雙棱鏡干涉測(cè)鈉光波長(zhǎng)主要誤差研究

洪英蘭

摘? ?要：雙棱鏡干涉測(cè)光波波長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)是光學(xué)實(shí)驗(yàn)中一個(gè)基本的實(shí)驗(yàn)。針對(duì)學(xué)生實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果誤差較大（測(cè)得鈉光波長(zhǎng)約為530-620 nm不等），本文對(duì)實(shí)驗(yàn)中可能涉及到的誤差來(lái)源進(jìn)行估算與討論，通過(guò)調(diào)整雙棱鏡與狹縫的相對(duì)位置，探討其對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，進(jìn)而為雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)確測(cè)定鈉光波長(zhǎng)提供參考方案。

關(guān)鍵詞：雙棱鏡，干涉，波長(zhǎng)，誤差

引言

1826年，法國(guó)科學(xué)家菲涅耳（Augustine J.Fresnel）進(jìn)行雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)，用毫米級(jí)的測(cè)量得到納米級(jí)的精度。雙棱鏡干涉測(cè)鈉光波波長(zhǎng)是普通物理的一個(gè)典型實(shí)驗(yàn)[ 1 ]，該實(shí)驗(yàn)方法與測(cè)量技巧很值得中學(xué)物理競(jìng)賽學(xué)生學(xué)習(xí)。許多同學(xué)在實(shí)驗(yàn)中測(cè)到的鈉光波長(zhǎng)約為530-620 nm不等，實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果誤差較大。針對(duì)雙棱鏡干涉測(cè)鈉光波長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)中誤差較大的問(wèn)題，本文對(duì)實(shí)驗(yàn)中可能涉及到的誤差來(lái)源進(jìn)行估算與討論，探討主要誤差的原因;通過(guò)調(diào)整雙棱鏡與狹縫的相對(duì)位置，探討其對(duì)測(cè)量結(jié)果有無(wú)影響，是否有利于減小測(cè)量誤差;進(jìn)而為雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)確測(cè)定鈉光波長(zhǎng)提供有益的參考方案。

1? 雙棱鏡干涉測(cè)鈉光波長(zhǎng)的實(shí)驗(yàn)方案

1.1? 實(shí)驗(yàn)原理

如圖1所示，單色光源M發(fā)出的單色光經(jīng)透鏡L匯聚后均勻照射狹縫S，透過(guò)S的光束經(jīng)雙棱鏡B折射后形成兩束相干光，可以把它們等價(jià)地看成是由兩個(gè)相干虛光源S1、S2發(fā)出 [ 1 ]，這兩束光在傳播空間有一部分彼此重疊形成干涉區(qū)域，利用測(cè)微目鏡就可觀察到在空間屏P上所形成的清晰的干涉條紋，條紋的取向與狹縫平行，并可測(cè)得相鄰兩明（或暗）條紋中心距Δx。若再測(cè)得兩虛光源S1、S2間的距離d，以及S1、S2所在的平面與空間屏之間的距離D。根據(jù)雙光束干涉原理，可測(cè)得待測(cè)光波長(zhǎng)λ[ 2 ]：

λ=Δx? ? ? ? ? ? ? ?（1）

1.2? 三個(gè)參量Δx、D、d的測(cè)量方法

D是虛光源所在的平面（近似的在光源狹縫s的平面內(nèi)）至觀察屏P的距離，用米尺測(cè)量，其關(guān)鍵是利用輔助透鏡判斷觀察屏P的位置。

d是兩虛光源S1、S2之間的距離，可用兩種方法測(cè)得：

方法一：用一會(huì)聚透鏡L'置于雙棱鏡B與測(cè)微目鏡O之間（如圖2），在測(cè)微目鏡前放一白屏P，移動(dòng)透鏡L'使白屏上出現(xiàn)兩虛光源S1和S2經(jīng)透鏡所成的清晰的實(shí)像S''，用測(cè)微目鏡測(cè)出實(shí)像S''間距d'，再測(cè)得兩虛光源的物距s和像距s'，則可測(cè)得兩虛光源之間的距離d（如圖3）。

根據(jù)三角形相似可知[ 3 ]：

= ，? ?d=? ? ? ? ? ? ? ? （2）

由此可測(cè)得d。

方法二：用一會(huì)聚透鏡置于雙棱鏡與測(cè)微目鏡之間，使測(cè)微目鏡到狹縫的距離L' >4f'，前后移動(dòng)透鏡L'，就可以在L'的兩個(gè)不同位置上從測(cè)微目鏡中看到兩虛光源S1和S2經(jīng)透鏡所成的實(shí)像S'和S''，其中一組為放大的實(shí)像，另一組為縮小的實(shí)像。如果分別測(cè)得二放大實(shí)像的間距d1和二縮小像的間距d2（如圖4），則根據(jù)下式[ 4 ]：

d=? ? ? ? ? ? ? （3）

即可求得兩虛光源之間的距離d。

Δx是兩相鄰明（或暗）條紋中心距離，實(shí)驗(yàn)中用測(cè)微目鏡測(cè)量干涉條紋的寬度Δx。為了提高測(cè)量精度，可測(cè)出多條干涉條紋間距離。測(cè)量時(shí)，使目鏡叉絲對(duì)準(zhǔn)邊沿某亮條紋的中心或暗條紋中心，然后旋轉(zhuǎn)測(cè)微螺旋，移動(dòng)叉絲讀取每級(jí)條紋的位置[ 2 ]，記錄數(shù)據(jù)并用逐差法處理數(shù)據(jù)[ 2 ]。

2? 雙棱鏡干涉測(cè)鈉光波長(zhǎng)的誤差來(lái)源與評(píng)估

2.1? 誤差分析

對(duì)公式（1）兩邊取自然對(duì)數(shù)：Inλ=Ind+InΔx-InD，可得波長(zhǎng)測(cè)量的誤差傳遞公式：

=+++? ? ? ? ? ? ? ?（4）

由上式可見(jiàn)，Δx、D、d三個(gè)參量的測(cè)量方案的準(zhǔn)確性對(duì)波長(zhǎng)的測(cè)量均會(huì)引入誤差，但引入相對(duì)誤差的大小不同。為了提高波長(zhǎng)測(cè)量的準(zhǔn)確性，下文將對(duì)各個(gè)測(cè)量參量引入的誤差大小進(jìn)行評(píng)估，并介紹改進(jìn)其實(shí)驗(yàn)測(cè)量方案。

2.2? 測(cè)定Δx、D、d三個(gè)參量時(shí)引入的誤差估算

對(duì)于D的測(cè)量實(shí)驗(yàn)中一般用米尺測(cè)量出狹縫S的平面至觀察屏P的距離，其引入測(cè)量誤差主要有兩個(gè)因素：一是忽略了虛光源到狹縫間的距離引起的誤差;二是米尺讀數(shù)時(shí)存在視差引起，該誤差至少達(dá)到的最小分度值1 mm。

D的測(cè)量誤差大小估算如下：

由于雙棱鏡契角θ很小，可看成是厚度為t的玻璃板和厚度可以忽略的雙棱鏡兩部分組成，由圖5所示，狹縫S經(jīng)玻璃板成虛像于s'。設(shè)雙棱鏡材料的折射率為n則有[ 2 ]：

a-b=1-

t=1-

×2.50 mm=0.8333 mm

可見(jiàn)，直接測(cè)量時(shí)忽略虛光源到狹縫間的距離為0.8333 mm，再考慮到米尺讀數(shù)得視差1.0 mm，則D對(duì)波長(zhǎng)測(cè)量所引入的相對(duì)誤差為：

=+++ =0+0+=0.001826×100%=0.1826%

對(duì)于Δx的測(cè)量，通過(guò)測(cè)微目鏡測(cè)量明暗相間的干涉條紋寬度Δx，其引入測(cè)量誤差主要有三個(gè)因素：一是各級(jí)條紋有一定寬度，讀數(shù)顯微鏡的叉絲難以完全對(duì)準(zhǔn)條紋的中心;二是條紋間距不是完全等間距;三是讀數(shù)顯微鏡的叉絲移動(dòng)時(shí)可能會(huì)引入回程誤差。

Δx的測(cè)量誤差大小估算，可通過(guò)任取一組測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算：

選取表2中第三組測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算Δx的標(biāo)準(zhǔn)誤差[ 5 ]：

若采用逐差法處理數(shù)據(jù)，則Δx的標(biāo)準(zhǔn)誤差為：

可見(jiàn)，對(duì)于Δx進(jìn)行多次測(cè)量，并采用逐差法處理數(shù)據(jù)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響比較小。

對(duì)于d的測(cè)量，利用輔助透鏡將二虛光源成實(shí)像，通過(guò)測(cè)出二虛光源實(shí)像的間距得出二虛光源的間距，有一次成像法和二次成像法。

一次成像法即前后移動(dòng)透鏡L'兩虛光源在白屏上只出現(xiàn)一次清晰實(shí)像時(shí)，測(cè)得兩虛光源之間的距離d，其引入測(cè)量誤差主要因素有：一是在測(cè)量?jī)商摴庠吹奈锞鄐時(shí)忽略了虛光源到狹縫的距離;二是顯微目鏡讀取兩虛光源實(shí)像的間距時(shí)，由于像線有一定寬度存在誤差，三是虛光源所成實(shí)像準(zhǔn)確位置較難確定;四是測(cè)量物距s、像距s'和s''實(shí)像間距時(shí)也存在視差。

此時(shí)，d的測(cè)量誤差大小估算：選取表3中一組測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

由表3第一組數(shù)據(jù)可得，物距s、像距s'的標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.01， x1的標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.02，x2標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.02，測(cè)量物距s時(shí)還忽略了虛光源到狹縫間距離0.8333 mm的誤差，則d的標(biāo)準(zhǔn)誤差為：

=+++=+++=0.01063×100%=1.063%

根據(jù)誤差傳遞公式（4），可得由d所引入的波長(zhǎng)測(cè)量誤差為：

=++=1.063%+0+0=1.063%

可見(jiàn)，用一次成像法測(cè)得d對(duì)實(shí)驗(yàn)引起的誤差很大，因此要對(duì)一次成像法測(cè)量d的方案進(jìn)行改進(jìn)。

二次成像法即前后移動(dòng)透鏡L'兩虛光源在白屏上出現(xiàn)兩次清晰實(shí)像時(shí)，測(cè)得兩虛光源之間的距離d，其引入測(cè)量誤差主要因素有：一是顯微目鏡讀取兩虛光源實(shí)像的間距時(shí)，由于像線有一定寬度存在誤差;二是兩次所成實(shí)像位置的確定引入誤差;三是在測(cè)量放大實(shí)像的間距d1和縮小像的間距d2時(shí)，若操作不當(dāng)還會(huì)引入回程誤差。

此時(shí)，d的測(cè)量誤差大小估算如下：

利用下表1中數(shù)據(jù)可知，x11和x12引入的標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.02，x21和x22引入的標(biāo)準(zhǔn)誤差0.02，可得d的標(biāo)準(zhǔn)誤差為：

=（+）=（+++）=0.01425×100%=1.425%

根據(jù)誤差傳遞公式（4），可得此時(shí)d所引入的波長(zhǎng)測(cè)量誤差為：

=++=1.425%+0+0=1.425%

可見(jiàn)，用二次成像法測(cè)得d對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果誤差比較大，要對(duì)二次成像法測(cè)量d的方案進(jìn)行改進(jìn)。

2.3? 實(shí)驗(yàn)測(cè)量方案的改進(jìn)

針對(duì)三個(gè)參量測(cè)定時(shí)引入誤差的主要因素，對(duì)三個(gè)參量的測(cè)量方案進(jìn)行改進(jìn)以減少實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差。

D的測(cè)量方案改進(jìn)：為了減少直接測(cè)量引入的誤差我們采用二次共軛法間接測(cè)量，這樣可以有效地修正直接測(cè)量時(shí)引入的誤差，保證了測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性。在雙棱鏡與白屏間放置焦距為f'的透鏡L，使得虛光源到白屏間距離D>4f '時(shí)，前后移動(dòng)透鏡L能夠獲得虛光源在白屏上所成的兩次清晰實(shí)像，一次成縮小像，像間距為d1，另一次成放大像，像間距為d2，兩次成像時(shí)透鏡移動(dòng)的距離為t則如（圖6） ，得到公式[ 3，6 ]：

D=t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

對(duì)于Δx的測(cè)量，測(cè)微目鏡的叉絲盡量對(duì)準(zhǔn)條紋中心，為了防止回程誤差，旋轉(zhuǎn)讀數(shù)鼓輪時(shí)動(dòng)作要平穩(wěn)，緩慢，測(cè)量裝置要固定，測(cè)量多條條紋。

對(duì)于d的測(cè)量，由于兩虛光源S1、S2與狹縫光源S不在同一平面上，但二次成像法在實(shí)驗(yàn)計(jì)算時(shí)，忽略了兩虛光源到狹縫間的距離，這樣就會(huì)引入系統(tǒng)誤差使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果不甚準(zhǔn)確。在利用兩次成像法時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)找不到兩次成像的情況，因此采用一次成像法測(cè)量d，就解決了找不到成兩次像時(shí)的情況，根據(jù)幾何理論知識(shí)，由于兩虛光源與狹縫不在同一平面上，因此對(duì)公式（2）計(jì)算進(jìn)行修正：

d=d'? ? ? ? ? ? ? （6）

其中a-b=

1-t，為兩虛光源到狹縫間的距離，該公式修正了忽略兩虛光源到狹縫間距產(chǎn)生的測(cè)量誤差。

3? 雙棱鏡與狹縫的相對(duì)位置對(duì)測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確性的影響

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，移動(dòng)雙棱鏡與狹縫的相對(duì)位置時(shí)干涉條紋會(huì)發(fā)生變化，當(dāng)雙棱鏡與狹縫相對(duì)位置較大時(shí)，通過(guò)測(cè)微目鏡看到清晰且細(xì)小的條紋;當(dāng)雙棱鏡向狹縫靠近時(shí)干涉條紋逐漸變粗變亮。這一現(xiàn)象對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果是否有影響呢？

3.1? 調(diào)整雙棱鏡與狹縫的相對(duì)位置測(cè)定D、d、Δx

為了分析移動(dòng)雙棱鏡與狹縫相對(duì)位置對(duì)鈉光波長(zhǎng)測(cè)量的影響，首先利用二次共軛法測(cè)出D，在D不變的情況下分別測(cè)量出雙棱鏡與狹縫的相對(duì)位置不同時(shí)Δx、d，利用公式（1）計(jì)算出鈉光波長(zhǎng)，通過(guò)比較，確定雙棱鏡在相對(duì)狹縫什么位置時(shí)對(duì)鈉光波長(zhǎng)測(cè)量結(jié)果最準(zhǔn)確。

關(guān)于D的測(cè)量。為了減小D的測(cè)量誤差，本文采用二次共軛法測(cè)量D。在雙棱鏡與顯微目鏡之間放置輔助透鏡L，使狹縫的二虛光源能兩次成像，分別側(cè)出二虛光源實(shí)像的間距d1、d2，再利用公式（5）計(jì)算出D。其實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)如表1，表中d1、d2分別表示二虛光源成縮小、放大實(shí)像的間距，x11、x12和x21、x22分別表示縮小和放大實(shí)像在測(cè)微目鏡中的位置，t為兩次成像時(shí)透鏡移動(dòng)的距離。

代入公式（5）：

1=（0.583+0.583+0.583）=0.583

2=（5.292+5.292+5.292）=5.292

=（50.43+50.42+50.44）=50.43

所以

==×50.43（cm）=100.35 （cm）

關(guān)于Δx的測(cè)量。為了減小其測(cè)量誤差，我們采用逐差法處理數(shù)據(jù)，為了研究雙棱鏡與狹縫的相對(duì)位置是否有利于減小測(cè)量誤差，選取遠(yuǎn)、中、近三組雙棱鏡與狹縫相對(duì)位置進(jìn)行測(cè)量，其實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)如表2。表2中xi+10-xi（mm）表示相距10級(jí)條紋間距離。

關(guān)于d的測(cè)量。采用一次成像法測(cè)量d，對(duì)以上雙棱鏡與狹縫相對(duì)位置遠(yuǎn)、中、近三種情況分別進(jìn)行測(cè)量，實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)如表3。表中s表示兩虛光源的物距、s'表示兩虛光源的像距，x1、x2表示實(shí)像在測(cè)微目鏡中的位置，d'=x2-x1表示測(cè)微目鏡中實(shí)像的距離。

3.2? 數(shù)據(jù)處理與結(jié)果

將虛光源到白屏間距離確定后固定不變，分別測(cè)量出雙棱鏡與狹縫相對(duì)位置不同時(shí)的Δx、d三組數(shù)據(jù)，對(duì)Δx利用逐差法處理后取平均值利用公式=

x得出，對(duì)d測(cè)出實(shí)像s''間距d'、兩虛光源的物距s和s'像距多次測(cè)量取平均值后求出，利用公式（1）求出波長(zhǎng)，對(duì)比三組測(cè)量結(jié)果，如表4。

表4中三組數(shù)據(jù)分別表示雙棱鏡與狹縫的相對(duì)位置遠(yuǎn)、中、近三種情況。表中數(shù)據(jù)表明，雙棱鏡與狹縫的相對(duì)位置不同，所得到的鈉光波長(zhǎng)值準(zhǔn)確度有所不同。由于鈉光波長(zhǎng)的理論值為589.3nm，第三組數(shù)據(jù)最接近理論值，說(shuō)明了雙棱鏡與狹縫的相對(duì)距離較小時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果更準(zhǔn)確，這是因?yàn)榇藭r(shí)干涉條紋間距較大，讀數(shù)顯微鏡的叉絲未完全對(duì)準(zhǔn)條紋的中心而引起的相對(duì)測(cè)量誤差較小。因此，在雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)中，減少雙棱鏡與狹縫的相對(duì)距離有利于減少測(cè)量誤差，提高測(cè)量的精度。

4? 結(jié)論

雙棱鏡干涉測(cè)量鈉光波長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生誤差的因素較多，主要是Δx、D、d三個(gè)參量的測(cè)量引入的，其中D的測(cè)量誤差主要有兩方面：一是忽略了虛光源到狹縫間的距離引起的誤差;二是米尺讀數(shù)時(shí)存在視差引起，該誤差至少達(dá)到的最小分度值1 mm;Δx的測(cè)量誤差主要有三方面：一是各級(jí)條紋有一定寬度，讀數(shù)顯微鏡的叉絲難以完全對(duì)準(zhǔn)條紋的中心;二是條紋間距不是完全等間距;三是讀數(shù)顯微鏡的叉絲移動(dòng)時(shí)可能會(huì)引入回程誤差;一次成像法測(cè)量d的主要誤差主要有四方面：一是在測(cè)量?jī)商摴庠吹奈锞鄐時(shí)忽略了虛光源到狹縫的距離;二是顯微目鏡讀取兩虛光源實(shí)像的間距時(shí)，由于像線有一定寬度存在誤差;三是虛光源所成實(shí)像準(zhǔn)確位置較難確定;四是測(cè)量物距s、像距s'和實(shí)像s''間距時(shí)也存在視差;二次成像法測(cè)量d的主要誤差主要有三方面：一是顯微目鏡讀取兩虛光源實(shí)像的間距時(shí)，由于像線有一定寬度存在誤差;二是兩次所成實(shí)像位置的確定引入誤差;三是在測(cè)量放大實(shí)像的間距d1和縮小實(shí)像d2的間距時(shí)，若操作不當(dāng)還會(huì)引入回程誤差。為了提高實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性，本文給出測(cè)量Δx、D、d三個(gè)參量的改進(jìn)方案，對(duì)D的測(cè)量采用二次共軛法，可以使實(shí)驗(yàn)測(cè)量更加準(zhǔn)確;對(duì)于Δx在處理數(shù)據(jù)時(shí)采用逐差法，可提高數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，減少隨機(jī)誤差的影響;對(duì)于d的測(cè)量可用一次成像法，為了減少了系統(tǒng)誤差，需對(duì)計(jì)算公式進(jìn)行修正。本文還通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了雙棱鏡與狹縫的相對(duì)位置對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確性的影響。結(jié)果表明，減少雙棱鏡與狹縫的相對(duì)距離有利于減少實(shí)驗(yàn)誤差，提高鈉光波長(zhǎng)的測(cè)量精度。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊述武，孫迎春，沈國(guó)士，等.普通物理實(shí)驗(yàn)（光學(xué)部分）[M].五版，北京：高等教育出版社，2016：44-46.

[2] 姚啟鈞.光學(xué)教程[M].五版，北京：高等教育出版社，2014：15-17，120-121.

[3] 魏茂金. 對(duì)雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)的深入研究[J]. 三明學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，22（4）：392-393.

[4] 袁成衛(wèi)，劉廷賢，張海新.菲涅爾雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)中的虛光源[J]. 炮兵指揮學(xué)院物理教研室，1998，19（3）：48-49.

[5] 張書敏，許景周，李冀 . 普通物理實(shí)驗(yàn)[M]. 北京：科學(xué)出版社，2011：20-22.

[6] 韓修林，孫梅娟.雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)的研究[J].阜陽(yáng)師范學(xué)院，2006，19（4）：23-24.