巧設(shè)物理情境推導(dǎo)公式

陳錦華

摘? ?要：設(shè)置恰當(dāng)?shù)奈锢砬榫?，運(yùn)用初等數(shù)學(xué)推導(dǎo)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和單擺的周期公式以及正弦交流電的有效值和平均值.通過(guò)推導(dǎo)過(guò)程的教學(xué)，填補(bǔ)高中物理教材的不足，達(dá)到對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)及補(bǔ)充的目的。

關(guān)鍵詞：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和單擺;周期公式;正弦交流電;有效值;平均值

在大學(xué)物理教材中，單擺的周期公式和正弦交流電的有效值分別用高等數(shù)學(xué)的微分方程和微積分推導(dǎo)，而在高中物理教材中是直接給出結(jié)果，并沒(méi)有具體的推導(dǎo)過(guò)程，使得學(xué)生對(duì)該結(jié)果及其物理意義的理解比較膚淺。其實(shí)教學(xué)中，只要設(shè)置恰當(dāng)?shù)奈锢砬榫常\(yùn)用初等數(shù)學(xué)知識(shí)，也可以推導(dǎo)出上述的兩個(gè)結(jié)果，并且還可以推導(dǎo)出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式和正弦交流電的平均值。

1? 推導(dǎo)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和單擺的周期公式

1.1? 推導(dǎo)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式

物理情境1：如圖1，在光滑水平桌面上的O點(diǎn)固定一枚釘子，把勁度系數(shù)為k、原長(zhǎng)為零的彈簧一端套在釘上，另一端系一個(gè)質(zhì)量為m的小球。把彈簧拉長(zhǎng)后，使小球在桌面上做半徑為r、角速度為ω的勻速圓周運(yùn)動(dòng)[ 1 ]。

上述物理情境把彈簧的原長(zhǎng)理想化（設(shè)為零），但胡克定律仍適用于彈簧。以O(shè)點(diǎn)為位移起點(diǎn)，則小球的位移為r，彈簧的伸長(zhǎng)量也為r。小球受到的向心力等于彈簧彈力F，根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知

F=-mω2r? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

根據(jù)胡克定律可知

F=-kr? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

（1）、（2）式中的負(fù)號(hào)表示F與r方向相反。

小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期

T=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

由（1）、（2）、（3）三式可得

T=2π? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

取O點(diǎn)到小球初始位置的方向?yàn)閤軸的正方向，小球從初始位置開(kāi)始做勻速圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)角度θ時(shí)，小球的位移r和受到的彈簧彈力F在x軸上的分量分別如圖2的rx和圖3的Fx所示，由圖2和圖3可得

rx=rcosθ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

Fx=Fcosθ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

由（2）、（5）、（6）三式可得

Fx=-krx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

由（7）式可知，小球在x軸上的分力Fx和分位移rx滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的受力特征，故小球在r軸上的分運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，分力Fx作為分運(yùn)動(dòng)（即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)）的回復(fù)力。根據(jù)分運(yùn)動(dòng)與實(shí)際運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性原理可知，小球在x軸上的分運(yùn)動(dòng)（即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)）與小球?qū)嶋H運(yùn)動(dòng)（即勻速圓周運(yùn)動(dòng)）的周期相同，所以簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式與（4）式相同。

1.2? 推導(dǎo)單擺的周期公式

由于單擺在擺角很小時(shí)是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)[ 2 ]，其回復(fù)力F=x，其中的即為（4）式的k，將k=代入（4）式可得，單擺的周期公式為T=2π。

通過(guò)上述推導(dǎo)過(guò)程，不僅可以加深學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和單擺周期公式的理解，還可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到勻速圓周運(yùn)動(dòng)和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移解決物理問(wèn)題的能力。

2? 推導(dǎo)正弦交流電的有效值和平均值

2.1? 推導(dǎo)正弦交流電的有效值

物理情境2：設(shè)有兩個(gè)阻值都為R的電阻，分別通過(guò)電流i1和i2，i1和i2的瞬時(shí)值分別為

i1=Imsinωt? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）

i2=Imcosωt? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

上述物理情境中，i1和i2在一個(gè)周期內(nèi)的i-t圖像分別如圖（4）和圖（5）所示。有多種方法可以證明i1和i2的有效值相等，其中學(xué)生比較容易理解的證明方法是：圖4的i1在時(shí)間0到T/4、T/4到T/2、T/2到T三個(gè)階段的i-t圖線，分別與圖5的i2在時(shí)間到T、0到T/4、T/4到三個(gè)階段的i-t圖線相同，所以i1和i2在上述三個(gè)對(duì)應(yīng)階段產(chǎn)生的熱量分別相等，故在一個(gè)周期內(nèi)，i1和i2產(chǎn)生的熱量也相等。根據(jù)交流電有效值的定義可知，i1和i2的有效值I相等。

由（8）、（9）兩式可知，i1和i2的瞬時(shí)功率分別為

P1=i12R=Im2Rsin2ωt，

P2=i22R=Im2Rcos2ωt。

由以上兩式可知，i1和i2的瞬時(shí)功率之和為0880D64A-C198-45C2-8E33-7F10A71B8D9C

P1+P2=Im2R（sin2ωt+cos2ωt）=Im2R? ? ? ? （10）

由（10）式可知，i1、i2的瞬時(shí)功率之和等于定值Im2R，則i1、i2功率之和的平均值也等于Im2R，故i1和i2在一個(gè)周期內(nèi)產(chǎn)生的總熱量

Q=Im2RT? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

根據(jù)交流電有效值的定義可知， i1和i2在一個(gè)周期內(nèi)產(chǎn)生的總熱量為

Q=2×I2RT? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（12）

由（11）、（12）兩式可得，正弦交流電的電流有效值I=。同理可得：U=，E=。

2.2? 推導(dǎo)正弦交流電的平均值

物理情境3：如圖6，單匝線圈的面積為S，總電阻為R，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)的初始時(shí)刻線圈平面與B垂直。

對(duì)于物理情境3，根據(jù)正弦交流電產(chǎn)生的知識(shí)可知，線圈上產(chǎn)生正弦交流電，其電流的瞬時(shí)值i=Imsinθ，其中Im=，θ為線圈從初始時(shí)刻開(kāi)始轉(zhuǎn)過(guò)的角度。

線圈從開(kāi)始到轉(zhuǎn)過(guò)角度θ的過(guò)程，電流平均值為

====? ? ?（13）

將Im=代入（13）式，可得正弦交流電的電流平均值

=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （14）

同理可得

=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（15）

=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （16）

由以上三式可知，正弦交流電的平均值會(huì)隨角度（或時(shí)間）的變化而變化。

正弦交流電的有效值和平均值是學(xué)生容易混淆的兩個(gè)概念，通過(guò)推導(dǎo)正弦交流電的有效值和平均值，可以加深學(xué)生對(duì)有效值和平均值物理意義的理解，明確有效值和平均值的區(qū)別與聯(lián)系。

新課標(biāo)的教學(xué)理念認(rèn)為，教材只是最基本、最重要的課程資源之一，教材與師生應(yīng)該形成一個(gè)相互影響、相互豐富、相互補(bǔ)充的系統(tǒng)。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教材除了具有時(shí)代性、基礎(chǔ)性和選擇性外，還具有一定的開(kāi)放性，教材沒(méi)有必要也不可能把所有的問(wèn)題都講清。本文的推導(dǎo)過(guò)程是基于教材內(nèi)容和學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)的實(shí)際情況，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)及補(bǔ)充，這樣可以豐富教學(xué)內(nèi)容，加深學(xué)生對(duì)物理概念和規(guī)律的理解，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移解決物理問(wèn)題的能力，提高教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1]繆庚平.巧用物理知識(shí) 求解擺線弧長(zhǎng)[J].物理教師，2006，27（8）：4.

[2]繆庚平.牛頓第一定律教學(xué)中的三個(gè)疑惑[J].中學(xué)物理教與學(xué)，2009（8）：24-25.0880D64A-C198-45C2-8E33-7F10A71B8D9C