初中數(shù)學(xué)三角形輔助線的構(gòu)造方法

楊魁平

（遵義市第五十五中學(xué) 貴州 遵義 563000）

初中階段數(shù)學(xué)學(xué)科中很多幾何問題的解答，都需要制作輔助線，但是如何有效地使用輔助線，就是解答問題的難點，所以在進行此類問題學(xué)習(xí)的時候?qū)W生會接觸到多種輔助線的運用方法，基于輔助線使用的靈活性強，所以在實際運用的時候要具體問題具體分析，不能直接套用現(xiàn)有的輔助線制作方法。例如在解答新的平面幾何問題的時候，不能從已有制作輔助線的經(jīng)驗中獲得啟示，但還是要分析這些輔助線。隨著教師對幾何解題教學(xué)研究的深入，找出幾種幾何變換的方法，希望可通過此解答幾何問題。基于此本文站在幾何變換的角度，對平面幾何問題中輔助線的運用進行研究。

1.輔助線在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用價值

新課程標(biāo)準(zhǔn)與中考數(shù)學(xué)考試指南，都提出“空間與圖形”是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點。一方面，需要學(xué)生能夠更加直觀感受與理解幾何的知識，如三角形相似、全等內(nèi)容學(xué)習(xí)的時候，學(xué)生可以快速反映出題目中的條件與圖形，挖掘三角形圈定或者相似方面性質(zhì)的條件，進而證明。另一方面，學(xué)生在進行幾何問題解答的時候，提升了自己的逆向思維與推理能力。這樣在解決復(fù)雜的幾何問題的時候，輔助線的作用就顯現(xiàn)出來了，以其合理引入為前提，轉(zhuǎn)化幾何問題?，F(xiàn)在新課改要求學(xué)生在進行“空間與幾何”問題解答的時候，提升幾何直觀能力，并能通過幾何體的表面條件能夠看到另一個層次，因此當(dāng)看到幾何事物的時候，就會聯(lián)想到已學(xué)知識，建立連接。一般來說就是通過圖形為依托，進行深度思考，其中借助輔助線的工具，可助學(xué)生將已知條件與新創(chuàng)建的條件結(jié)合，進而解決幾何問題。據(jù)此，在初中數(shù)學(xué)幾何問題的解答中，可以使用輔助線，在一定城府下，幫助學(xué)生提升幾何直觀素養(yǎng)，發(fā)展幾何推理發(fā)展提供適合的途徑。在學(xué)生解答幾何問題的時候引入輔助線，可適當(dāng)克服解題過程中產(chǎn)生的思維阻力，更快感知解答思路。在此輔助線在幾何問題解答中起到的作用為：

1.1 顯示圖形中的隱藏條件

很多幾何問題的編制，為了考察學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與推理能力，會將本就存在的線段隱藏起來，此就間接地增加了問題的難度。學(xué)生結(jié)合已知條件在圖形中增加輔助線，在一定程度上補充了原來的圖形，還隱藏了定理與性質(zhì)直接展現(xiàn)出來。另外還能助學(xué)生清晰解題思路，借助已有知識，快速解答此類問題。

1.2 根據(jù)已知條件，為未知答案構(gòu)建“橋梁”

很多幾何問題中條件與未知無直接聯(lián)系，學(xué)生按照正常的思想無法分析，不能建立與多條件之間的關(guān)系，所以不能充分發(fā)揮各個條件的作用。但是通過輔助線的使用，就能將原本不能建立起來的聯(lián)系構(gòu)建起來，充分利用所給條件為未知結(jié)論的解答做有利紐帶。

1.3 有效轉(zhuǎn)化問題 由于幾何問題比較復(fù)雜，所以學(xué)生在讀完題目后，不能依據(jù)自身思維，建立適合的數(shù)量關(guān)系，另外面對此類問題，學(xué)生還會產(chǎn)生退縮心理。而輔助線的運用，就會將原有復(fù)雜的問題進行分解與重新整合，快速找到適合的突破口，將復(fù)雜的問題向簡單轉(zhuǎn)化，縷清解題思路快速整合。

2.初中數(shù)學(xué)三角形輔助線的構(gòu)造方法

2.1 遇角平分線構(gòu)造的輔助線

初中生學(xué)習(xí)三角形之后，在解題的時候經(jīng)常會遇到角平分線的問題，內(nèi)角平分線與外角平分線的運用與處理則成為解答問題的方法，如運用角平分線的性質(zhì)證明三角全等或者三角形線段、角的相等?；蛘呃媒瞧椒志€的對稱性質(zhì)，翻折圖形，然后進行推理論證與計算。在此，可根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)，總結(jié)幾種做輔助線的方法，即過角平分線上的點，向兩邊取相等的線段；過角平分線上的點，向兩邊做垂線段；過三角形角一邊上的點，做角平分線垂線；過角平分線上的點，做一邊的平行線。

圖1

圖2

第二，一個角先做出角平分線，然后在角平分線上分別向角的兩邊，做相等的線段，形成的兩個三角形是全等的。例2，如圖2，三角形中，∠C=2∠B，AD是∠BAC的平分線，請證明DC=AB-AC。此問題就是根據(jù)AD平分∠BAC，在AB上截取一點E，讓AE=AC，在此就構(gòu)建兩個全等三角形。找到點E后，連接DE，可知∠C=∠AED，CD=ED，再根據(jù)題目給出的條件，得到∠C=2∠B，∠AED=∠EDB+∠B，得到EB=ED. DC=BE，又因為BE=AB-AE=AB-AC，由此可證DC=AB-AC。

第三，角一邊上的一點，做角平分線的垂線。此垂足為三角形底邊上的中點，而此角平分線所在的直線，又是底邊上的高與中線所在直線，在此就可運用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)證明。OE是∠AOB的角平分線，做OE的垂線與直線OA相較于點D，延伸DE，與OB相交與點F，在此三角形ODF為等腰三角形，角平分線OE與三角形底邊DF上的高與中線為一條直線。例3，三角形ABC中，CD是∠ACB的角平分線，AD與CD垂直，DE和BC平行，求EB=EA。此證明題根據(jù)兩直線平行，在證明點D是AD所在某直線的中點即可，在此延長AD，與BC相較于F，再根據(jù)CD是∠ACB的角平分線與AD垂直于CD，得到三角形ACD與FDC全等，在此得到AD=FD，最后可證明EA=EB。

第四，過角平分線上的點，做邊的平行線，可得其線段與該線所截的交的邊長度相等。例4，∠AOB為30°，OD是角平分線，過點D做DC與OA垂直，與OA相較于點C，若DC=4，求OC的長。分析題意，可根據(jù)OD是∠AOB的平分線，想到過點D，構(gòu)建等高三角形，所以過點D做ED與OB平行，然后依據(jù)等腰三角形性質(zhì)求解。再根據(jù)題目中給出的∠AOB的度數(shù)，依據(jù)等角轉(zhuǎn)換，得到包含30°的直角三角形。

2.2 遇邊上中點構(gòu)造的輔助線

初中階段的數(shù)學(xué)，關(guān)于三角形的問題，較多與三角形得中位線、中線有關(guān)?；诖似矫鎺缀螁栴}的解答，可根據(jù)邊上的中點做三角形的中線或者中位線解答。

2.3 遇邊上的高構(gòu)造的輔助線

在學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的高后，就可根據(jù)其有關(guān)性質(zhì)做輔助線。

第二，直角三角形中可做斜邊上的高，然后以“等角的余角相等”或“同角的余角相等”證明三角形相似，進而利用成比線段求解問題。直角三角形ABC中的∠C=90°，過點C直線AB的垂線，與其相較于點D，則有∠A=∠BCD，∠B=∠DCA，三角形ABC與CBD與ACD相似，進而有很多成比例的線段。

結(jié)論

初中平面幾何作為數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)課程，教師要有效培養(yǎng)學(xué)生解答幾何問題的能力，在三角形問題的解答中，輔助線的構(gòu)造很重要，可構(gòu)成新的圖形，組建新的關(guān)系，進而增加解題條件，提升解題效率。