二維十字型四終端量子點陣列的量子輸運

羅國忠

(忻州師范學(xué)院物理系,山西 忻州 034000)

0 引言

低維介觀體系的電子輸運是當前介觀物理理論研究的一個重要領(lǐng)域。對于二終端介觀體系電子裝置的電子輸運性質(zhì)問題,文獻[1-4]提出:在自旋簡并的情況下,電導(dǎo)G=(2e2/h)T,其中T是透射率。計算T的方法有傳輸矩陣方法[5-8]、非平衡格林函數(shù)等方法[9-14]。

利用低維介觀體系基于實空間格點的量子點陣列的傳輸矩陣方法是獲得透射率的重要途徑之一。關(guān)于處理基于緊束縛模型實空間格點量子點陣列的波透射系數(shù)的傳輸矩陣方法,在文獻[14,15]中都曾應(yīng)用過,此方法適用于多終端系統(tǒng)低維介觀體系。文獻[8]研究了一維量子點超晶格的電子透射性質(zhì)。文獻[9]研究了一個量子點中電子透射的相變性質(zhì)。文獻[10]研究了連接兩個一維電極的散射體的透射振幅相和Frieled相。文獻[11]研究了連接電子庫的有限長Hubbard量子鏈的輸運。文獻[12]研究了連接左右單通道電極的具有兩個電子的雙量子點電子透射的性質(zhì)。文獻[13]研究了InN量子點中AlGaN/GaN異質(zhì)結(jié)構(gòu)的負微分電容和能量色散關(guān)系。文獻[14,15]研究了二維H型和T型多終端量子點陣列的電子輸運。本文基于文獻[14,15]中的方法,提出了四終端二維十字型量子點陣列體系,并研究其電子傳輸。

1 一維量子點陣列體系與其電子透射系數(shù)傳輸矩陣方法

一維二終端量子點陣列體系模型是在一維二終端量子點陣列的兩端放置理想金屬導(dǎo)線來代表電極。用格點來表示一維二終端體系上量子點所在位置,不同的一維介觀體系的電極也格點化。電極上格點標記為 -∞,···,-(NL+2),-(NL+1)和 (NR+1),(NR+2),···,+∞,量子點陣列上格點標記為-NL,···,-1,0,1,2,···,NR-1,NR。系統(tǒng)的哈密頓為

哈密頓的本征方程為

本征解為

哈密頓方程(2)式可寫為

所研究系統(tǒng)兩個不同理想導(dǎo)線區(qū)域的本征函數(shù)為

其中不同理想導(dǎo)線的波函數(shù)的系數(shù)關(guān)系為

式中

通過散射矩陣法可以得到二終端系統(tǒng)的透射率

式中υR和υL分別是一維量子點陣列左右兩端金屬導(dǎo)線中電子的速度。

2 十字型四終端量子點陣列的電子輸運

由四根導(dǎo)線連接到一個十字型的非均勻區(qū)域來構(gòu)造十字型四終端系統(tǒng)。十字型四終端量子點陣列是通過量子點組成的,可以用一個格點來替代一個量子點,標記為(i,j),其中i,j為整數(shù)。如圖1所示,量子點陣列的交叉點標記為(0,0),水平量子點陣列的坐標為(-NL,0),(-NL+1,0),···,(NR-1,0),(NR,0);豎直量子點陣列的坐標為 (0,-ND),(0,-ND+1),···,(0,-1)和 (0,1),···,(0,NU-1),(0,NU)。對半無限長的導(dǎo)線分別連接在水平量子點陣列左側(cè)和右側(cè),坐標為(n,0),其中n≥NR,n≤-NL。系統(tǒng)的左側(cè)量子點位置n=-NL和右側(cè)位置n=NR時躍遷積分分別為tn=νL和tn=νR,NL和NR分別代表水平量子點陣列左側(cè)和右側(cè)的量子點數(shù)目。另一對半無限長的導(dǎo)線分別連接在豎直量子點陣列上側(cè)和下側(cè),坐標為(0,n),且-ND≤n≤NU,其中系統(tǒng)的上側(cè)n=NU和下側(cè)n=-ND時躍遷積分分別為tn=νU和tn=νD,同理NU和ND分別為豎直量子點陣列上側(cè)和下側(cè)的量子點數(shù)目。

圖1 十字形四終端量子點陣列晶格模型Fig.1 Lattice model of a cross-shaped quantum dot array for the four-terminal,quantum-confined system

十字型量子點陣列的哈密頓為

式中

再次考慮從左邊注入電子的情況時,其哈密頓的本征解為

不同終端區(qū)域的波函數(shù)為

當AL=1,且

時,首先推導(dǎo)傳輸公式T21,它被定義為電子從左向右傳輸?shù)母怕?。為了推?dǎo)出T21的公式,需要將四終端系統(tǒng)的薛定諤方程與方程(9)中的哈密頓量轉(zhuǎn)變?yōu)槎K端系統(tǒng)的薛定諤方程和二終端的哈密頓。

將方程(11)代入原四終端系統(tǒng)的薛定諤方程中,并且通過消去系數(shù)的方法來解方程,當n≠0時,可以得出結(jié)果為

其中

式中∑D(E)是下端自能,GD(E)為下端格林函數(shù),∑U(E)為上端自能,GU(E)為上端格林函數(shù)。

對于十字型量子點陣列,取量子點陣列任意一端為輸入端,則其余端為輸出端。如圖1所示,用j=1表示輸入端,則i=2,3,4表示該體系的輸出端,tij表示從j端入射電子而從i端輸出電子的透射率,其中i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,并且i≠j。在tij的記號中,i,j=1時代表左側(cè)導(dǎo)線;i,j=2時代表右側(cè)導(dǎo)線;i,j=3時代表上側(cè)導(dǎo)線;i,j=4時代表下側(cè)導(dǎo)線。

反射率為rii,其中i=2,3,4。這些參數(shù)可以通過上述方法獲得,用于計算透射率t21,t31,t41和反射率rii。此外,得到了四終端系統(tǒng)足夠數(shù)量的散射參數(shù),在沒有磁場并且電流守恒的情況下,利用空間反轉(zhuǎn)對稱性t=t,也可以去掉剩余的散射參數(shù)。

根據(jù)方程組(8)計算四終端系統(tǒng)的透射率t21,即

四終端系統(tǒng)中的透射率t31和透射率t41也可以用類似的方法計算,分別表示為

3 數(shù)值計算結(jié)果與討論

這里的約束結(jié)構(gòu)是一個有限的十字型非均勻區(qū)域。

1)對于一個有限的二維十字型四終端量子點陣列體系,假設(shè)相對于原點的左右兩側(cè)量子點數(shù)相等,上下兩側(cè)量子點數(shù)也相等,量子點陣列與兩側(cè)電極之間的耦合常數(shù)υR、υL、υU和υD相同,量子點陣列左右兩側(cè)電極中電子的速度υR=υL,Nu=NR=Nl=Nd=6,kL=kR=5,t=100,導(dǎo)線的格點能εn=2t,參數(shù)a=90,εL=εR=εU=εD=2t,則理想電極1中的電子透射到電極2時,透射率如圖2所示;參數(shù)a=50時,從理想電極1中的電子入射再到電極2出射時的透射率如圖3所示;參數(shù)a=40時,電子從理想電極1→2透射時透射率示意圖如圖4。

圖2 由24個量子點組成的十字形量子點陣列的電極1到電極2的電子透射幾率圖,其中參數(shù)為t=100,a=90,Nu=NR=Nl=Nd=6Fig.2 Transmission probability of electrons from electrode 1 to electrode 2 of a cross-shaped quantum dot array composed of 24 quantum dots,where the parameters are t=100,a=90,Nu=NR=Nl=Nd=6

圖3 由24個量子點組成的十字形量子點陣列的電極1到電極2的電子透射幾率圖,其中參數(shù)為t=100,a=50,Nu=NR=Nl=Nd=6Fig.3 Transmission probability of electrons from electrode 1 to electrode 2 of a cross-shaped quantum dot array composed of 24 quantum dots,where the parameters are t=100,a=50,Nu=NR=Nl=Nd=6

由圖2～4可見,十字型量子點陣列中的1、2電極兩端對稱時,量子點數(shù)隨著參數(shù)a的減小,在參數(shù)t不變的情況下,中間透射率連續(xù)為1的平緩處向左移動到能量坐標較小的地方,而透射率t21變成0的能量保持不變。能量在4t時透射率突然迅速變?yōu)?。尖峰個數(shù)與水平量子點陣列中量子點個數(shù)相等。

圖4 由24個量子點組成的十字形量子點陣列的電極1到電極2的電子透射幾率圖,其中參數(shù)為t=100,a=40,Nu=NR=Nl=Nd=6Fig.4 Transmission probability of electrons from electrode 1 to electrode 2 of a cross-shaped quantum dot array composed of 24 quantum dots,where the parameters are t=100,a=40,Nu=NR=Nl=Nd=6

2)在1)條件的基礎(chǔ)上,a=100不變,改變參數(shù)t。當t=40時電子從理想電極1→2透射時的透射率如圖5所示,t=30時電子從理想電極1→2透射時透射率如圖6所示。

圖5 由24個量子點組成的十字形量子點陣列的電極1到電極2的電子透射幾率圖,其中參數(shù)為t=40,a=100,Nu=NR=Nl=Nd=6Fig.5 Transmission probability of electrons from electrode 1 to electrode 2 of a cross-shaped quantum dot array composed of 24 quantum dots,where the parameters are t=40,a=100,Nu=NR=Nl=Nd=6

圖6 由24個量子點組成的十字形量子點陣列的電極1到電極2的電子透射幾率圖,其中參數(shù)為t=30,a=100,Nu=NR=Nl=Nd=6Fig.6 Transmission probability of electrons from electrode 1 to electrode 2 of a cross-shaped quantum dot array composed of 24 quantum dots,where the parameters are t=30,a=100,Nu=NR=Nl=Nd=6

由圖5、6可見十字型量子點陣列中1、2電極端的量子點數(shù)對稱時,在參數(shù)a不變的情況下,躍遷積分t改變,圖形形狀保持不變,尖峰個數(shù)也不變,但隨著t的減小,透射率變?yōu)?的能量發(fā)生改變,且尖峰變密。透射變?yōu)?時,能量仍然是在4t值。

1)和2)的研究結(jié)果表明隨著能量的逐漸增大,大概在4t時,透射率逐漸地變成了0。這表明在系統(tǒng)中,由于量子點單電子隧穿的特性,當能量大于極限值時電子數(shù)量過多,達到某個數(shù)量就會造成庫侖阻塞,所以透射率慢慢地變成了0。

3)對于一個有限的二維十字型四終端且相對于原點上下和左右量子點數(shù)不相等的量子體系,假設(shè)耦合常數(shù)υR、υL、υU和υD仍然相同,理想金屬導(dǎo)線中的電子速度仍然相同,取Nu=6,ND=6,NR=2,Nl=3,kL=5,kR=5,a=0.1,t=50,導(dǎo)線的格點能εn=2t,εL=εR=εU=2t,電子從理想電極1透射到電極2時,透射率情況如圖7;參數(shù)NR=3,Nl=4時,其他參數(shù)不變時,電子的透射率如圖8所示。

圖7 由17個量子點組成的十字形量子點陣列的電極1到電極2的電子透射幾率圖,其中參數(shù)為t=50,a=0.1,Nu=6,Nd=6,NR=2,Nl=3Fig.7 Transmission probability of electrons from electrode 1 to electrode 2 of a cross shaped quantum dot array composed of 17 quantum dots,where the parameter is t=50,a=0.1,Nu=6,Nd=6,NR=2,Nl=3

圖8 由19個量子點組成的十字形量子點陣列的電極1到電極2的電子透射幾率圖,其中參數(shù)為t=50,a=0.1,NR=3,Nl=4,Nu=6,Nd=6Fig.8 Transmission probability of electrons from electrode 1 to electrode 2 of a cross-shaped quantum dot array composed of 17 quantum dots,where the parameter is t=50,a=0.1,NR=3,Nl=4,Nu=6,Nd=6

由圖7、8可見,對于十字型量子限制系統(tǒng)中量子點陣列中的電極1和電極2量子點數(shù)目發(fā)生改變而其他參數(shù)不改變的情況下,在左側(cè)和右側(cè)量子點數(shù)目之和為5時,尖峰個數(shù)為5;左側(cè)和右側(cè)量子點數(shù)目之和為7時,尖峰個數(shù)為7,這與T型三終端圖形的情況[15]不同,說明圖形尖峰個數(shù)與量子點個數(shù)相同。

4)NR=3,Nl=4,kL=20,kR=20,υR= υL=0.5,導(dǎo)線的格點能 εn=50,εL= εR= εU=2t,參數(shù)a=10,電子從理想電極1→2透射時,透射率如圖9所示。由圖9可見,透射率突變?yōu)?時,躍遷積分t越大,入射能量越大。

圖9 由19個量子點組成的十字形量子點陣列的電極1到電極2的電子透射率隨能量和躍遷積分變化圖,其中參數(shù)為a=10,Nu=6,Nd=6,NR=3,Nl=4Fig.9 Variation of electron transmission probability from electrode 1 to electrode 2 with energy and hop integral in a cross shaped quantum dot array composed of 19 quantum dots,where the parameter is a=10,Nu=6,Nd=6,NR=3,Nl=4

比較文獻[14]中二維H型四終端量子點陣列的量子輸運和文獻[15]中二維T型三終端量子點陣列的量子輸運,由前述可知,電子由1透射到2時,其透射率的大小同電子由1透射到其他端時是一樣的。對于四終端的H型和十字型,不論躍遷積分如何變化,透射率都幾乎不變。對于三終端的T型,不論量子點寬度如何變化,透射率都幾乎不變,說明具有空間反轉(zhuǎn)對稱的量子點陣列體系其電子透射率與躍遷積分無關(guān),而不具有空間反轉(zhuǎn)對稱的量子點陣列體系其電子透射率與量子點寬度無關(guān)。

十字型四終端量子點陣列系統(tǒng)中的各種傳輸概率,即透射率,是電子能量的函數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)中所有的能量是2t,而系統(tǒng)中的能量是系統(tǒng)中所有晶格點上的可裂變能。與二終端系統(tǒng)一樣,四終端系統(tǒng)的透射率和反射率表現(xiàn)出了不相同的高峰和低谷?？偟膩碚f,四終端、三終端和二終端量子點陣列系統(tǒng)有不同的性質(zhì)。

4 結(jié)論

基于一維二終端介觀量子點陣列體系輸運的方法,提出了十字型體系。利用傳輸矩陣方法計算了十字型四終端任意兩端中電子從輸入端到輸出端的透射率。通過透射率的計算比較了透射率與躍遷積分、透射率與左右兩側(cè)量子點數(shù)目之和的關(guān)系,結(jié)果表明圖像尖峰數(shù)與量子點陣列體系中的量子點點數(shù)相關(guān)。比較了H型四終端、T型三終端和十字型四終端量子點陣列模型的量子輸運問題。對于二終端、三終端和四終端系統(tǒng)電子輸運性質(zhì)的理論研究結(jié)果,也可以運用到其他復(fù)雜的多終端系統(tǒng)中和有限偏置下低維介觀體系的量子輸運。研究表明,三終端系統(tǒng)和四終端系統(tǒng)也可以與二終端系統(tǒng)一樣計算出透射概率,表現(xiàn)出了規(guī)則的共振狀態(tài)。此外,通過有限區(qū)域晶格點上的部分狀態(tài)密度的計算,發(fā)現(xiàn)多終端系統(tǒng)的透射光譜和反射光譜的復(fù)雜性是因為系統(tǒng)中的受限狀態(tài)被局限于不同的受限區(qū)域,從而影響著不同系統(tǒng)的透射概率和反射概率。