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    GeoGebra輔助立體幾何教學(xué)的原則和策略

    2022-06-10 15:51:45張淵博
    教育·讀寫生活 2022年4期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)教師教學(xué)

    張淵博

    信息時(shí)代的到來(lái),革新了人們的生活,轉(zhuǎn)變了人們的理念。這種理念不僅彰顯在人們的生活中,而且展現(xiàn)在教育領(lǐng)域中。其中包括教育理念的轉(zhuǎn)變、人才培養(yǎng)觀點(diǎn)的轉(zhuǎn)變、教育質(zhì)量評(píng)價(jià)觀念的轉(zhuǎn)變及學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)處理革新過(guò)程中所產(chǎn)生的各種問(wèn)題,推動(dòng)了信息技術(shù)輔助教學(xué)這一手段的進(jìn)展,構(gòu)建了信息技術(shù)輔助教育產(chǎn)生和發(fā)展的社會(huì)基礎(chǔ)。依托新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,高中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該強(qiáng)化技術(shù)的運(yùn)用,重視教育技術(shù)和數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的整合,提升教學(xué)效率,深化教學(xué)質(zhì)量。

    而教師對(duì)GeoGebra軟件的應(yīng)用,既迎合了信息時(shí)代的變革,又滿足了課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。GeoGebra由“Geometry”和“Algebra”兩個(gè)英文單詞構(gòu)成,它是一種動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件,幾何、代數(shù)、表格、圖形、微積分等都包含在其中,高中數(shù)學(xué)課程相關(guān)的圖形都能夠輕易畫出。在信息技術(shù)不斷發(fā)展的今天,“智慧課堂”基于素質(zhì)教育深化的要求得到了廣泛推廣。高中數(shù)學(xué)課堂也在此背景下,逐步轉(zhuǎn)變了教學(xué)方式。GeoGebra繪圖的基本選項(xiàng)包含點(diǎn)、線段、多邊形、函數(shù)、圓錐曲線等,提供了便捷性的動(dòng)態(tài)性演示,可以向?qū)W生展示軌跡的生成過(guò)程,能夠帶領(lǐng)學(xué)生探索軌跡的動(dòng)態(tài)性。立足于“動(dòng)態(tài)”的特征,展現(xiàn)幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境,變抽象為具體、變枯燥為生動(dòng)。

    一、GeoGebra輔助立體幾何教學(xué)的特征和優(yōu)勢(shì)

    (一)使用的便捷性

    GeoGebra能夠跨多個(gè)平臺(tái),供應(yīng)桌面程序、手機(jī)程序、平板電腦程序和網(wǎng)頁(yè)程序。對(duì)教師來(lái)說(shuō),GeoGebra5桌面程序是他們最常使用的程序,其只需要進(jìn)行簡(jiǎn)易化的安裝,應(yīng)用的時(shí)候,也不需要網(wǎng)絡(luò)的支撐。當(dāng)然, GeoGebra6安裝起來(lái)更為簡(jiǎn)易,其視圖也更為完善,不僅支持移動(dòng)版,而且支持網(wǎng)頁(yè)版。和其他動(dòng)態(tài)幾何軟件及硬件不同的是,GeoGebra開源軟件不收取任何費(fèi)用,輔助運(yùn)用層面,非常適合推廣。

    (二)功能的全面性

    和其他的幾何軟件及硬件相比,GeoGebra5的功能相對(duì)比較全面,它是一個(gè)帶有捆綁包的軟件,把幾何、表格、概率及統(tǒng)計(jì)整合在了一起,對(duì)視圖進(jìn)行了六個(gè)層面的劃分,即代數(shù)、表格、運(yùn)算、繪圖、3D繪圖和概率統(tǒng)計(jì)。不同的區(qū)域擁有不同的功能價(jià)值,且不同區(qū)域能夠進(jìn)行一致性的交流和互動(dòng),以展現(xiàn)更多的功能,實(shí)現(xiàn)更為高效的教學(xué)任務(wù)和探究目標(biāo)。由此可見,動(dòng)態(tài)幾何軟件為學(xué)生提供了交互形式的幾何環(huán)境,其中的運(yùn)算、表格、概率統(tǒng)計(jì)、微積分等功能讓其超越了其他幾何軟件和幾何硬件的陳舊功能,面向的領(lǐng)域更加全面。

    (三)拓展的兼容性

    GeoGebra為使用者提供立足于此軟件的腳本和編程語(yǔ)言的高級(jí)選項(xiàng),支持使用者進(jìn)一步開發(fā)和追求新的應(yīng)用,GeoGebra支持輸出多種樣式的文件。在輸入和編寫數(shù)學(xué)公式的部分,GeoGebra支持輸入和輸出LaTeX格式的公式。所謂LaTeX,指的就是對(duì)文件進(jìn)行編制的軟件系統(tǒng),它被廣泛運(yùn)用在多個(gè)范疇的科學(xué)物品中。

    二、應(yīng)用GeoGebra輔助高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)的現(xiàn)狀

    信息技術(shù)的不斷發(fā)展,讓當(dāng)下數(shù)學(xué)課程革新的趨勢(shì)發(fā)生了轉(zhuǎn)變,由傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂轉(zhuǎn)變?yōu)槿诤闲畔⒓夹g(shù)的數(shù)學(xué)課堂。在最新人教版的高中數(shù)學(xué)教材中,創(chuàng)作者以GeoGebra軟件為載體,向?qū)W生介紹如何利用計(jì)算機(jī)技術(shù)完成數(shù)學(xué)功能,并組織對(duì)應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)。GeoGebra軟件的覆蓋范圍比較廣泛,不僅適用于小學(xué)時(shí)期的數(shù)學(xué)教學(xué),而且適用于大學(xué)時(shí)期的高數(shù)教育?;A(chǔ)教育時(shí)期的很多主題教學(xué)內(nèi)容都能夠依靠GeoGebra完成,其功能也能夠讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)得到豐富。在以往的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教師一般以黑板為主要教學(xué)工具,在幾何教學(xué)中,教師會(huì)運(yùn)用部分教學(xué)模型進(jìn)行演示,但無(wú)法完全實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)化的圖形演示,學(xué)生在面對(duì)抽象問(wèn)題時(shí),也無(wú)法輕易地理解問(wèn)題的呈現(xiàn)。但對(duì)GeoGebra動(dòng)態(tài)幾何軟件的應(yīng)用,能夠?qū)崿F(xiàn)動(dòng)態(tài)化的圖形演示,并提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合的理念,加強(qiáng)學(xué)生的直觀想象能力和素養(yǎng),完成多元特征的展現(xiàn)和銜接。

    對(duì)GeoGebra等信息技術(shù)的利用,能夠完成循環(huán)式的證明,學(xué)生能夠在GeoGebra的幫助下,進(jìn)入到探索、猜想、驗(yàn)證、論證的循環(huán)中。比如,人教A版教材選擇性必修第二冊(cè),就指出了對(duì)GeoGebra軟件的利用,意在畫出函數(shù)圖像,并讓學(xué)生基于圖像進(jìn)行概念分析、定義猜想,探索函數(shù)的性質(zhì)。在解析函數(shù)性質(zhì)時(shí),學(xué)生所運(yùn)用的第一步就是導(dǎo)數(shù),學(xué)生在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)時(shí),就可以借助GeoGebra軟件實(shí)施直觀性的驗(yàn)證。

    三、GeoGebra輔助高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)的應(yīng)用原則

    (一)整合性

    高中數(shù)學(xué)教師在應(yīng)用GeoGebra軟件輔助立體幾何教學(xué)時(shí),應(yīng)該和傳統(tǒng)的講述、板書、PPT課件結(jié)合在一起,消除教學(xué)手段不斷切換的繁雜性,簡(jiǎn)要設(shè)計(jì)教學(xué)流程,防止在實(shí)踐教學(xué)中因?yàn)榻虒W(xué)手段的豐富性而影響教學(xué)成效的提升。與此同時(shí),教師也應(yīng)該對(duì)教材進(jìn)行充分研究,并在研究的基礎(chǔ)上,把關(guān)聯(lián)性比較強(qiáng)的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)在一起,制定原理、界面、操作過(guò)程都比較簡(jiǎn)單的GeoGebra課件,這樣,教師的操作就比較便捷,學(xué)生也更容易觀察和理解。

    (二)科學(xué)性

    高中數(shù)學(xué)教師在制定GeoGebra課堂方案時(shí),應(yīng)該重視課堂方案的科學(xué)性。其一,教師課件中的內(nèi)容應(yīng)該是教材內(nèi)容的統(tǒng)籌,教師要把相關(guān)信息當(dāng)作一個(gè)完整體,使學(xué)生可以用聯(lián)系的觀念整合問(wèn)題,更好地把新知滲透到已有的經(jīng)驗(yàn)中。其二,教師在展示 GeoGebra課件的時(shí)候,應(yīng)該重視數(shù)學(xué)規(guī)律的展現(xiàn),促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的掌握,促使學(xué)生在潛移默化的過(guò)程中,加強(qiáng)自身的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

    (三)動(dòng)態(tài)性

    GeoGebra軟件有一個(gè)相對(duì)突出的功能,即3D功能,因此,教師在對(duì)其進(jìn)行運(yùn)用的時(shí)候,應(yīng)該延展其優(yōu)點(diǎn),把靜態(tài)的數(shù)學(xué)立體化、動(dòng)態(tài)化,在講述一些抽象理念時(shí),教師可以對(duì)GeoGebra軟件進(jìn)行利用,借此設(shè)計(jì)出動(dòng)態(tài)化的具象式課件,進(jìn)而提高學(xué)生的直觀想象能力。在實(shí)施變式教學(xué)時(shí),教師可以通過(guò)滑動(dòng)條的拖動(dòng),改變相應(yīng)的參數(shù),具體展現(xiàn)幾何體的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)變過(guò)程。1C246758-E62C-4FB1-9C72-D681C5B36D75

    四、在高中數(shù)學(xué)課程中利用GeoGebra軟件輔助立體幾何教學(xué)的具體策略

    (一)抓住GeoGebra軟件和教學(xué)內(nèi)容的融合點(diǎn)

    依托人教版教材高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容,能夠發(fā)現(xiàn)高中立體幾何主要包含基本立體圖形和基本圖形位置關(guān)系的內(nèi)容,學(xué)生在學(xué)習(xí)此類問(wèn)題時(shí),總會(huì)因?yàn)榱Ⅲw幾何的空間性,直觀感受到幾何題型的復(fù)雜。為此,學(xué)生需要擁有相對(duì)比較高的直觀想象能力和邏輯推理能力。而這也對(duì)教師提出了相應(yīng)的要求,教師需要在備課的時(shí)候,對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行充分的研究和探索,通過(guò)對(duì)教材基本構(gòu)造的分析,沿著宏觀的視角明晰知識(shí)之間的邏輯性,融合學(xué)生的認(rèn)知理念、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)思維、心理情況及學(xué)習(xí)方式,調(diào)節(jié)教學(xué)內(nèi)容,完善教學(xué)設(shè)計(jì)和方案,借助精細(xì)化的研究和深入,對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行探索和分析,抓住GeoGebra軟件和教學(xué)內(nèi)容之間的融合點(diǎn),用GeoGebra軟件引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入到恰當(dāng)?shù)那榫持校M(jìn)而更高效地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力,提高學(xué)生的邏輯推理能力。

    以高中數(shù)學(xué)人教版教材高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第八章第三節(jié)“簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積”為例。在解析球的體積計(jì)算公式時(shí),教師可以抓住GeoGebra軟件和教學(xué)內(nèi)容的融合點(diǎn),向?qū)W生展示自己制作的GeoGebra課件。

    導(dǎo)入:已知球的表面積計(jì)算公式是S=4仔R2,其中球的半徑為R,那么你能夠通過(guò)已知的表面積計(jì)算公式和已經(jīng)內(nèi)化的知識(shí),對(duì)球的體積計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)嗎?

    情境引入:教師可以向?qū)W生顯示GeoGebra課件“圓的面積和正n邊形”,然后借助滑動(dòng)條的拖動(dòng),改變n的數(shù)值,學(xué)生可以借此直觀看到圓n等分時(shí)分?jǐn)?shù)持續(xù)改變的過(guò)程。

    知識(shí)回顧:在進(jìn)入圓體積的推導(dǎo)之前,教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程,促使學(xué)生明確對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)。在推導(dǎo)這個(gè)知識(shí)的過(guò)程中,學(xué)生要先分割、然后求近似的和、之后取極限。這是一種推導(dǎo)的思想方式,這種思想方式十分重要,學(xué)生可以在之后的深化學(xué)習(xí)中運(yùn)用這種思想。而在推導(dǎo)體積計(jì)算公式時(shí),學(xué)生可以在教師的主導(dǎo)下,切實(shí)體驗(yàn)這個(gè)過(guò)程。

    探究球的體積:在類比表面積推導(dǎo)過(guò)程時(shí),教師要將球的表面分成n個(gè)網(wǎng)格,球體要被分割成n個(gè)小錐體。隨著n的值的變大,這些以小球面為底、球心為定點(diǎn)的小錐體的底面會(huì)變得越來(lái)越平整。這種錐體和棱錐相似,高和球的半徑R近似。此后,教師可以運(yùn)用GeoGebra軟件把類似于棱錐的小錐體進(jìn)行移動(dòng),然后結(jié)合板書,將公式的推導(dǎo)過(guò)程展現(xiàn)出來(lái)。

    學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下,明確求體積的運(yùn)算就是計(jì)算這n個(gè)小錐體的體積之和,而n個(gè)小錐體的底面積之和可以被看作球的表面積,所以,就能夠得出球的體積計(jì)算公式。

    在這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程中,教師帶領(lǐng)學(xué)生,用極限的思想方法,對(duì)球的體積計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)。GeoGebra軟件能夠基于學(xué)生的感受,進(jìn)行圖形層面的細(xì)化分割,通過(guò)學(xué)生直觀想象、空間想象能力及素養(yǎng)的提升,降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān),讓細(xì)化的過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)楣降耐茖?dǎo)過(guò)程。

    (二)對(duì)網(wǎng)絡(luò)資源的合理利用

    在當(dāng)前這個(gè)階段,國(guó)內(nèi)各個(gè)高中對(duì)GeoGebra軟件的使用率比較低。但在網(wǎng)絡(luò)上依舊擁有很多的課件信息資源。教師能夠通過(guò)搜尋收集到教材內(nèi)容的數(shù)字化資源,以及軟件的免費(fèi)網(wǎng)絡(luò)資源。教師可以對(duì)其進(jìn)行利用,然后進(jìn)行高效化的、輔助性的數(shù)學(xué)教育。但在運(yùn)用的過(guò)程中,需要集中自己的意識(shí)認(rèn)知到自己要合理利用這些網(wǎng)絡(luò)資源,通過(guò)合作式開展彌補(bǔ)自身的缺點(diǎn),發(fā)揮相應(yīng)的優(yōu)勢(shì)。除了課件資源,平臺(tái)網(wǎng)站上還有很多供給教師學(xué)習(xí)運(yùn)用GeoGebra軟件的資源內(nèi)容,教師能夠通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的學(xué)習(xí),提高自身的軟件應(yīng)用能力,為學(xué)生呈現(xiàn)更好的視覺(jué)效果,讓其由抽象變得更為具象。

    (三)結(jié)合例題進(jìn)行變式訓(xùn)練

    高中數(shù)學(xué)教師在結(jié)合GeoGebra軟件輔助立體幾何教學(xué)時(shí),不僅要凸顯學(xué)生的主體地位,還要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)。通過(guò)信息元素的篩選,構(gòu)建連接學(xué)生認(rèn)知過(guò)程的教學(xué)體系。除此之外,教師還可以結(jié)合例題進(jìn)行變式訓(xùn)練,促使學(xué)生能夠舉一反三地解析立體幾何問(wèn)題。

    以人教版教材高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第八章第四節(jié)“空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”為例。教師在講述柱體、錐體、臺(tái)體三者的體積計(jì)算公式時(shí),可以依托學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,進(jìn)行GeoGebra課件的設(shè)計(jì),促使學(xué)生結(jié)合動(dòng)態(tài)化的關(guān)系轉(zhuǎn)變,探索出對(duì)應(yīng)的答案內(nèi)容。而在講述位置關(guān)系時(shí),教師需要結(jié)合例題進(jìn)行變式訓(xùn)練。例題:如果a、b是異面直線,直線c椅a,那么b和c的位置關(guān)系是?例題的變式:已知三條直線a、b、c滿足a和c平行,a和b異面,那么b和c不可能?學(xué)生能夠通過(guò)例題的訓(xùn)練過(guò)程,提高自身的直觀想象能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

    五、結(jié)束語(yǔ)

    綜上所述,在立體幾何的教學(xué)過(guò)程中,特別是在動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中,高中數(shù)學(xué)教師如果對(duì)GeoGebra的現(xiàn)代信息技術(shù)進(jìn)行運(yùn)用,不僅能夠讓學(xué)生基于猜想的演示,強(qiáng)化自身的感性認(rèn)知,而且能夠?qū)W(xué)生進(jìn)行引導(dǎo),使學(xué)生基于數(shù)學(xué)邏輯,踐行推理過(guò)程,進(jìn)行知識(shí)論證,讓抽象化的問(wèn)題變得具象化。借助本文的探索和研究,學(xué)生能夠在高中數(shù)學(xué)教師的引導(dǎo)下,了解幾何問(wèn)題之間的共性,如橢圓和雙曲線之間就存在一定的類似性規(guī)律,當(dāng)學(xué)生在解析曲線幾何中獲得了一個(gè)規(guī)律后,一般情況下,就能夠?qū)ζ溥M(jìn)行推廣,獲得更為普遍、更為廣泛的規(guī)律。所以在解析立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中,教師應(yīng)該重視題型的多樣,以及同等題目的探究和拓展,促使學(xué)生基于典型的例題進(jìn)行深層的探索和研究,發(fā)掘其中的內(nèi)涵,促使學(xué)生在探索和研究的過(guò)程中,獲取解答題目的成就感,深化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的同時(shí),提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

    【本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“可視化視角下的GeoGebra與幾何教學(xué)深度融合的實(shí)踐研究”(立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào):FJJKXB20-1148)的研究成果?!?C246758-E62C-4FB1-9C72-D681C5B36D75

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