略談“算法初步”教學的幾點建議

蔣永錄

[摘? 要] “算法初步”是新課標新增內(nèi)容，在高中數(shù)學中具有一定的地位. 結(jié)合教學實踐，提出幾點教學建議，即把握全局，突出素養(yǎng);著眼細節(jié)，發(fā)展能力;放大文化，凸顯價值.

[關(guān)鍵詞] 算法初步;高中數(shù)學;建議

“算法初步”是新課標新增內(nèi)容，它的課程目標是在學生已有的數(shù)學知識的基礎(chǔ)上，引導學生用算法思維解決問題，從而提高學生數(shù)學思想的應用能力，為學生將來的發(fā)展空間提供后備知識. 它在高中數(shù)學中具有一定的地位. 然而，“算法初步”畢竟是“算法知識”，教學中教師應如何把握好“度”呢？教學中應側(cè)重哪些知識點？在此，筆者提出了幾點教學建議，供同仁們參考，不當之處敬請斧正.

[?] 把握全局，突出素養(yǎng)

作為教師，必須牢牢把握住教材內(nèi)容，把握住教材編寫的思維導圖. “算法初步”的思維導圖（知識結(jié)構(gòu)圖）如圖1所示.

從思維導圖中不難看出，教學重點主要包括：①算法概念，即什么具有哪些特性;②程序框圖，即什么是程序框圖，如何畫程序框圖;③程序設(shè)計，即如何設(shè)計程序，如何將自然語言轉(zhuǎn)化為計算機語言;④算法在實際生活中的應用，即要求學生在理解算法的基礎(chǔ)上，要有意識地將算法思想應用到日常生活中，以提高解決具體問題的能力.

而從高考命題的角度來看，每年新課標高考對“算法初步”的考查僅僅是一個選擇題與填空題，以程序框圖為主，根據(jù)算法知識填寫程序框圖中的缺損部分，抑或讀懂程序框圖的意義，寫出算法程序運算的結(jié)果. 比如，2018年全國新高考Ⅱ卷就考查了下面這一道題：

為計算S=1-+-+…+-，設(shè)計了如圖（圖2）所示的程序框圖，則在空白框中應填入（? ）

A. i=i+1 B. i=i+2

C. i=i+3 D. i=i+4

此題要求考生模擬程序框圖的運行過程：S=N-T=

1-

+

-

+…+

-

;累加步長是2，則在空白處應填入i=i+2. 故選B.

從解答過程來看，本題在高考題中屬于送分題，這種命題模式正體現(xiàn)了“初步”兩字，本無可厚非. 但對這一章的教學僅僅是為了應考嗎？筆者認為“否”. 本章教學，教師應站在素質(zhì)教育和數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)的高度展開，為學生的全面發(fā)展打下基礎(chǔ). 比如，可以讓學生就同一個事件，從不同角度設(shè)計不同的算法，如“有8個小球，其中7個重量相同，僅有一個較重，用天平如何稱出哪個是較重的小球？”雖然教材不要求學生熟練地掌握算法設(shè)計，但這類問題往往能引發(fā)學生的興趣，教師可以抓住時機，讓學生從不同的算法設(shè)計中感知優(yōu)化算法的重要性，從而提高學生邏輯推理與數(shù)學建模等數(shù)學素養(yǎng).

[?] 著眼細節(jié)，發(fā)展能力

數(shù)學教學的目的是培養(yǎng)學生的數(shù)學能力，既然“算法初步”屬于新課標數(shù)學的教學內(nèi)容，因此發(fā)展數(shù)學能力也是該課程的最終目的. 閱讀教材不難看出，“算法初步”不是孤立的數(shù)學內(nèi)容，而是與其他知識有著緊密的聯(lián)系：可以是“算法初步”背景下的數(shù)列問題，可以是“算法初步”背景下的函數(shù)問題，可以是“算法初步”背景下的三角問題，還可以是數(shù)列背景下的“算法初步”問題，等等. 關(guān)注每個算法問題的細節(jié)，其實就是關(guān)注算法與其他知識的交匯，這類問題的解決，不僅能提高學生算法的應用能力，更能提高學生數(shù)學知識的綜合應用能力.

例如：程序框圖如圖（圖3）所示，當輸入n=3時，輸出的S的值為（? ）

A. B.

C. D.

分析：第一次循環(huán)：S=，i=2;第二次循環(huán)：S=+，i=3;第三次循環(huán)：S=++，i=4，滿足循環(huán)條件，結(jié)束循環(huán). 故輸出S=++=

1-+-+-

=. 故選B. 本題考查算法的同時，又考查了裂項相消法求數(shù)列之和.

又如：在實數(shù)的原有運算法則中，我們補充定義新運算“”，其中S=ab的運算原理如圖（圖4）中算法語句所示，則集合{y

y=（1x）·x-（2x），x∈[-2，2]}（注：“·”和“-”仍為通常的乘法和減法）的最大元素是（? ）

A. -1? B. 1? C. 6? D. 12

分析：利用算法語句和新定義得出函數(shù)的解析式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解.

由算法語句得S=ab=b2，a<b，

a，a≥b，所以y=（1x）·x-（2x）=x3-2，1<x≤2，

x-2，-2≤x≤1，其在[-2，2]上單調(diào)遞增，所以當x=2時，y取得最大值6，即集合中最大元素是6，故選C. 本題將“算法初步”與創(chuàng)新函數(shù)綜合在一起考查學生，更加突出學生的綜合素質(zhì)與數(shù)學能力.

對“算法初步”的教學內(nèi)容，教師應站在“大數(shù)學”的角度看待它，用聯(lián)系的觀點看待它，用發(fā)展的眼光審視它，著眼于每個細節(jié)，在每個細節(jié)上挖掘培養(yǎng)學生數(shù)學能力的價值. 這樣的教學，不僅有利于學生應試能力的提高，更能培養(yǎng)學生的綜合能力.

[?] 放大文化，凸顯價值

數(shù)學具有文化特征，是一種傳統(tǒng)的文化. 因此，數(shù)學有著深厚的文化底蘊與廣泛的應用價值. “算法初步”更是如此. 教師應該抓住其文化價值，以此來培養(yǎng)學生的學習興趣.

例如：一隊士兵有n個人，他們想過河，岸邊有一只小船和兩個愿意幫助他們過河的小孩，無論是士兵還是小孩，他們都會劃船，但由于小船承載力較小，一次只能承載兩個小孩或一個士兵，請大家開動腦筋，設(shè)計一個能讓這n個士兵都能到河對岸的運作方案.

本題引發(fā)了學生極大的興趣，紛紛躍躍欲試，通過嘗試，學生體會到：設(shè)計一種合理可行的算法，首先要明白算理，既要清楚方法，又要理清步驟. 自然語言能十分細致地表述想法，框圖則能從結(jié)構(gòu)上直觀清晰地反映出想法流程，而程序語句是為計算機“量身定做”的，是一種計算機語言，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，我們應學會不同語言之間的轉(zhuǎn)化.

又如：某工人師傅砌墻，砌第一層墻他用了全部磚的一半多一塊;砌第二層墻他用了剩下磚的一半又多一塊，以后他砌每一層墻都用了前一層砌完后剩下磚的一半多一塊，到第二十層時恰好剩下一塊磚，將其砌上，這堵墻也就砌完了.畫出計算這堵墻用磚塊數(shù)的程序框圖并編寫程序.

此題更是從算法角度詮釋數(shù)列問題，體現(xiàn)了算法的實際應用價值.

在教材的“算法案例”中，處處洋溢著數(shù)學文化，如韓信點兵、輾轉(zhuǎn)相除法、進位制等，都是極好的傳播數(shù)學文化的原始教材，教師一定要用足用好. 同時我們也應該看到，數(shù)學文化與“算法初步”的數(shù)學問題應運而生，應引起關(guān)注.

例如：在大約公元263年，我國古代數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，這個多邊形面積可以無限逼近圓的面積，這就是所謂的“割圓術(shù)”.利用這個“割圓術(shù)”，數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14. 如圖（圖5）所示的程序框圖，是根據(jù)劉徽的“割圓術(shù)”的思想設(shè)計的，則輸出n的值為（? ）（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）

A. 12? B. 24

C. 36? D. 48

本題將數(shù)學史、三角函數(shù)與“算法初步”綜合在一起，突出理性思維、宣傳數(shù)學文化. 模擬執(zhí)行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不滿足條件S≥3.10;n=12，S=6×sin30°=3，不滿足條件S≥3.10;n=24，S=12×sin15°=3.1056，滿足條件S≥3.10，退出循環(huán)，輸出n的值為24，故選B. 程序框圖是高考的熱點之一，幾乎是每年必考的內(nèi)容，命題趨勢正朝著數(shù)學文化的方向發(fā)展.

總之，教師應該把“算法初步”作為傳播數(shù)學文化、提高數(shù)學素養(yǎng)的載體，這樣的教學，才是值得推崇、才是學生應試得有意義的教學.