年降雨?duì)顟B(tài)劃分標(biāo)準(zhǔn)

再統(tǒng)計(jì)該站點(diǎn)1～5階的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，分別表示為P(1)、P(2)、P(3)、P(4)和P(5)：

(7)

該氣象站點(diǎn)年降雨量序列的1～5滯時(shí)的自相關(guān)系數(shù)為rk=[0.12,-0.08,0.04,-0.15,-0.07]，根據(jù)式(2)計(jì)算得到1～5滯時(shí)的馬爾可夫鏈權(quán)重，見(jiàn)表3。

表3 氣象站點(diǎn)57251年降雨序列1～5滯時(shí)的馬爾可夫權(quán)重

根據(jù)式(3)可得不同階數(shù)的加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)的2018年降雨量狀態(tài)概率矩陣，見(jiàn)表4。由表4可以看出，對(duì)于氣象站點(diǎn)57251，不同階數(shù)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)的2018年降雨量均是在狀態(tài)3(平水)的概率最大，說(shuō)明對(duì)于該氣象站點(diǎn)而言，階數(shù)對(duì)加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)的年降雨?duì)顟B(tài)影響不大。

表4 氣象站點(diǎn)57251不同階數(shù)加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)2018年降雨量的狀態(tài)概率結(jié)果

結(jié)合表4中的結(jié)果和式(4)～式(6)，可得預(yù)測(cè)的2018年降雨量的具體值，見(jiàn)表5。雖然不同階數(shù)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)的年降雨量狀態(tài)相同，但經(jīng)模糊集理論預(yù)測(cè)出的年降雨量的值是不同的，這說(shuō)明除了最大概率占主導(dǎo)地位之外，其他狀態(tài)概率對(duì)年降雨量值預(yù)測(cè)的影響也不容忽視。根據(jù)表5中的誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，隨著加權(quán)馬爾可夫鏈階數(shù)的增加，預(yù)測(cè)的年降雨量的相對(duì)誤差也逐漸增大。

表5 氣象站點(diǎn)57251基于模糊集理論預(yù)測(cè)的2018年降水量值

2.3 加權(quán)馬爾可夫階數(shù)對(duì)站點(diǎn)年降雨量預(yù)測(cè)精度的影響

對(duì)研究區(qū)內(nèi)27個(gè)氣象站點(diǎn)均采用上述的多階數(shù)加權(quán)馬爾可夫鏈結(jié)合模糊集理論方法進(jìn)行降雨量預(yù)測(cè)。首先統(tǒng)計(jì)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)的2018年降雨量狀態(tài)結(jié)果，同時(shí)與2018年實(shí)測(cè)年降雨量狀態(tài)進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)圖2。由圖2(a)可以看出，當(dāng)采用一階加權(quán)馬爾可夫鏈(即傳統(tǒng)馬爾可夫鏈)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，部分氣象站點(diǎn)預(yù)測(cè)的年降雨量狀態(tài)不唯一，給最終降雨量的數(shù)值預(yù)測(cè)帶來(lái)了一定的難度。由圖2(b)可以看出，二至五階的加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)的各站點(diǎn)年降雨量狀態(tài)結(jié)果相同且具有唯一性，能夠有效避免一階預(yù)測(cè)中出現(xiàn)的預(yù)測(cè)狀態(tài)不唯一的問(wèn)題。若降雨量的預(yù)測(cè)狀態(tài)和實(shí)測(cè)狀態(tài)完全吻合，則計(jì)為1；若降雨量預(yù)測(cè)的多個(gè)狀態(tài)之一與實(shí)測(cè)狀態(tài)吻合，則計(jì)為1/預(yù)測(cè)狀態(tài)個(gè)數(shù)；若降雨量預(yù)測(cè)的狀態(tài)全都不與實(shí)測(cè)狀態(tài)吻合，則計(jì)為0。統(tǒng)計(jì)27個(gè)氣象站點(diǎn)年降雨量狀態(tài)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確程度，計(jì)算可得一階加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確率為38.70%，二至五階預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確率為48.15%。由此可得，多階馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)年降雨量狀態(tài)的準(zhǔn)確性要明顯高于一階，這也充分說(shuō)明了多階馬爾可夫鏈能夠有效利用年降雨序列的自相關(guān)性，從而提高預(yù)測(cè)精度。

圖2 不同階數(shù)的加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)2018年降雨量狀態(tài)結(jié)果

由于一階預(yù)測(cè)的降雨量狀態(tài)不唯一，無(wú)法根據(jù)模糊集理論確定具體的降雨量值。因此，只統(tǒng)計(jì)研究區(qū)27個(gè)氣象站點(diǎn)多階數(shù)情況下模糊集理論預(yù)測(cè)的年降雨量數(shù)值的相對(duì)誤差，箱線圖結(jié)果見(jiàn)圖3。由圖3可以看出，二階、三階和四階預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差比較接近，約在-30%～40%之間；當(dāng)階數(shù)為五階時(shí)，年降水量預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差最小，除個(gè)別極大極小值之外，其余氣象站點(diǎn)預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差在-10%～25%之間，根據(jù)箱線圖的上下四分位數(shù)可以看出有超過(guò)一半的氣象站點(diǎn)降雨量相對(duì)誤差在0～20%之間。因此，從研究區(qū)所有氣象站點(diǎn)綜合來(lái)看，五階加權(quán)馬爾可夫鏈能夠保證更多的氣象站點(diǎn)預(yù)測(cè)的降雨量結(jié)果精度較高。這說(shuō)明隨著馬爾可夫階數(shù)的增加，降雨序列各種滯時(shí)狀態(tài)間的相關(guān)關(guān)系(即rk和wk)以及前面若干年份降雨量狀態(tài)對(duì)目標(biāo)年份降雨量狀態(tài)的影響被充分、合理地利用，有助于提高降雨量的預(yù)測(cè)精度。然而，根據(jù)單站點(diǎn)57251的預(yù)測(cè)結(jié)果(見(jiàn)表5)來(lái)看，隨著馬爾可夫階數(shù)的增加，該站點(diǎn)的預(yù)測(cè)精度卻逐漸降低，這說(shuō)明馬爾可夫的階數(shù)并不是影響降雨量預(yù)測(cè)精度的唯一因素。

圖3 不同階數(shù)下研究區(qū)氣象站點(diǎn)預(yù)測(cè)年降雨量相對(duì)誤差箱線圖

2.4 加權(quán)馬爾可夫階數(shù)對(duì)空間降雨量預(yù)測(cè)精度的影響

采用克里金(Kriging)方法將不同階數(shù)預(yù)測(cè)情況下27個(gè)氣象站點(diǎn)的年降雨量插值到研究區(qū)空間上，并與2018年站點(diǎn)實(shí)測(cè)降雨量的克里金插值結(jié)果進(jìn)行比較，根據(jù)式(8)計(jì)算空間年降雨量相對(duì)誤差，相對(duì)誤差空間分布見(jiàn)圖4。由圖4可以看出，整體上年降雨量高估的區(qū)域比低估的區(qū)域普遍要大，且高估的程度也比低估的程度要大。不同階數(shù)預(yù)測(cè)的年降雨量相對(duì)誤差呈現(xiàn)出明顯的空間分布趨勢(shì)，年降雨量的預(yù)測(cè)值在研究區(qū)東部和東北部比實(shí)測(cè)值要高，而在南部和西南部比實(shí)測(cè)值要低。在年降雨量的空間表達(dá)上，二至四階預(yù)測(cè)的空間年降雨量都出現(xiàn)了較大區(qū)域的過(guò)高和過(guò)低估計(jì)，五階預(yù)測(cè)的年降雨量空間分布與實(shí)測(cè)情況之間的誤差最小。

(8)

式中：Psim為預(yù)測(cè)的降雨量，mm；Pobs為實(shí)測(cè)的降雨量，mm；e為相對(duì)誤差，%。

圖4 不同階數(shù)預(yù)測(cè)年降雨量空間差值的相對(duì)誤差

為了研究年降雨量空間預(yù)測(cè)相對(duì)誤差的影響因素，從氣象和地形兩個(gè)方面考慮，分別選擇了多年平均降雨量和高程作為影響因子。由于預(yù)測(cè)的年降雨量相對(duì)誤差有正有負(fù)，故分為負(fù)相對(duì)誤差和正相對(duì)誤差兩種情況，繪制各階數(shù)預(yù)測(cè)的年降雨量空間相對(duì)誤差與多年平均降雨量、DEM的散點(diǎn)關(guān)系圖，見(jiàn)圖5，同時(shí)統(tǒng)計(jì)空間相關(guān)系數(shù)，見(jiàn)表6。由圖5、表6可以看出，除二階預(yù)測(cè)的正相對(duì)誤差與多年平均降雨量之間的相關(guān)性沒(méi)有通過(guò)顯著性檢驗(yàn)之外，不論是各階數(shù)預(yù)測(cè)的負(fù)相對(duì)誤差還是正相對(duì)誤差，都與研究區(qū)多年平均降雨量呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)范圍在-0.83～-0.21。多年平均降雨量的大或小表征著區(qū)域所處位置降水的豐或枯。由此可以推斷，區(qū)域自身降水的豐或枯對(duì)多階加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)結(jié)果偏離實(shí)測(cè)值的影響是不一致的，表現(xiàn)為多年平均降雨量越大，負(fù)相對(duì)誤差的數(shù)值越小、越偏離0，說(shuō)明過(guò)低估計(jì)的程度越大、預(yù)測(cè)精度越差，而此時(shí)正相對(duì)誤差的數(shù)值越小、越接近0，說(shuō)明過(guò)高估計(jì)的程度越小、預(yù)測(cè)精度越好。綜合來(lái)看，研究區(qū)過(guò)高估計(jì)區(qū)域以及程度都比過(guò)低估計(jì)的要大，從空間整體的預(yù)測(cè)精度來(lái)說(shuō)，在多年平均降雨量較大(即降水充沛)的區(qū)域進(jìn)行空間降雨量的預(yù)測(cè)能夠獲得更高的預(yù)測(cè)精度。各階數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果中，五階預(yù)測(cè)的年降雨量空間相對(duì)誤差與多年平均量的相關(guān)關(guān)系最強(qiáng)，多年平均降雨量與負(fù)相對(duì)誤差的相關(guān)系數(shù)為-0.80，與正相對(duì)誤差的相關(guān)系數(shù)為-0.83。結(jié)合圖4中得出的五階預(yù)測(cè)的空間年降雨量精度最高這一結(jié)論，多年平均降雨量相關(guān)系數(shù)高又進(jìn)一步說(shuō)明了多年平均降雨量對(duì)加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)精度的顯著影響。相比之下，高程與預(yù)測(cè)的降雨量正、負(fù)相對(duì)誤差之間的相關(guān)關(guān)系較弱，說(shuō)明高程對(duì)加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)精度的影響較弱。

圖5 不同階數(shù)預(yù)測(cè)的年降雨量相對(duì)誤差與實(shí)測(cè)降雨量、高程空間散點(diǎn)關(guān)系

表6 不同階數(shù)預(yù)測(cè)的年降雨量相對(duì)誤差與實(shí)測(cè)降雨、高程的空間相關(guān)系數(shù)

3 結(jié) 語(yǔ)

本文采用加權(quán)馬爾可夫鏈結(jié)合模糊集理論的方法對(duì)湖北省27個(gè)氣象站的年降雨量進(jìn)行預(yù)測(cè)，研究了不同階數(shù)的選擇對(duì)年降雨量預(yù)測(cè)精度的影響。研究結(jié)果表明：一階馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)的年降雨量狀態(tài)易出現(xiàn)不唯一的情況，從而無(wú)法預(yù)測(cè)出具體的降雨數(shù)值，而多階加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)的年降雨量狀態(tài)則比較穩(wěn)定且一致，年降雨量狀態(tài)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性也更高；二至四階預(yù)測(cè)的年降雨量數(shù)值的相對(duì)誤差范圍比較接近，當(dāng)階數(shù)增加到五階時(shí)，能夠保證更多的氣象站點(diǎn)的預(yù)測(cè)結(jié)果落在更小的誤差范圍內(nèi)，因此降雨量值的預(yù)測(cè)精度最高。此外，從年降雨量相對(duì)誤差的空間分布來(lái)看，不同階數(shù)情況下空間趨勢(shì)較為一致，均表現(xiàn)為研究區(qū)東部和東北部高于實(shí)測(cè)值、南部和西南部低于實(shí)測(cè)值。在年降雨量的空間表達(dá)上，五階的預(yù)測(cè)結(jié)果 與實(shí)測(cè)的年降雨量空間分布之間的誤差最小。相關(guān)分析顯示，多年平均降雨量是影響年降雨量空間預(yù)測(cè)精度的主要因素，雨量充沛的區(qū)域其降雨預(yù)測(cè)的精度更高。本文的研究結(jié)果驗(yàn)證了多階加權(quán)馬爾可夫鏈結(jié)合模糊集理論方法在研究區(qū)年降雨量狀態(tài)以及數(shù)值預(yù)測(cè)的適用性，為研究區(qū)年降雨量預(yù)測(cè)提供了科學(xué)的方法。然而對(duì)于部分氣象站點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差較大的情況，在未來(lái)的研究中可以通過(guò)改進(jìn)降雨數(shù)據(jù)序列分級(jí)、增加降雨數(shù)據(jù)樣本和改進(jìn)模型等方法，獲得更加精確的預(yù)測(cè)結(jié)果。