廣義BiHom-李代數(shù)與BiHom-楊-巴克斯特方程

騰 文， 游泰杰

(1.貴州財經(jīng)大學數(shù)統(tǒng)學院， 貴陽 550025； 2.貴州師范大學數(shù)學科學學院， 貴陽 550025)

Hom-李代數(shù)是由Hartwig等[1]首次引入. 后來， 由于Hom-李代數(shù)在數(shù)學和物理中的雙重應(yīng)用，Larsson等[2]引入擬-Hom李代數(shù)的概念， Makhlouf和Silvestrov[3-5]先后引入Hom-代數(shù)、Hom-余代數(shù)以及Hom-Hopf代數(shù)并研究它們的一些主要性質(zhì)， Caenepeel和Goyvaerts[6]用張量范疇的方法去刻畫 Hom-量子群. 生云鶴[7]給出Hom-李代數(shù)的表示， 隨后， 王圣祥和王栓宏[8]研究Yetter-Drinfeld 范疇中的Hom-李代數(shù)(也稱為廣義Hom-李代數(shù))．

BiHom-代數(shù)是一種其定義的結(jié)構(gòu)恒等式被兩個可交換的同態(tài)映射扭曲的代數(shù). 這類代數(shù)是用范疇方法引入的， 它是Hom-代數(shù)的推廣. 文獻[9]得到BiHom-代數(shù)的基礎(chǔ)概念、動機和結(jié)果.BiHom-代數(shù)結(jié)構(gòu)包括 BiHom-結(jié)合代數(shù)和 BiHom-李代數(shù).最近， 王圣祥和郭雙建[10]給出BiHom-李超代數(shù)的量子楊-巴克斯特方程的解. 近年來， (Bi)Hom-李代數(shù)研究取得了豐富的成果， Makhlouf、Ammar、陳良云、郭雙建等[11-15]借助不同的工具研究(Bi)Hom-李超(著色)代數(shù)的結(jié)構(gòu)與上同調(diào)理論等內(nèi)容.

作為廣義Hom-李代數(shù)[8]與BiHom-李超(著色)代數(shù)[9-11，14-15]的自然推廣， 本文引入廣義BiHom-李代數(shù)的概念， 并給出一些例子.然后， 構(gòu)造廣義BiHom-李允許代數(shù)并研究廣義BiHom-結(jié)合代數(shù)的性質(zhì).最后， 給出廣義BiHom-李代數(shù)的楊-巴克斯特方程解．

1準備知識

本文假定k是一個特征為0的域.所有代數(shù)系統(tǒng)均在k上.下面簡單介紹一些本文中涉及到的概念和符號， 更多有關(guān)BiHom-李代數(shù)中的概念和結(jié)果， 參見文獻[9].若C為余代數(shù)， 對于余乘， 使用Sweedler[16]-型符號： Δ(c)=c1?c2， 對任意的c∈C.

h1m(-1)?h2·m0=(h1·m)(-1)h2?(h1·m)0，

(1)

等價于

ρ(h·m)=h1m(-1)S(h3)?(h2·m0)，

ρ：M→H?M，mm(-1)?m0，?m∈M.在范中， 辮子τ：M?N→N?M為

τ(m?n)=m(-1)·n?m0，

((a(-1)b)(-1)a0)?(a(-1)b)0=a?b，

等價于

a(-1)b?a0=b0?S(-1)(b(-1))a，?a，b∈A，

則稱辮子τ為對稱的．

(a(-1)b)a0=ab，a，b∈A

(2)

成立， 則稱A為H-交換的．

定義1[9]BiHom-結(jié)合代數(shù)是一個四元組(A，m，α，β)， 其中A是線性空間，m：A?A→A和α，β：A→A是線性映射，滿足， 對任意的a，b，c∈A，

α°β=β°α，α(a)(bc)=(ab)β(c).

(3)

如果α，β是代數(shù)同態(tài)， 即α(ab)=α(a)α(b)與β(ab)=β(a)β(b)， 則稱BiHom-結(jié)合代數(shù)A為保積的； 如果α，β是代數(shù)同構(gòu)， 則稱 BiHom-結(jié)合代數(shù)A是正則的．

定義2[9]BiHom-李代數(shù)是一個四元組(L，[·，·]，α，β)， 其中L是線性空間，α，β：L→L和[·，·]：L?L→L是線性映射， 滿足： 對任意的a，a′，a″∈A，

α°β=β°α，

[β(a)，α(a′)]=-[β(a′)，α(a)]，

[β2(a)，[β(a′)，α(a″)]]+[β2(a′)，[β(a″)，α(a)]]+

[β2(a″)，[β(a)，α(a′)]]=0.

如果α，β是代數(shù)同態(tài)， 即

α([a，b])=[α(a)，α(b)]，

β([a，b])=[β(a)，β(b)]，

對任意的a，b∈L，則稱BiHom-李代數(shù)(L，[·，·]，α，β)為保積的.特別地， 如果α，β是代數(shù)同構(gòu)， 則稱(L，[·，·]，α，β)是正則的．

2廣義BiHom-李代數(shù)

α，β：L→L， [·，·]：L?L→L

α°β=β°α，

(4)

[β(l)，α(l′)]=-[l(-1)·β(l′)，α(l0)]，

(5)

{l?l′?l″}+{(τ?1)(1?τ)(l?l′?l″)}+

{(1?τ)(τ?1)(l?l′?l″)}=0.

(6)

對任意的l，l′，l″∈L， 其中{l?l′?l″}表示[β2(l)，[β(l′)，α(l″)]]和τ是L上的辮子．

如果α，β是代數(shù)同態(tài)， 即對任意的a，b∈L，

α([a，b])=[α(a)，α(b)]，

β([a，b])=[β(a)，β(b)]，

則稱廣義BiHom-李代數(shù)(L，[·，·]，α，β)為保積的.特別地， 如果α，β是代數(shù)同構(gòu)， 則稱廣義BiHom-李代數(shù)(L，[·，·]，α，β)是正則的．

例11) 若β=α， 則廣義BiHom-李代數(shù)為文獻[8]中的廣義Hom-李代數(shù)．

2) 若H=kG， 其中G為阿貝爾群， 則廣義BiHom-李代數(shù)為文獻[11]中的BiHom-李著色代數(shù)．

例2設(shè)(L，[·，·])為廣義李代數(shù)，α，β：L→L為兩交換的線性映射且?a，b∈L滿足：

α([a，b])=[α(a)，α(b)]，

β([a，b])=[β(a)，β(b)]，

定義[·，·]′：L→L為

[a，b]′=[α(a)，β(b)]，

則(L，[·，·]′，α，β)為廣義BiHom-李代數(shù)．

[a，b]=ab-(a(-1)·α-1β(b))(αβ-1(a0)).

(7)

證明計算過程類似于文獻[11]．

類似于文獻[8]， 有下面例3和例4．

例3設(shè){a1，a2}為 2-維向量空間A的基.文獻[9]定義BiHom-結(jié)合代數(shù)(A，m，α，β)， 乘法和線性映射α，β如下：

m(a1，a2)=a1，m(a1，a2)=ba2，

m(a2，a1)=-a2，m(a2，a2)=0，

α(a1)=a1，α(a2)=-a2，

β(a1)=-a1，β(a2)=a2，

其中b∈k.

設(shè)G為由g生成的2階循環(huán)群， 則群代數(shù)H=kG為Hopf代數(shù).e為群G的單位元.定義A的左-H-模作用和左-H-余模余作用為

ρ(x1)=e?a1，ρ(x2)=g?a2，

e·a1=a1，e·a2=a2，g·a1=a1，g·a2=a2，

不難驗證A為廣義BiHom-結(jié)合代數(shù)．

辮子τ定義為τ(a2?a2)=-a2?a2和τ(ai?aj)=aj?ai.根據(jù)定理 1， 可得廣義BiHom-李代數(shù)， 其中[·，·]為：

[a1，a2]=2ba2，[a2，a1]=-a2+ba1，

[a1，a1]=[a2，a2]=0.

例4設(shè)A為3維Heisenberg李代數(shù)， 它由嚴格的上三角3×3復矩陣組成.具有標準的線性基

設(shè)G為由g生成的2階循環(huán)群， 則群代數(shù)H=kG為Hopf代數(shù).e為群G的單位元.定義A的左-H-模作用和左-H-余模余作用為

ρ(x1)=g?a1，ρ(x2)=g?a2，

ρ(x3)=e?a3，e·ai=ai，

g·a1=-a1，g·a2=-a2，g·a3=a3，

不難驗證A為 廣義BiHom-結(jié)合代數(shù)．

另一方面存在不同案例。2011年白俄羅斯國家石油公司下屬子公司因同伊朗簽署5億美元合同受到美國制裁，但該制裁未追溯至其母公司[12]；同年美國對以色列Ofer Brothers 集團公司的制裁僅限于其直接參與伊朗油氣貿(mào)易的控股公司，也未追溯其母公司[13]。2012年7月，美國以為伊朗銀行提供“重大交易協(xié)助和重大金融服務(wù)”為由，對中國石油集團旗下昆侖銀行進行制裁，也未追溯至其股東中國石油集團公司[14]。

辮子τ為

τ(a1?a1)=-a1?a1，τ(a1?a2)=-a2?a1，

τ(a1?a3)=a3?a1，τ(a2?a1)=-a1?a2，

τ(a2?a2)=-a2?a2，τ(a2?a3)=a3?a2，

τ(a3?a1)=a1?a3，τ(a3?a2)=a2?a3，

τ(a3?a3)=a3?a3，

定義[·，·]為

[ai，a3]=[a3，ai]=[a1，a1]=[a2，a2]=0，

[a1，a2]=[a2，a1]=a3，i=1，2，3.

不難驗證(A，[·，·])為廣義李代數(shù)．

設(shè)λ1，λ2，λ′1，λ′2為k中的非零元.考慮映射α，β：L→L為

α(a1)=λ1a1，α(a2)=λ2a2，α(a3)=λ1λ2a3，

β(a1)=λ′1a1，β(a2)=λ′2a2，β(a3)=λ′1λ′2a3，

根據(jù)定理1， 可得廣義BiHom-李代數(shù)(A，[·，·]′，α，β)， 其中括積[·，·]為非零的，如下：

[a1，a2]′=λ1λ′2a3，[a2，a1]′=λ′1λ2a3．

3廣義BiHom-李容許代數(shù)

證明對任意a，b∈L，定義李括號積[·，·]′為

[a，b]′=[a，b]-[a(-1)·α-1β(b)，αβ-1(a0)].

ρ[a，b]′=ρ([a，b]-[a(-1)·(α-1β(b))，αβ-1(a0)]=

a(-1)b(-1)?[a0，b0]-b(-1)a(-1)?

[a(-1)·α-1β(b0)，αβ-1(a00)]，

(1?[·，·]′)ρ(a?b)=

(1?[·，·]′)(a(-1)b(-1)?a0?b0)=

a(-1)b(-1)?[a0，b0]-a(-1)b(-1)?[a0(-1)·

α-1β(b0)，αβ-1(a00)]=a(-1)b(-1)?[a0，b0]-

a0(-1)b0(-1)?[a(-1)·α-1β(b0)，αβ-1(a00)].

其次，驗證李括號積[·，·]′滿足等式 (7)， 注意到{a?b?c}′=[β2(a)，[β(b)，α(c)]′]′， 計算如下，

{a?b?c}′=

[β2(a)，[β(b)，α(c)]′]′=[β2(a)，[β(b)，α(c)]-

[b(-1)·α-1(β2(c))，β-1(α2(b0))]]′=

[β2(a)，[β(b)，α(c)]]′-

[β2(a)，[b(-1)·α-1(β2(c)，β-1(α2(b0))]]′=

[β2(a)，[β(b)，α(c)]]-

[a(-1)·α-1β[β(b)，α(c)]，αβ-1(β2(a0))]-

[β2(a)，[b(-1)·α-1(β2(c))，β-1(α2(b0)]+

[a(-1)·α-1β[b(-1)·α-1β(c)，β-1(α2(b0))]，αβ-1β2(a0)]=

[β2(a)，[β(b)，α(c)]]-

[a(-1)·[α-1β2(b)，β(c)]，αβ(a0)]-

[β2(a)，[b(-1)·α-1β2(c)，β-1α2(b0)]+

[a(-1)·[b(-1)·α-2β2(c)，α(b0)]，αβ(a0)]=

4[β2(a)，[β(b)，α(c)]]=4{a?b?c}.

類似的計算， 有

{(τ?1)(1?τ)(a?b?c)}′= 4{(τ?1)(1?τ)(a?b?c)}，

{(1?τ)(τ?1)(a?b?c)}′= 4{(1?τ)(τ?1)(a?b?c)}.

由于(L，[·，·]，α，β)為廣義正則 BiHom-李代數(shù)， 有

{a?b?c}′+{(τ?1)(1?τ)(a?b?c)}′+ {(1?τ)(τ?1)(a?b?c)}′=0.

設(shè)(A，μ，α，β)為廣義正則 BiHom-結(jié)合代數(shù)， 對任意a，b∈A， 定義

[a，b]=ab-(a(-1)·α-1β(b))(αβ-1(a0)).

?a，b，c∈A，BiHom-結(jié)合子asα，β定義如下：

asα，β(a，b，c)=α(a)(bc)-(ab)β(c)，

則(A，μ，α，β)為廣義BiHom-結(jié)合代數(shù)當且僅當asα，β(a，b，c)=0.令

S(a，b，c)=asα，β(α-1β2(a)，β(b)，α(c))+ {(τ?1)(1?τ)asα，β(α-1β2(a)，β(b)，α(c))}+ {(1?τ)(τ?1)asα，β(α-1β2(a)，β(b)，α(c))}.

S(a，b，c)=[β2(a)，β(b)α(c)]+ {(τ?1)(1?τ)[β2(a)，β(b)α(c)]}+ {(1?τ)(τ?1)[β2(a)，β(b)α(c)]}.

證明對任意的a，b，c∈A， 計算可得

[β2(a)，β(b)α(c)]+

[a(-1)b(-1)·α(c)，β2(a0)β(b0)]+

[a(-1)·β(b)，a0(-1)·α(c)β2(a00)]=

β2(a)(β(b)α(c))-

a(-1)·α-1β(β(b)α(c))αβ-1β(a0)+

a(-1)b(-1)·α(c)(β2(a0)β(b0))-

a(-1)b(-1)c(-1)·α-1β(β2(a0)β(b0))αβ-1α(c0)+

a(-1)·β(b)a0(-1)·(α(c)β2(a00))-

a0(-1)b(-1)·α-1β(α(c)β2(a00))a(-1)·αβ-1(β(b0))=

β2(a)(β(b)α(c))-

a(-1)·α-1β(β(b)α(c))αβ-1β(a0)+

a(-1)b(-1)·α(c)(β2(a0)β(b0))-

a(-1)b(-1)c(-1)·α-1β3(a0)α-1β2(b0)α2β-1(c0)+

a(-1)·β(b)a0(-1)·(α(c)β2(a00))-

a0(-1)b(-1)·β(c)α-1β3(a00)a(-1)·α(b0)=

asα，β(α-1β2(a)，β(b)，α(c))+

{(τ?1)(1?τ)asα，β(α-1β2(a)，β(b)，α(c))}=

S(a，b，c).

S(a，b，c)=S(a(-1)c(-1)b(-1)·a00，a0(-1)·c00，

a(-1)c0(-1)·b00)

成立．

證明對任意的a，b，c∈A， 計算如下，

S(a，b，c)-S(a(-1)c(-1)b(-1)·a00，a0(-1)·c00，a(-1)c0(-1)·b00)=[β2(a)，β(b)α(c)]+ {(τ?1)(1?τ)[β2(a)，β(b)α(c)]}+ {(1?τ)(τ?1)[β2(a)，β(b)α(c)]}-a(-1)b0(-1)c0(-1)·[β2(a0)，β(b0)α(c0)]+a(-1)b0(-1)c0(-1)·{(τ?1)(1?τ)· [β2(a0)，β(b0)α(c0)]}+a(-1)b0(-1)c0(-1)· {(1?τ)(τ?1)[β2(a0)，β(b0)α(c0)]}= [β2(a)，β(b)α(c)-b(-1)·β(c)α(b0)]}+ {(τ?1)(1?τ)[β2(a)，β(b)α(c)-b(-1)·β(c)α(b0)]}+{(1?τ)(τ?1)· [β2(a)，β(b)α(c)-b(-1)·β(c)α(b0)]}= [β2(a)，[β(b)，α(c)]]+ {(τ?1)(1?τ)[β2(a)，[β(b)，α(c)]]}+ {(1?τ)(τ?1)[β2(a)，[β(b)，α(c)]]}=0.

4廣義BiHom-結(jié)合代數(shù)

a(-1)?y(-1)?a0(-1)y0(-1)?(a00y00)X+

a(-1)?y(-1)?a0(-1)y0(-1)?(a00y00)Y，

(8)

對任意的a∈X和b∈Y，其中

a0y0=(a0y0)X+(a0y0)Y∈X+Y．

證明直接驗證.

a(-1)b(-1)·(xa0)(yb0)=

a(-1)·ε(y(-1))xb(a0y0)X+

x(-1)b(-1)·ε(a(-1))(ay0)Y(x0b0)，

(9)

對任意的a，b∈X和x，y∈Y，其中,

a0y0=(a0y0)X+(a0y0)Y∈X+Y．

證明類似于文獻[8].

證明計算過程與文獻[8]類似．

例5根據(jù)例4，設(shè){x1，x2，x3}為3維向量空間A中的基， 令X={x1}和Y={x2，x3}， 不難驗證X與Y是H-交換的廣義BiHom-結(jié)合代數(shù)，滿足A=X+Y.則A滿足等式[A，A][A，A]=0．

5BiHom--巴克斯特方程

φ(α(a))°αM=αM°φ(a)，

φ(β(a))°βM=βM°φ(a)，

φ([β(a)，b])°βM=

φ(αβ(a))°φ(b)-φ(a(-1)·β(b))°φ(α(a0)).

φ：L?M→M，a?ma·m，

(α+αM)(a，m)=(α(a)，αM(m))，

(β+βM)(a，m)=(β(a)，βM(m))，

對任意的a∈L，m∈M.括號積 [·，·]φ定義為

對任意的a，b∈L和m，n∈M．

證明計算過程與文[14]類似.

L′=k⊕L，α(a，x)=(a，α(x))，

β(a，x)=(a，β(x)).

對任意的(a，x)∈L′.定義B：L′?L′→L′?L′為

B((a，x)?(b，y))=(b，β(y))?(a，α(x))+

(1，0)?(0，[x(-1)·y，x0]).

則B為BiHom-楊-巴克斯特方程的解：

(αβ?(β?α)B)°((β?α)B?αβ)° (αβ?(β?α)B)=((β?α)B?αβ)° (αβ?(β?α)B)°((β?α)B°αβ)，

對于廣義BiHom-李代數(shù)(L′，α，β)．

證明首先驗證B與α，β是兼容的， 即，(α?α)°B=B°(α?α)與(β?β)°B=B°(β?β).令(a，x)，(b，y)∈L′， 計算如下,

(α?α)°B((a，x)?(b，y))=

(α?α)((b，β(y))?(a，α(x)) +

(1，0)?(0，[x(-1)·y，x0]))=

(b，αβ(y))?(a，α2(x))+

(1，0)?(0，α([x(-1)·y，x0]))，

B°(α?α)((a，x)?(b，y))=

B((a，α(x))?(b，α(y))) =

(b，αβ(y))?(a，α2(x))+

(1，0)?(0，α([x(-1)·y，x0])).

由此可見， (α?α)°B=B°(α?α).類似的可得(β?β)°B=B°(β?β)．

其次， 驗證B滿足BiHom-楊-巴克斯特方程.事實上， 對任意的(a，x)，(b，y)，(c，z)∈L′， 一方面， 計算可得

((β?α)B?αβ)°(αβ?(β?α)B)°

((β?α)B°αβ)((a，x)?(b，y)?(c，z))=

((β?α)B?αβ)°

(αβ?(β?α)B)(β?α){(b，β(y))?

(a，α(x))+(1，0)?(0，α([x(-1)·y，x0]))}?

(c，αβ(z))=((β?α)B?αβ)°

(αβ?(β?α)B){(b，β2(y))?(a，α2(x))?

(c，αβ(z))+(1，0)?(0，[x(-1)·α(y)，α(x0)])?

(c，αβ(z))}=((β?α)B?αβ){(b，αβ3(y))?

(β?α)((c，αβ3(z))?(a，α3(x)))+

(b，β2(y))?(β?α)((0，[x(-1)·α2(z)，αβ(x0)]))+

(1，0)?(β?α)((c，αβ2(z))?

(0，x(-1)·[α2(y)，α2(x0)]))+

(1，0)?(β?α)((1，0)?

(0，x(-1)y0(-1)x0(-1)·[[α(x00)，α(y0)]，αβ(z)]))}=

((β?α)B?αβ){(b，αβ3(y))?(c，αβ3(z))?

(a，α3(x))+(b，αβ3(y))?(1，0)?

(0，x(-1)·[α3(z)，α2β(x0)])+(1，0)?

(c，αβ3(z))?(0，x(-1)·[α3(y)，α3(x0)])+

(1，0)?(1，0) ?(0，x(-1)y0(-1)x0(-1)·

[[α2(x00)，α2(y0)]，α2β(z)])=

(c，αβ5(z))?(b，α3β3(y))?(a，α5β(x))

(10)

+(1，0)?(0，y(-1)·[α2β3(z)，α2β3(y0)])?

(a，α5β(x))

(11)

+(1，0)?(b，α3β3(y))?(0，x(-1)·

[α4β(z)，α3β2(x0)])

(12)

+(c，αβ5(z))?(1，0)?(0，x(-1)·

[α4β(y)，α3β2(x0)])

(13)

+(1，0)?(1，0)?(0，x(-1)y0(-1)x0(-1)·

[[α3(x00)，α3β(y0)]，α3β2(z)]).

(14)

類似的有

(αβ?(β?α)B)°((β?α)B?αβ)°

(αβ?(β?α)B)((a，x)?(b，y)?(c，z))=

(c，αβ5(z))?(b，α3β3(y))?(a，α5β(x))

(15)

+(c，αβ5(z))?(1，0)?(0，x(-1)·

[α4β(y)，α4β(x0)])

(16)

+(1，0)?(b，α3β3(y))?(0，x(-1)·

[α4β(z)，α3β2(x0)])

(17)

+(1，0)?(1，0)?(0，x(-1)x0(-1)x0(-1)·

[[α3β(x000)，α2β2(z)]，α4β(y)])

(18)

+(1，0)?(1，0)?(0，x(-1)y0(-1)x0(-1)·

[α4β(x00)，[α3β(y0)，α3β(z)]])

(19)

+(1，0)?(0，y(-1)·[α2β3(z)，α2β3(y0)])?

(a，α5β(x)).

(20)

顯然， (10)=(15)， (11)=(20)， (12)=(17)， (13)=(16).因此， 如果該等式 (14)=(18)+(19)成立， 則以上兩項是相等的， 即

(1，0)?(1，0)?(0，x(-1)y0(-1)x0(-1)·

[[α3β(x00)，α3β(y0)]，α3β2(z)])=

(1，0)?(1，0)?(0，x(-1)x0(-1)·

[[α3β(y)，α2β2(z)]，α4β(x00)])

+(1，0)?(1，0)?(0，x(-1)y0(-1)x0(-1)·

[α4β(x00)，[α3β(y0)，α3β(z)]]).

只需驗證下列等式，

y(-1)·[[α3β(x)，α2β2(z)]，α4β(y0)]+

[α4β(x)，[α3β(y)，α3β(z)]]=

[[α3β(x)，α3β(y)]，α3β2(z)]

利用L的斜對稱性， 有

[[α3β(x)，α3β(y)]，α3β2(z)]=

-y(-1)x(-1)·[α2β3(z)，[α4(x0)，α4(y0)]]

與

[[α3β(x)，α2β2(z)]，α4β(y)]=

-x(-1)y0(-1)·[α3β2(z)，[α4(y0)，α3β(x0)]]=

x(-1)y0(-1)x0(-1)·[α3β2(y0)，[α2β2(z)，α5β-1(x00)]].

則有

其中，

x*=α4β-1(x)，y*=α3(y)，z*=α2β(z)．

推論1符號如定理3， 則B是可逆的， 其逆如下：

B-1((a，x)?(b，y))=(b，α-1(y))? (a，β-1(x))+(0，[α-2(x)，α-1β-1(y)])?(1，0)，

對任意的(a，x)，(b，y)∈L′.進一步，B-1是廣義 BiHom-李代數(shù)(L′，α，β)的BiHom-楊-巴克斯特方程解．

證明首先驗證B°B-1=idL′?L′.事實上， 對任意的(a，x)，(b，y)∈L′， 有

(B°B-1)((a，x)?(b，y))=

B((b，α-1(y))?(a，β-1(x))+

B((0，[α-2(x)，α-1β-1(y)])?(1，0))=

(a，x)?(b，y)+(1，0)?

(0，x(-1)·[α-1(y)，β-1(x0)])+

(1，0)?(0，[α-1(x)，β-1(y)])+(1，0)?

(0，(x(-1)+y(-1))·[[α-2(y0)，α-1β-1(x0)]，0)=

(a，x)?(b，y)+

(1，0)?(0，x(-1)·[α-1(y)，β-1(x0)])+

(1，0)?(0，-x(-1)·[α-1(y)，β-1(x0)])=

(a，x)?(b，y).

因此B°B-1=idL′?L′.類似地， 可驗證B-1°B=idL′?L′.所以B-1是B的逆.此外， 不難驗證B-1是廣義 BiHom-李代數(shù)的BiHom-楊-巴克斯特方程解.

致謝感謝郭雙建教授對本文提出的寶貴意見．