基于歷史名題的高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課教學(xué)

編者按

讓數(shù)學(xué)文化全面融入數(shù)學(xué)課堂，是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中提出的重要任務(wù). 浙江省義烏市王芳名師工作室自2010年與華東師范大學(xué)HPM（History and Pedagogy of Mathematics）工作室合作，在汪曉勤教授指導(dǎo)下開發(fā)了“數(shù)學(xué)文化與概念教學(xué)”方面的二十余個(gè)課例. 反思之際，深感“數(shù)學(xué)文化與解題教學(xué)”研究之迫切. 于是以歷史名題為依托，啟動(dòng)了“單元復(fù)習(xí)課”研究，借鑒《九章算術(shù)》《幾何原本》，提出了一個(gè)“以邏輯演繹、運(yùn)算建模為兩個(gè)維度設(shè)計(jì)歷史名題的問題框架”，并確定十節(jié)單元復(fù)習(xí)課以檢驗(yàn)研究的可行性與普適性，該研究成果已榮獲2021年浙江省精品數(shù)字教育資源優(yōu)秀獎(jiǎng). 像這種高校學(xué)者引領(lǐng)、一線教師擔(dān)綱的“數(shù)學(xué)文化與解題教學(xué)”HPM研究尚屬首次. 本期推出的三篇論文體現(xiàn)了從理論到實(shí)踐的研究脈絡(luò)，以期為數(shù)學(xué)教師進(jìn)一步開展數(shù)學(xué)文化教育提供參考.

[摘? 要] 以單元復(fù)習(xí)課為研究對象，探討數(shù)學(xué)歷史名題融入解題教學(xué)，縱深推進(jìn)數(shù)學(xué)文化教育常態(tài)化. 歷史名題具有反映數(shù)學(xué)本質(zhì)思想、培養(yǎng)高階數(shù)學(xué)思維、示范專業(yè)學(xué)習(xí)共同體等獨(dú)特優(yōu)勢. 受《九章算術(shù)》和《幾何原本》的啟迪，以“芻甍”為例，探討數(shù)學(xué)歷史名題運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)策略：從課標(biāo)、教材、學(xué)情等視角進(jìn)行教學(xué)分析，以“邏輯推理”“數(shù)學(xué)建?！眱煞N取向?yàn)榻?jīng)緯研發(fā)歷史名題，構(gòu)建問題框架，跨越古今中外，滲透數(shù)學(xué)文化，涵養(yǎng)人文情懷.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)文化;歷史名題;單元復(fù)習(xí);問題鏈

[?]引言

教育部在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》[1]的“課程結(jié)構(gòu)”中要求將“數(shù)學(xué)文化”全面融入課程內(nèi)容. 當(dāng)今，數(shù)學(xué)概念的文化內(nèi)涵越來越多地得以挖掘與運(yùn)用，但日常數(shù)學(xué)教學(xué)的另一主角——數(shù)學(xué)解題教學(xué)的變革相對緩慢，由此出現(xiàn)了：學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中激發(fā)出來的興趣、創(chuàng)意激情和探究精神被解題沖淡或壓抑，教師在概念教學(xué)中的創(chuàng)新突破因解題教學(xué)又被“打回了原形”，一些新穎的數(shù)學(xué)試題尤其是高考中的創(chuàng)新試題，一旦推出就被快速分解為技巧化、程式化訓(xùn)練……要使數(shù)學(xué)文化教育向縱深推進(jìn)，必須謀求解題教學(xué)的時(shí)代嬗變.

單元復(fù)習(xí)課是解題教學(xué)的常見課型，與章節(jié)的“概念教學(xué)”緊鄰，對接軌概念教學(xué)人文涵養(yǎng)、延續(xù)數(shù)學(xué)文化教育的意義重大. 在現(xiàn)實(shí)中，單元復(fù)習(xí)課并未得到應(yīng)有的重視，有“以考點(diǎn)關(guān)聯(lián)緊密的題目來復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)”[2]，或“將其設(shè)計(jì)成專題復(fù)習(xí)課，有了高三的味道”[3]. 存在著題目組建分散、教學(xué)主題模糊、知識(shí)內(nèi)容重復(fù)、教育功利化傾向等問題.

章建躍先生認(rèn)為解題的目的應(yīng)聚焦于加深理解和掌握“雙基”，學(xué)會(huì)思考、培養(yǎng)和發(fā)展思維能力……這些目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，根本上還要依靠“好題”[4]. 好的數(shù)學(xué)題能激活學(xué)生的思維，激發(fā)探究欲望，能調(diào)動(dòng)所學(xué)的概念和性質(zhì)，洞察數(shù)學(xué)本質(zhì)，獲得新的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知體驗(yàn). 然而，“提出好問題”對于大多數(shù)師生而言，并非易事. 早在2006年張奠宙先生就指出“提出好問題，是我們的薄弱環(huán)節(jié)”[5]，命制大量的“好題”更是難上加難.那么，數(shù)學(xué)文化中是否有現(xiàn)成的“好題”？如何挖掘與改造以貼合高中數(shù)學(xué)實(shí)際？如何組織與實(shí)施以提高單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)品質(zhì)？

[?]聚焦歷史名題，優(yōu)化單元復(fù)習(xí)

數(shù)學(xué)歷史名題是經(jīng)歷了歲月檢驗(yàn)而流傳下來的好問題. 所謂歷史名題，是在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長河中形成的，對數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)教學(xué)等方面起過或仍然起著重要作用，在數(shù)學(xué)史上產(chǎn)生較大影響、對數(shù)學(xué)發(fā)展有一定推動(dòng)作用或在公眾中引起廣泛反響的數(shù)學(xué)問題[6]. 它們猶如數(shù)學(xué)世界的璀璨明珠，成為數(shù)學(xué)文化的鮮活代言. 歷史名題在單元復(fù)習(xí)中具有獨(dú)特優(yōu)勢.

1. 梳理單元知識(shí)，揭示本質(zhì)思想

歷史名題中蘊(yùn)含著歷代數(shù)學(xué)大師的智慧和力量. 例如，狄利克雷函數(shù)D（x）=0，x是無理數(shù)，

1，x是有理數(shù)表達(dá)了x與y一一對應(yīng)的現(xiàn)代函數(shù)觀，也是周期為任意非零有理數(shù)的典例.通過函數(shù)y=ln（x+1）與y=x，y=x-x2，y=x-x2+x3，…隨著求導(dǎo)階數(shù)的增加，直觀表現(xiàn)出了麥克勞林在x=0的鄰域中以多項(xiàng)式函數(shù)擬合某函數(shù)值的數(shù)學(xué)思想（如圖1所示），揭示了微積分“以直代曲”“以曲代曲”無限逼近的數(shù)學(xué)本質(zhì). 歷史名題還是催生新分支的誘因. 17世紀(jì)，“德·梅爾問題”促進(jìn)了早期概率論的創(chuàng)立;18世紀(jì)，“哥尼斯堡七橋問題”啟蒙了圖論的誕生;19世紀(jì)，“四色問題”開拓了計(jì)算機(jī)證明數(shù)學(xué)定理的前景. 這些名題博大精深，與相應(yīng)的單元知識(shí)天然交融，是培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有機(jī)載體.

y=ln（x+1）

2. 培養(yǎng)理性思維，樹立學(xué)習(xí)榜樣

對于解題，波利亞（George Polya，1887—1985）曾言“未來的數(shù)學(xué)家應(yīng)該是一個(gè)聰明的解題者”[7]. 在單元復(fù)習(xí)課中，各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)不再囿限于新課時(shí)序，而被置于同一認(rèn)知范疇中，此時(shí)學(xué)生所持有的知識(shí)系統(tǒng)與數(shù)學(xué)家接近，便于彼此對照. 英國數(shù)學(xué)教育家舍費(fèi)爾德在《數(shù)學(xué)解題》中曾比較兩位學(xué)生和一位數(shù)學(xué)家的解題過程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)家的思維要復(fù)雜得多[8]，主要表現(xiàn)在：（1）在采用某一方法或解題途徑前對各種可能性仔細(xì)地考慮后才動(dòng)手解題. （2）在陷入思維誤區(qū)或思路糾纏時(shí)，總能清醒地告誡自己要干什么、已有的信息是什么、根據(jù)這些信息做了什么、為什么要這樣做. （3）即使出現(xiàn)了錯(cuò)誤或曲折，并非簡單地拋棄已有的工作，而是從中汲取有益的成分.利用歷史名題，可以讓學(xué)生與數(shù)學(xué)家進(jìn)行比較、對照，然后反思，成長為“聰明的解題者”.

3. 示范專業(yè)學(xué)習(xí)，構(gòu)建研修社群

數(shù)學(xué)文化意味著數(shù)學(xué)活動(dòng)的“社會(huì)性”.在此意義上，教室內(nèi)的學(xué)生、歷史上的數(shù)學(xué)家構(gòu)成了“共同體”，成員的觀念、行為將受到所屬群體的社會(huì)因素的影響.在學(xué)習(xí)氛圍濃郁的班級可以看到：若干學(xué)生聚集討論不同的解法，某學(xué)生的解法被贊同后遭受質(zhì)疑或自我否定，某種不規(guī)范解答蘊(yùn)含了豐富的直覺力與創(chuàng)造力……類似的情形在歷史上也有發(fā)生，如“費(fèi)馬大定理”. 1847年，法國數(shù)學(xué)家拉梅（Lame，Gabriel，1795—1870）與柯西（Cauchy，Augustin Louis，1789—1857）在同一會(huì)場先后宣布自己差不多證明了這一猜想，數(shù)月后德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺枺↘ummer，Ernst Eduard，1810—1893）指出他們所依據(jù)的一個(gè)定理不成立，英國數(shù)學(xué)家懷爾斯（Andrew Wiles，1953—）在1993年作出了證明又自己發(fā)現(xiàn)了缺陷并修補(bǔ)了漏洞. 可見，“學(xué)生”與“數(shù)學(xué)家”組成的兩類共同體存在著行為方式的相似性. 歷史名題以課堂空間換取歷史時(shí)間，通過共同體的對話，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的文化傳統(tǒng)、研究范式與探究精神.E227C040-01ED-487B-B6E2-172084992B78

[?]尋根經(jīng)典名著，研發(fā)歷史名題

一節(jié)單元復(fù)習(xí)課可能用到一個(gè)或多個(gè)歷史名題，這些名題通常需經(jīng)過改造才能適用于課堂. 有研究認(rèn)為：基于數(shù)學(xué)史料的問題提出策略至少有七類[9]，包括“復(fù)制式”“條件式”“目標(biāo)式”“鏈接式”等，這些方法同樣適用于歷史名題. 簡單的歷史名題需要提升，較難的則佐以鋪墊，“前鋪”與“后陳”之后又會(huì)形成多個(gè)數(shù)學(xué)問題.要使諸多問題形成清晰的結(jié)構(gòu)，關(guān)鍵要研發(fā)這些問題的價(jià)值取向. 對此，不妨從數(shù)學(xué)的傳世名著中尋找借鑒.

1. “演繹推理”取向的歷史名題

《幾何原本》被譽(yù)為“世上最美麗的邏輯劇本”[10]，是結(jié)構(gòu)緊致、邏輯嚴(yán)密的典范. 以《幾何原本》第一卷“幾何基礎(chǔ)”為例，本卷介紹了定義、公設(shè)、公理之后，相繼論證了48個(gè)命題. 今擇若干梳理如下.

歐幾里得先根據(jù)定義1.15，再根據(jù)公理1.1，得到：

命題1.1 已知一條線段可作一個(gè)等邊三角形.

推導(dǎo)命題1.2時(shí)用了六步，依次根據(jù)公設(shè)1.1、命題1.1、公設(shè)1.2、公設(shè)1.3、公理1.3、公理1.1，得到：

命題1.2 從一個(gè)給定的點(diǎn)可以引一條線段等于已知的線段.

依次根據(jù)命題1.2、公設(shè)1.3、定義1.5、公理1.1，得到：

命題1.3 給定兩條不等線段，可以在較長的線段上切取一條線段等于較短的線段.

依次根據(jù)命題1.1、命題1.3、命題1.8、定義1.10，得到：

命題1.11 過一條直線上的一個(gè)點(diǎn)，可以作該直線的垂線.

依次根據(jù)定義1.10、命題1.11、公理1.2、公理1.1，得到：

命題1.13 兩條直線相交，鄰角是兩個(gè)直角或者相加等于180°.

依次根據(jù)命題1.13、公設(shè)1.4、公理1.1、公理1.3，得到：

命題1.14 兩條不在一邊的射線過任意直線上的一點(diǎn)，所構(gòu)成的鄰角若等于兩個(gè)直角的和，那么這兩條射線構(gòu)成一條直線.

依次根據(jù)命題1.11、命題1.3、公設(shè)1.1、公理1.2、命題1.47、公理1.1、命題1.8，得到：

命題1.48 在一個(gè)三角形中，如果一邊為邊的正方形等于另兩邊為邊的正方形之和，那么，后兩邊的夾角是直角.

將以上命題關(guān)系整理成圖2.

通過這個(gè)有序組織傳達(dá)了該卷主題——公理化思想. 歐幾里得設(shè)定“點(diǎn)、線、面、角”為一切存在的始基，從5個(gè)公理、5個(gè)公設(shè)、23個(gè)定義出發(fā)，把大量有關(guān)各種幾何圖形性質(zhì)的命題以公理化方法組織起來，建立了一個(gè)空間秩序久遠(yuǎn)而權(quán)威的歐氏幾何體系. 沿著歐氏組織各個(gè)命題的邏輯線索探究下去，給人一種欲罷不能的、持之以恒的吸引力.

由此得到啟發(fā)：

（1）歷史名題的組織要有“整體性”，始終圍繞主干知識(shí)與核心觀念. 從圖2可以看出，第一卷從命題1.1至命題1.48，前者有關(guān)正三角形，后者有關(guān)正方形，歐幾里得用這兩個(gè)特殊的幾何圖形作了首尾呼應(yīng)，形成了渾然天成之感;并且，歐幾里得總是用已證明的命題作為論證的基礎(chǔ)，依靠確切的依據(jù)、嚴(yán)密的邏輯得出后繼命題，使公理化思想昭然若揭.在課堂中展現(xiàn)這種整體構(gòu)架，有利于學(xué)生快速把握單元復(fù)習(xí)的內(nèi)容、重點(diǎn)，宏觀了解教學(xué)的推進(jìn)狀態(tài).

（2）題目之間以“問題鏈”連接，連接的依據(jù)是數(shù)學(xué)的基本要素. 命題1.1→命題1.2→命題1.3，是關(guān)于點(diǎn)與線段、長度的等與不等的基本問題;命題1.11→命題1.13→命題1.14，是關(guān)于簡單的幾何位置關(guān)系（包括角度）的問題;命題1.48是特殊的幾何圖形——正方形的問題. 縱橫兩個(gè)方向都采用了“問題鏈”的方式，這種逐層遞進(jìn)的方式能使學(xué)生置身于數(shù)學(xué)思考的情境，避免陷入“題?！?，不僅有助于學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，還能啟發(fā)學(xué)生提出新的問題.

（3）“問題鏈”的設(shè)計(jì)要兼顧“開放性”. 觀察第一卷“幾何基礎(chǔ)”的最后一個(gè)命題——命題1.48，與第二卷“幾何與代數(shù)”的第一個(gè)命題——命題2.1“兩條線段，其中一條被截分成許多段，那么以這兩條線段為邊構(gòu)成的矩形的面積等于各截線段與未截的那條線段為邊構(gòu)成的矩形的面積和”構(gòu)成了新的聯(lián)系，比第一卷顯然上了一個(gè)層次. 這種開放性為學(xué)生探究未知的數(shù)學(xué)設(shè)立了伏筆，雖然它“離開基礎(chǔ)比較遠(yuǎn)一些，也應(yīng)該有所接觸，提高數(shù)學(xué)思維水平，擴(kuò)展數(shù)學(xué)視野”[5].

此外，圖2中所有命題的邏輯推演都運(yùn)用了定義、公設(shè)、公理等，如從命題1.13推導(dǎo)出命題1.14就運(yùn)用了2個(gè)公理和1個(gè)公設(shè)，根據(jù)需要隨時(shí)調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)，確保在單元復(fù)習(xí)課中問題解決與知識(shí)復(fù)習(xí)的兼顧.

2. “運(yùn)算建?！比∠虻臍v史名題

《九章算術(shù)》構(gòu)造了中國數(shù)學(xué)的算法體系，是經(jīng)世致用、運(yùn)算建模的典范. 它系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，以籌算為基礎(chǔ)、從問題出發(fā)、以解決問題為宗旨，提供了諸多簡練有效的運(yùn)算操作模式. 《九章算術(shù)》中的246個(gè)題目并非簡單的堆砌羅列，而是通過“舉一反三”以詮釋其操作模式. 以《九章算術(shù)》第五卷“商功”中的問題（18）至問題（22）為例.

問題（18）：

今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈. 問積幾何？（注：1丈=10尺，1米=3尺）

答曰：五千尺.

術(shù)曰：倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一.

芻童、曲池、盤池、冥谷，皆同術(shù).

術(shù)曰：倍上袤，下袤從之，亦倍下袤，上袤從之，各以其廣乘之，并，以高若深乘之，皆六而一. 其曲池者，并上中、外周而半之，以為上袤;亦并下中、外周而半之，以為下袤.

“芻甍”的本義為蓋上草的屋脊，這里指底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，如圖3所示. 問題（18）翻譯成現(xiàn)代文，即a=2丈，b=4丈，c=3丈，h=1丈，求楔體的體積.“術(shù)”的意思是把下底邊長b乘2，加上邊長a后乘c，再乘高h(yuǎn)，然后除以6，得計(jì)算楔體的體積公式V=，代入數(shù)據(jù)即得芻甍的體積V==5（立方丈）.E227C040-01ED-487B-B6E2-172084992B78

《九章算術(shù)》沒有給出公式推導(dǎo)，而是強(qiáng)調(diào)“芻童、曲池、盤池、冥谷，皆同術(shù)”，其中芻童、盤池、冥谷分別指上下底面皆為長方形的草垛、土坑、墓坑（圖4的左圖），曲池指上下底面皆為扇形的水池（圖5的右圖）. 顯露出對模型進(jìn)行算法建構(gòu)與運(yùn)用的取向，這與單元復(fù)習(xí)課突出核心思想方法的目標(biāo)是一致的.

由此得到啟發(fā)：

（1）配套同類設(shè)計(jì)，為學(xué)習(xí)者架設(shè)建模的階梯. 《九章算術(shù)》以問題（18）建立模型，隨即給出了問題（19）——“今有芻童，下廣二丈，袤三丈，上廣三丈，袤四丈，高三丈.問積幾何？”該芻童可直觀切割出兩個(gè)芻甍（如圖4所示），根據(jù)“術(shù)”，兩次運(yùn)用公式V=，可得V芻童==26.5（立方丈）. 先幫助學(xué)習(xí)者熟悉公式V=的結(jié)構(gòu)，然后以問題（20）、問題（21）、問題（22）進(jìn)行鞏固.

（2）同類問題有變化、引申與拓廣，以增長學(xué)習(xí)智慧. 問題（20）求的是曲池（圖5的右圖）的體積，運(yùn)用公式V=，把多面體芻童推廣到曲面幾何體，表達(dá)了我國古代數(shù)學(xué)以常見的幾何體為基本模型、解決實(shí)際問題的特點(diǎn). 其實(shí)，這里還隱含著微積分雛形，顯示出“冪勢既同，則積不容異”的數(shù)學(xué)思想.

（3）為模型賦予實(shí)際情境，滲透經(jīng)世致用與品格陶冶. 問題（21）求的是盤池的體積，之后緊隨了一個(gè)“負(fù)土筑池”的問題：“今有盤池，上廣六丈，袤八丈，下廣四丈，袤六丈，深二丈. 問積幾何？”[11]隨后根據(jù)工人負(fù)土行走難度不同制定了工費(fèi)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)：背筐運(yùn)土往來70步，其中20步上下腳手架，在腳手架上行走每2步當(dāng)作平步5步計(jì)算，身上背筐步履艱難，每10步當(dāng)11步計(jì)算，現(xiàn)場裝卸所用的時(shí)間折算成30步……從中可以感受到，數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)的情境遠(yuǎn)比想象的復(fù)雜，負(fù)土過程描述了勞動(dòng)的艱辛，步數(shù)的折算考驗(yàn)著管理者的智慧與公平. 類似例子在《九章算術(shù)》中大量存在.

[?]教學(xué)建議

1. 拓寬分析視角，精選歷史名題

運(yùn)用歷史名題，忌為歷史而歷史，忌因名題而陷入“題?！?，科學(xué)分析教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，恪守運(yùn)用歷史名題的初衷，更好地幫助學(xué)生進(jìn)行單元復(fù)習(xí). 從課標(biāo)視角細(xì)化單元的教學(xué)要求，注意核心素養(yǎng)在不同階段的學(xué)習(xí)定位、不同單元相應(yīng)的德育目標(biāo);從教材視角分析單元在新版教材中的位置、與前后章節(jié)的關(guān)系，厘清主干知識(shí)與核心思想方法;從學(xué)生視角剖析認(rèn)知特點(diǎn)，關(guān)注單元學(xué)習(xí)過程中的困難，根據(jù)群體特點(diǎn)制定學(xué)習(xí)共同體的建設(shè)方案.

把單元教學(xué)與歷史名題作為兩大客體進(jìn)行辯證分析，使歷史名題既凸顯新理念又能回應(yīng)現(xiàn)實(shí)：哪些因素引發(fā)了執(zhí)教者求索于數(shù)學(xué)史？與該單元相關(guān)的歷史名題有哪些？選擇某個(gè)歷史名題的依據(jù)是什么？以怎樣的方式進(jìn)入教學(xué)？選擇的歷史名題能達(dá)到怎樣的教育效果？在擴(kuò)展視野時(shí)，要立足課標(biāo)教材，尊重課堂學(xué)情，使歷史名題更好地匹配于教育教學(xué).

2. 圖式名題關(guān)系，構(gòu)建問題框架

不因追求演繹高度而盲目加大問題難度，也不因諱言操練而回避規(guī)律性總結(jié)與鞏固. 吳文俊先生認(rèn)為：“在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，數(shù)學(xué)機(jī)械化算法體系與數(shù)學(xué)公理化演繹體系曾多次反復(fù)消長，交替成為數(shù)學(xué)發(fā)展的主流.”[12]《幾何原本》與《九章算術(shù)》代表了中西方數(shù)學(xué)的文化傳統(tǒng)，兩種取向并重，能使歷史名題的教育效果倍增. 不妨借鑒圖4，把這兩種取向作為問題設(shè)計(jì)的兩個(gè)維度. 縱向以“邏輯演繹”為導(dǎo)向設(shè)計(jì)逐層遞進(jìn)的“問題鏈”，感悟數(shù)學(xué)的理性;橫向以“運(yùn)算建?！睘閷?dǎo)向設(shè)計(jì)同類鞏固的“問題鏈”，鞏固落實(shí)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn). 雙鏈合璧，形成一個(gè)基于歷史名題的問題框架.

以下作一范例：將《九章算術(shù)》第五卷“商功”中的問題（18）、問題（19）、問題（20）分別歸作一類，作為問題1.1、問題1.2、問題1.3，完成“了解算法→運(yùn)用算法→拓廣算法”，形成“運(yùn)算建模1”——芻甍的體積公式.

通過問題1.1設(shè)計(jì)問題2.1：證明芻甍的體積公式V=.

作輔助線（如圖6所示），可得直三棱柱EAD-FBC的體積V=S·EF=ach，四棱錐F-BBCC的體積V=S·h=··c·h=，而四棱錐E-AADD的體積與之相等，運(yùn)用割補(bǔ)法得到芻甍的體積V=V+2V=.

繼續(xù)以芻童、曲池、盤池等設(shè)計(jì)問題2.2……形成“運(yùn)算建模2”——出入相補(bǔ)原理.

受“負(fù)土筑池”的啟發(fā)，增加實(shí)際情境，設(shè)計(jì)問題3.1……形成“運(yùn)算建模3”——合理的數(shù)據(jù)運(yùn)算與分析.

將以上問題組織為圖7.

3. 跨越時(shí)空交流，彰顯人文內(nèi)涵

基于歷史名題的單元復(fù)習(xí)課，不能一味地解題，而是要關(guān)注名題的社會(huì)背景、文化差異，凸顯各個(gè)題目之間的人文關(guān)系，開放課堂交流，集結(jié)共同體的智慧，共同領(lǐng)略歷史名題的方法之美、探究之樂、文化之魅.例如，用“出入相補(bǔ)原理”求芻童的體積時(shí)，可以出現(xiàn)多種方案（如圖8所示）.

方案①②：把芻童分解成2個(gè)芻甍;方案③：右側(cè)分解出一個(gè)芻甍但左側(cè)需要繼續(xù)切割;方案④：補(bǔ)形出一個(gè)更大的芻甍后，所求體積為V-V;方案⑤：補(bǔ)形存在著思維漏洞，即四條側(cè)棱延長后未必相交于一點(diǎn)，這與教材中的習(xí)題類似（如圖9所示）[13]，是學(xué)生學(xué)習(xí)棱臺(tái)概念的典型錯(cuò)誤. 棱臺(tái)由棱錐截得，上下底面平行且四條側(cè)棱延長后相交于同一點(diǎn). 圖9①即芻童，其上下底面平行，但四條側(cè)棱卻可以不交于同一點(diǎn).

該幾何體在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在（如高臺(tái)、凳子等）. 學(xué)生難以理解：如此常見的幾何體為什么沒有成為歐氏體系中的“基本幾何體”？從中可見我國古代數(shù)學(xué)的“實(shí)用主義”與西方數(shù)學(xué)的“抽象主義”的文化差異. 事實(shí)上，用芻甍切割芻童比用棱臺(tái)、棱錐來切割要顯得簡單，這體現(xiàn)了一種文化的內(nèi)在和諧性. 在a=b時(shí)芻甍即棱柱，又體現(xiàn)了多元文化的互通共融. 兩種取向都具有去粗存精、至精至簡的思想內(nèi)涵.

[?]總結(jié)展望

從數(shù)學(xué)到解題是智力的角逐，而從解題到數(shù)學(xué)則是觀念的回歸. 近幾年高考卷中人文色彩濃郁的考題嶄露頭角，顯示出數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)解題的廣闊前景. 高中數(shù)學(xué)課程中存在著大量的歷史名題，如函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的泰勒公式、麥克勞林公式，解析幾何中的阿基米德三角形、阿波羅尼斯圓，數(shù)列中的斐波那契數(shù)列、奧雷姆問題，等等，它們自帶文化基因，又融合于單元之中，是推進(jìn)數(shù)學(xué)文化全面融入高中數(shù)學(xué)課程的重要載體.

以歷史名題為契機(jī)，挖掘數(shù)學(xué)解題的文化內(nèi)涵，提升教師設(shè)計(jì)問題的層次，讓學(xué)生經(jīng)歷高品質(zhì)的解題過程，從而感受數(shù)學(xué)理性的思維范式與認(rèn)識(shí)模式，以及獨(dú)特的美學(xué)維度與價(jià)值判斷，實(shí)現(xiàn)立德樹人的教育效果.

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