數(shù)值模擬方法在牛頓第二定律應(yīng)用中的教學(xué)探索

羅貴榮 陳新光

摘? ?要：牛頓第二定律是高考的必考知識(shí)點(diǎn)，也是高中物理教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，而應(yīng)用牛頓第二定律解決連接體中的受力問(wèn)題更是學(xué)生極易產(chǎn)生錯(cuò)誤和餒怯的問(wèn)題。嘗試通過(guò)數(shù)值模擬方法直觀呈現(xiàn)連接體物體間的相互作用力大小，讓學(xué)生在模擬實(shí)驗(yàn)中得出結(jié)論，從數(shù)據(jù)中總結(jié)理論規(guī)律，達(dá)到提升學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的目的，也為一線教師提供了一種突破教學(xué)難點(diǎn)的方法。

關(guān)鍵詞：牛頓第二定律;連接體;數(shù)值模擬;核心素養(yǎng)

引言

連接體問(wèn)題是高考力學(xué)部分考查的熱點(diǎn)問(wèn)題，是高一學(xué)生在學(xué)習(xí)牛頓第二定律應(yīng)用時(shí)必須掌握的模型之一。在講授應(yīng)用牛頓第二定律求解連接體之間的相互作用力的問(wèn)題時(shí)，很多一線教師和現(xiàn)行的教輔都習(xí)慣采用先整體后隔離的方法來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題。但在解決實(shí)際一些復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，該方法并未能得出一個(gè)直觀的結(jié)論。尋求一種高效、可行的教學(xué)方法也是諸多學(xué)者一直追求的目標(biāo)[ 1-3 ]。有限元數(shù)值模擬是借助計(jì)算機(jī)模擬，通過(guò)數(shù)值計(jì)算和圖形可視化的方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際工程問(wèn)題和自然規(guī)律的仿真模擬[ 4 ]。本文嘗試將有限元技術(shù)引入課堂，借助有限元數(shù)值模擬來(lái)解決一個(gè)復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，總結(jié)出連接體之間相互作用力的一般表達(dá)式，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力和物理科學(xué)論證的能力，以期達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率和學(xué)科核心素養(yǎng)的能力。

1? 提出問(wèn)題

為了更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，本節(jié)課的課堂引入選擇了一種比較有趣的拔河比賽：重型卡車(chē)之間的拔河比賽，如圖1所示。在拔河過(guò)程中，左邊A車(chē)最終贏得比賽的勝利。那么，在左邊卡車(chē)拖著右邊B車(chē)向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，兩車(chē)之間的連接鋼繩需要承受多大的拉力呢？

2? 模型簡(jiǎn)化

應(yīng)用牛頓第二定律解決以上問(wèn)題，首先需要對(duì)以上復(fù)雜實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行模型簡(jiǎn)化，如圖2所示。在模型簡(jiǎn)化時(shí)，考慮主要因素，忽略次要因素，即簡(jiǎn)化兩車(chē)質(zhì)量分別為m1和m2，兩車(chē)的牽引力分別為F1和F2，兩車(chē)與地面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ1和μ2，鋼繩的張力為T(mén)。

在實(shí)際教學(xué)設(shè)計(jì)中，可以在本節(jié)課內(nèi)容之前，先讓學(xué)生掌握?qǐng)D3模型中：勻變速直線運(yùn)動(dòng)中的繩子拉力的表達(dá)式為T(mén)=。 因此，在學(xué)生已有潛在知識(shí)儲(chǔ)備的情況下，不妨引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)求解圖3中連接體之間繩子拉力問(wèn)題的方法即先整體后隔離的方法，并讓學(xué)生應(yīng)用該方法求解圖2模型中鋼繩的張力T。一般情況下，學(xué)生不容易得到一個(gè)比較簡(jiǎn)潔的表達(dá)式。

學(xué)生在求解過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題：（1）在求解過(guò)程中，可能會(huì)忽略滑動(dòng)摩擦因數(shù)不同這個(gè)條件，而錯(cuò)誤地套用一些教輔總結(jié)的兩連接體之間相互作用力與滑動(dòng)摩擦因數(shù)無(wú)關(guān)的結(jié)論;（2）本模型用先整體后隔離的方法求解，雖思路簡(jiǎn)單，但是計(jì)算繁瑣，學(xué)生也不易得出簡(jiǎn)潔結(jié)論。

3? 數(shù)值模擬教學(xué)設(shè)計(jì)

利用數(shù)值模擬軟件模擬連接體的物體之間相互作用力的計(jì)算機(jī)模型如圖4所示。數(shù)值模擬過(guò)程需要對(duì)每個(gè)模擬對(duì)象設(shè)定好初始值，不妨設(shè)定本模型中的基本參數(shù)為：m1=1 kg， m2=3 kg， F1=20 N，F(xiàn)2=8 N.

【模擬過(guò)程一】：為了降低難度并引發(fā)學(xué)生思考，不妨先設(shè)定兩個(gè)物體的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，即μ1=μ2=0.1.為了便于學(xué)生觀察和思考，模擬過(guò)程分成三個(gè)步驟（如表1所示）：

步驟1（如圖5）：先令F1=20 N，F(xiàn)2=0，計(jì)算機(jī)模擬得到繩子張力T1;

步驟2（如圖6）：再令F1=0，F(xiàn)2=8 N，計(jì)算機(jī)模擬得到繩子張力T2;

步驟3（如圖7）：令F1=20 N，F(xiàn)2=8 N，計(jì)算機(jī)模擬得到繩子張力T3;

【模擬過(guò)程二】：為了模型更具有普遍性，設(shè)定兩個(gè)物體的動(dòng)摩擦因數(shù)不同，不妨令μ1=0.2，μ2=0.1.這一個(gè)步驟4（如圖8）可以考慮先讓學(xué)生猜想在這種情況下的繩子張力的表達(dá)式，然后開(kāi)始模擬予以驗(yàn)證學(xué)生的猜想。

4個(gè)步驟的設(shè)計(jì)意圖：步驟1和步驟2的模型學(xué)生已經(jīng)掌握，可以從計(jì)算機(jī)模擬上進(jìn)一步證實(shí)表達(dá)式的正確性，同時(shí)也為步驟3得到表達(dá)式做好鋪墊。步驟3是關(guān)鍵，從數(shù)值模擬上得到結(jié)果，而且數(shù)字15+2=17，讓學(xué)生有非常強(qiáng)烈的視覺(jué)刺激，容易過(guò)渡到猜想得到步驟3對(duì)應(yīng)模型的表達(dá)式。得到步驟3的表達(dá)式之后，授課教師要對(duì)公式做個(gè)解釋：兩邊分別對(duì)物體的拉力都會(huì)傳到給中間的繩子張力，那么根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)容易想到，兩邊拉力對(duì)中間繩子的影響應(yīng)該是越來(lái)越緊，因此，體現(xiàn)在公式中，應(yīng)該是每個(gè)拉力傳遞給中間繩子的拉力進(jìn)行相加，即取加號(hào)。

進(jìn)一步地，授課教師引導(dǎo)學(xué)生合理外推，想要得到步驟4模型對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，可以先讓學(xué)生猜想，觀察個(gè)別學(xué)生有得到正確表達(dá)式之后，安排學(xué)生動(dòng)手算出結(jié)果，然后教師再進(jìn)行數(shù)值模擬，與學(xué)生結(jié)論進(jìn)行對(duì)比，讓學(xué)生獲得成功的喜悅，同時(shí)進(jìn)一步鞏固學(xué)習(xí)成果。需要特別提醒的是，在分別求兩物體合外力時(shí)，要注意摩擦力的方向問(wèn)題。

4? 結(jié)果論證

如果只是單憑猜想得出結(jié)論而沒(méi)有找到理論依據(jù)，課堂總結(jié)的結(jié)果并不能令人信服。借助學(xué)生之前算好的結(jié)果，進(jìn)一步往下化簡(jiǎn)：

F1-F2-μ1m1g-μ2m2g=（m1+m2）a? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

T-F2-μ2m2g=m2a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

聯(lián)立上兩式，可得：

T=F2+μ2m2g+m2a

=F2+μ2m2g+m2

=+

=+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

上式T的表達(dá)式可理解為：分別先求出物體m1和物體m2受到的外力F1合和F2合，然后可看成外力F1合和F2合單獨(dú)存在時(shí)傳遞給繩子的張力進(jìn)行求和得到。特別地，當(dāng)步驟3中模型的動(dòng)摩擦因數(shù)相同時(shí)，即μ1=μ2=μ時(shí)，T的表達(dá)式可以退化為：

T=+

=+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

式（4）也滿足運(yùn)動(dòng)的兩物體之間的一般表達(dá)式，證實(shí)從數(shù)值模擬結(jié)果得出的猜想結(jié)果的正確性，符合一般規(guī)律。

5? 舉一反三

在課堂教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生立即應(yīng)用所學(xué)結(jié)論解決實(shí)際問(wèn)題是學(xué)生掌握知識(shí)要點(diǎn)的必要手段。在教學(xué)設(shè)計(jì)中安排了一道稍有變形的例題，讓學(xué)生應(yīng)用課堂得到的連接體模型中兩物體間相互作用力的一般結(jié)論解決問(wèn)題，進(jìn)一步鞏固課堂成果，提升學(xué)生思維。

例題：兩物體質(zhì)量分別為m1=2 kg， m2=1 kg，放置在滑動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25的水平地面上?，F(xiàn)用F=20 N的力沿水平方向成θ=37°的角去推m1物體，如圖9所示，求m1對(duì)m2的作用力。

在課堂練習(xí)中，設(shè)計(jì)兩個(gè)環(huán)節(jié)：（一）理論計(jì)算，學(xué)生套用課堂總結(jié)公式，帶入數(shù)值計(jì)算，得出結(jié)果;（二）利用有限元軟件，根據(jù)本例題物理情境建立有限元模型，現(xiàn)場(chǎng)設(shè)置例題中的參數(shù)，展示現(xiàn)場(chǎng)模擬過(guò)程，模擬結(jié)果與學(xué)生計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

【環(huán)節(jié)一】學(xué)生動(dòng)手，理論計(jì)算

第一步先求出物體m1在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的合外力：

F1合=Fcosθ-μ（m1g+Fsinθ）=8 N

第二步在求出物體m2在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的合外力：

F2合=μm2g=2.5 N

第三步應(yīng)用公式（4）可以得出最后結(jié)果：

N=+=+N=N

【環(huán)節(jié)二】有限元仿真模擬

本節(jié)課嘗試?yán)糜邢拊浖鉀Q實(shí)際問(wèn)題，本例題也必須通過(guò)有限元模擬得出結(jié)果，形成對(duì)比，加深印象。圖10給出了本例題的有限元模擬結(jié)果。在模型中，設(shè)置測(cè)量參數(shù)有物體運(yùn)動(dòng)的加速度和兩物體之間的相互作用力。從圖6中可以看出，本題的加速度為1.88 m/s2，兩物體之間的相互作用力為4.33 N，與學(xué)生計(jì)算結(jié)果相吻合。

在本例題中，除了鞏固課堂成果之外，還有意設(shè)計(jì)了本例的變形：第一，兩物體相同滑動(dòng)摩擦因數(shù)的情況下，平時(shí)教輔總結(jié)的二級(jí)結(jié)論公式不能使用，讓學(xué)生在錯(cuò)誤條件應(yīng)用中進(jìn)一步加深對(duì)公式應(yīng)用理解;第二，改成斜向作用力推物體，看似一個(gè)外力作用在系統(tǒng)上，但實(shí)際上要當(dāng)成系統(tǒng)受到兩個(gè)水平的合外力作用，即m1上的水平合力與m2上的水平合力。通過(guò)一道最為普通的情況例題總結(jié)出連接體物體間相互作用力的一般表達(dá)式，然后通過(guò)有限元模擬得出結(jié)果，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)公式應(yīng)用的理解，達(dá)成課堂預(yù)設(shè)效果;第三，通過(guò)本例題讓學(xué)生明白一個(gè)道理：學(xué)習(xí)物理知識(shí)，必須要先掌握物理的內(nèi)在規(guī)律與本質(zhì)，一些二級(jí)結(jié)論的應(yīng)用必須是建立在掌握規(guī)律的基礎(chǔ)上再靈活應(yīng)用。

6? 總結(jié)反思

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求教師促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。如何在日常授課中提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)是一直努力的方向。本節(jié)課基于實(shí)際問(wèn)題情境，以牛頓第二定律為知識(shí)儲(chǔ)備基礎(chǔ)，嘗試以數(shù)值模擬軟件為工具，以解決實(shí)際復(fù)雜問(wèn)題為載體，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力和物理科學(xué)論證能力，以期達(dá)到提升學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的目的。

對(duì)于運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩物體之間的相互作用力問(wèn)題的求解，“先整體后隔離”的方法是學(xué)生必須要熟練掌握的基本方法。本文從數(shù)值模擬角度引發(fā)學(xué)生猜想得出了在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩物體之間的相互作用力的一般表達(dá)式，僅僅是幫助學(xué)生換個(gè)思維角度來(lái)思考力學(xué)問(wèn)題，通過(guò)這個(gè)過(guò)程啟發(fā)學(xué)生多去總結(jié)各個(gè)模型的物理規(guī)律和尋找各個(gè)物理規(guī)律背后的科學(xué)論證，提升學(xué)生的物理思維品質(zhì)。倘若學(xué)生能靈活應(yīng)用之，則也能高效地解決此類(lèi)問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1] 魏榮榮. 利用DISLab改進(jìn)牛頓第二定律實(shí)驗(yàn)裝置[J]，實(shí)驗(yàn)教學(xué)與儀器，2021，38（5）.

[2] 高嵩，田宇，邵夢(mèng)媛. 基于推理的“牛頓第二定律”教學(xué)思考[J]，物理教學(xué)探討，2021，39（3）.

[3]黃汝瑜，丁益民，楊?lèi)偅?巧用智能手機(jī)近程傳感器驗(yàn)證牛頓第二定律[J]，湖南中學(xué)物理，2019，34（10）.

[4] 陳新光，范功懷，林欽. 基于有限元法的安培力實(shí)驗(yàn)探討[J]，物理教學(xué)探討，2020，38（10）.