含中性點(diǎn)參數(shù)的三相變壓器建模及其在潮流計(jì)算中的應(yīng)用

姚玉斌，張悅，王愛(ài)芳

(大連海事大學(xué) 船舶電氣工程學(xué)院，遼寧 大連 116026)

0 引 言

潮流計(jì)算是電力系統(tǒng)計(jì)算和分析的基礎(chǔ)，相較于輸電系統(tǒng)，配電系統(tǒng)的三相不平衡問(wèn)題格外突出，無(wú)法直接采用單相潮流算法進(jìn)行計(jì)算分析，因此對(duì)配電系統(tǒng)進(jìn)行三相潮流計(jì)算是十分必要的[1-2]。變壓器作為電力系統(tǒng)中最重要的電力設(shè)備之一，建立變壓器的三相模型也是配電網(wǎng)潮流計(jì)算的基礎(chǔ)工作[3-4]。

建立詳細(xì)的變壓器三相模型需注意以下因素，如考慮銅損和鐵損、相位偏移問(wèn)題，以及考慮中性點(diǎn)接地和不接地的變壓器模型等[5-8]。變壓器的實(shí)用模型可以由漏磁導(dǎo)納矩陣和鐵損等值回路兩部分表示[6,9]，鐵損等值回路通常作為功率損耗合并至節(jié)點(diǎn)負(fù)荷或按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算[6]，變壓器建模時(shí)不再考慮勵(lì)磁回路部分。漏磁導(dǎo)納矩陣又稱節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，變壓器三相建模的關(guān)鍵是得到變壓器的三相節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。

目前廣泛采用對(duì)稱分量法和關(guān)聯(lián)矩陣法對(duì)變壓器節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣進(jìn)行推導(dǎo)，如文獻(xiàn)[6, 10]采用基于序分量的對(duì)稱分量法對(duì)變壓器節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣進(jìn)行推導(dǎo)，由文獻(xiàn)[10]可知，對(duì)稱分量法將變壓器的電壓(電流)相量分解為正、負(fù)、零序分量，有著計(jì)算速度快，占用內(nèi)存較小等優(yōu)點(diǎn)，但對(duì)稱分量法不能在變壓器參數(shù)不對(duì)稱時(shí)使用。文獻(xiàn)[11]采用基于相分量的關(guān)聯(lián)矩陣法對(duì)變壓器節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣進(jìn)行推導(dǎo)，關(guān)聯(lián)矩陣法可直接對(duì)變壓器三相整體建模，較為直觀，更適合應(yīng)用于三相不對(duì)稱的計(jì)算中。但對(duì)于繞組連接方式為中性點(diǎn)不接地的星形接線，由于其中性點(diǎn)電位不為零，變壓器的繞組支路電壓與節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系不再是關(guān)聯(lián)矩陣，傳統(tǒng)的關(guān)聯(lián)矩陣法便不再適用。因此文獻(xiàn)[12]提出了基于電氣量變換矩陣法的三相變壓器建模方法，解決了中性點(diǎn)不接地星形接線的變壓器三相模型問(wèn)題，但該方法的電壓變換矩陣和電流變換矩陣不再互為轉(zhuǎn)置，推導(dǎo)也較為復(fù)雜。目前中性點(diǎn)不接地星形接線的變壓器模型中沒(méi)有中性點(diǎn)電氣量，進(jìn)行潮流計(jì)算時(shí)，無(wú)法直接求出中性點(diǎn)電壓。因此需要對(duì)中性點(diǎn)不接地星形接線的變壓器三相模型進(jìn)行研究，以推導(dǎo)其節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。

文中分析了中性點(diǎn)不接地星形接線方式的變壓器關(guān)聯(lián)矩陣的特點(diǎn)，推導(dǎo)出了相同連接方式不同組別標(biāo)號(hào)變壓器關(guān)聯(lián)矩陣的相互聯(lián)系，提出了基于關(guān)聯(lián)矩陣法的含中性點(diǎn)參數(shù)的變壓器模型建立方法。通過(guò)文中方法可使關(guān)聯(lián)矩陣法應(yīng)用于中性點(diǎn)不接地的星形接線方式的變壓器建模，建模過(guò)程也更加簡(jiǎn)潔，模型應(yīng)用于潮流計(jì)算可以直接方便地求出變壓器中性點(diǎn)電壓。最后以IEEE-4節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)為例對(duì)所述方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 不含中性點(diǎn)參數(shù)的變壓器模型

圖1為變壓器的三相模型，三相變壓器中存在一個(gè)公共鐵芯，因而各繞組之間存在相互耦合。

圖1 三相變壓器實(shí)用模型

通過(guò)變壓器繞組之間的連接關(guān)系，可以用變壓器原始導(dǎo)納矩陣Yp來(lái)表示變壓器三相繞組支路電壓向量Ub和變壓器繞組支路電流向量Ib之間的關(guān)系，如式(1)：

Ib=YpUb

(1)

(2)

式中yt為三相變壓器三相參數(shù)對(duì)稱時(shí)每相繞組的短路導(dǎo)納。

如圖2所示為變壓器非標(biāo)準(zhǔn)變比模型，將原邊、副邊繞組等效為兩個(gè)理想變壓器，α0是原邊繞組的非標(biāo)準(zhǔn)變比，β0是副邊繞組的非標(biāo)準(zhǔn)變比。

圖2 變壓器非標(biāo)準(zhǔn)變比模型

考慮非標(biāo)準(zhǔn)變比后，變壓器的原始導(dǎo)納矩陣可變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

(3)

通過(guò)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣YT可以表示變壓器各端點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓向量Un和節(jié)點(diǎn)電流向量In之間的關(guān)系：

In=YTUn

(4)

三相變壓器繞組支路電壓Ub和節(jié)點(diǎn)電壓Un之間的關(guān)系為：

Ub=CUn

(5)

式中C為變壓器的電壓關(guān)聯(lián)矩陣。

三相變壓器繞組節(jié)點(diǎn)電流In和支路電流Ib之間的關(guān)系為：

In=GIb

(6)

式中G為變壓器的電流關(guān)聯(lián)矩陣。

如果變壓器不存在中性點(diǎn)不接地星形連接方式，則G=CT。由原始導(dǎo)納矩陣Yp、電壓關(guān)聯(lián)矩陣C可推導(dǎo)得出變壓器節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣YT的表達(dá)式為：

YT=CTYpC

(7)

2 含中性點(diǎn)參數(shù)的變壓器模型

變壓器繞組連接方式為中性點(diǎn)不接地的星形接線時(shí)，由于中性點(diǎn)電位不為零，那么變壓器的繞組支路電壓與節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系就不能用關(guān)聯(lián)矩陣表示，傳統(tǒng)的關(guān)聯(lián)矩陣法便不再適用。文獻(xiàn)[12]提出了基于電氣量變換矩陣法的三相變壓器建模方法，解決了中性點(diǎn)不接地星形接線的變壓器三相模型問(wèn)題，但該方法的電壓變換矩陣和電流變換矩陣不再互為轉(zhuǎn)置，推導(dǎo)也較為復(fù)雜。目前中性點(diǎn)不接地變壓器模型中沒(méi)有中性點(diǎn)電氣量，進(jìn)行潮流計(jì)算時(shí)，無(wú)法直接求出中性點(diǎn)電壓。因此需要對(duì)中性點(diǎn)不接地星形接線的變壓器三相模型進(jìn)行研究，以推導(dǎo)其節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。

繞組連接方式為中性點(diǎn)不接地的星形接線時(shí)，如果變壓器各端點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓向量中包含中性點(diǎn)電壓，各端點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電流向量中包含中性點(diǎn)電流，則式(7)對(duì)中性點(diǎn)不接地星形接線的變壓器仍然適用。

變壓器原副邊相同連接方式下不同組別的變壓器電壓關(guān)聯(lián)矩陣之間存在相互聯(lián)系，可由一個(gè)基本電壓關(guān)聯(lián)矩陣與一個(gè)統(tǒng)一的轉(zhuǎn)換矩陣運(yùn)算推導(dǎo)出同一連接方式下不同組別變壓器的電壓關(guān)聯(lián)矩陣，然后推導(dǎo)出變壓器三相模型。

為分析方便起見(jiàn)，定義變壓器原邊繞組采用中性點(diǎn)接地星形連接、中性點(diǎn)不接地星形連接、三角形連接時(shí)，原邊時(shí)鐘分別為0、0、1；定義變壓器副邊時(shí)鐘為變壓器連接組別標(biāo)號(hào)與原邊時(shí)鐘之和，如果所得到的和為12，則副邊時(shí)鐘為0。

變壓器原邊(副邊)繞組采用時(shí)鐘為0的中性點(diǎn)接地星形連接、時(shí)鐘為0的中性點(diǎn)不接地星形連接、時(shí)鐘為1的三角形連接時(shí)，對(duì)應(yīng)的含中性點(diǎn)參數(shù)的原邊(副邊)電壓關(guān)聯(lián)矩陣分別為：

(8)

(9)

(10)

對(duì)所有接線類型的三相變壓器，變壓器的電壓關(guān)聯(lián)矩陣寫成統(tǒng)一形式如下：

(11)

式中Cp為原邊電壓關(guān)聯(lián)矩陣；Cs為副邊電壓關(guān)聯(lián)矩陣；下標(biāo)k表示副邊時(shí)鐘，k=0，1，…，11。

以Yd接線的變壓器為例，討論原副邊相同接線方式下不同連接組別變壓器的副邊電壓關(guān)聯(lián)矩陣的關(guān)系，推導(dǎo)三相變壓器的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。

Yd接線的變壓器組別標(biāo)號(hào)可以為1、3、5、7、9、11，Yd1接線的變壓器等效電路圖如圖3所示。

圖3 Yd1變壓器等效電路圖

Yd1變壓器繞組支路電壓向量和繞組支路電流向量分別用Ub、Ib表示，同式(1)。Yd1變壓器的節(jié)點(diǎn)電壓向量和節(jié)點(diǎn)電流向量分別用Un、In表示，即：

式中UN為原邊繞組的中性點(diǎn)電壓;IN為原邊繞組的中性點(diǎn)電流。

Yd接線的變壓器原副邊繞組的非標(biāo)準(zhǔn)變比與變壓器相電壓非標(biāo)準(zhǔn)變比之間的關(guān)系為：

(12)

將式(12)代入式(3)可以得到Y(jié)d接線的變壓器原始導(dǎo)納矩陣為：

(13)

Yd1接線的變壓器的支路電壓與節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系為：

Ub=C1Un

(14)

(15)

根據(jù)變壓器的原邊、副邊接線方式可以得到Y(jié)d1原邊電壓關(guān)聯(lián)矩陣Cp和副邊電壓關(guān)聯(lián)矩陣Cs1為：

(16)

(17)

變壓器的原邊繞組采用原邊時(shí)鐘為0的中性點(diǎn)不接地的星形接線，Cp=CY；變壓器的副邊繞組采用副邊時(shí)鐘為1的三角形接線，Cs1=CD。

觀察變壓器原副邊繞組的接線，可以發(fā)現(xiàn)隨著組別標(biāo)號(hào)的變化，原邊繞組不發(fā)生變化，只有副邊繞組的相位關(guān)系發(fā)生變化，副邊繞組的電壓關(guān)聯(lián)矩陣也隨之改變。因此當(dāng)組別標(biāo)號(hào)變化時(shí)，只需對(duì)副邊電壓關(guān)聯(lián)矩陣Cs的變化進(jìn)行研究即可。圖4為Yd接線的變壓器不同組別的副邊繞組接線方式。

圖4 Yd變壓器副邊繞組的接線

觀察圖4，Yd3變壓器的副邊繞組接線與Yd1變壓器相比，有兩個(gè)變化：(1)三相相序仍為正相序，但后移了一相，由a、b、c變?yōu)閎、c、a；(2)極性相反。

式(1)可以通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣E1實(shí)現(xiàn)：

(18)

式(2)可以通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣E2實(shí)現(xiàn)：

(19)

結(jié)合式(18)和式(19)，得到兩個(gè)組別的變壓器副邊電壓關(guān)聯(lián)矩陣的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(20)

這樣，得：

(21)

根據(jù)圖4(b)，可以看出Yd3接線的變壓器的副邊電壓關(guān)聯(lián)矩陣就是式(21)，說(shuō)明所推導(dǎo)的轉(zhuǎn)換矩陣E是正確的。

Yd5變壓器的副邊繞組接線與Yd3變壓器相比，也同樣有兩個(gè)變化：(1)三相相序仍為正相序，但后移了一相，由b、c、a變?yōu)閏、a、b；(2)極性相反。這樣也可以通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣E由Cs3得到Cs5為：

(22)

同理，可以得到Y(jié)d7、Yd9、Yd11組別的變壓器副邊電壓關(guān)聯(lián)矩陣與Yd1副邊電壓關(guān)聯(lián)矩陣的關(guān)系。

對(duì)其他接線方式的變壓器也可以得到類似的結(jié)論，綜合以上，各副邊時(shí)鐘對(duì)應(yīng)的副邊電壓關(guān)聯(lián)矩陣為：

Csk=CssEm(k=0，1，…，11)

(23)

式中變壓器副邊繞組為中性點(diǎn)接地星形連接時(shí)，Css=CYN；變壓器副邊繞組為中性點(diǎn)不接地星形連接時(shí)，Css=CY；變壓器副邊繞組為三角形連接時(shí)，Css=CD；指數(shù)m=0，1，…，5，為副邊時(shí)鐘k除以2之后的整數(shù)部分；轉(zhuǎn)換矩陣E用來(lái)實(shí)現(xiàn)不同組別標(biāo)號(hào)的副邊電壓關(guān)聯(lián)矩陣之間的互相轉(zhuǎn)換，副邊繞組為中性點(diǎn)接地星形連接或三角形連接時(shí)，為：

(24)

副邊繞組為中性點(diǎn)不接地星形連接時(shí)，轉(zhuǎn)換矩陣E為：

(25)

將得到的變壓器副邊電壓關(guān)聯(lián)矩陣Csk代入式(11)中求出電壓關(guān)聯(lián)矩陣Ck，再與式(13)中的原始導(dǎo)納矩陣Yp一起代入式(7)中，便可以得到節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣YT。

為方便分析和觀察，可以將節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣分塊，如式(26)所示：

(26)

不同接線方式的三相變壓器節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣如表1所示。

表1 三相變壓器節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣

由表1可知，除含中性點(diǎn)不接地星形接線的變壓器外，本文導(dǎo)出的三相變壓器節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣與文獻(xiàn)[6]所得到的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣完全相同。與文獻(xiàn)[6]相比，本文導(dǎo)出的含中性點(diǎn)參數(shù)的變壓器的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣中包含有中性點(diǎn)參數(shù)，使含中性點(diǎn)不接地星形接線的變壓器三相模型更加直觀。

3 變壓器模型在潮流計(jì)算中的應(yīng)用

以IEEE-4節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)為例，采取電流偏差型直角坐標(biāo)牛頓法進(jìn)行潮流計(jì)算，驗(yàn)證提出的含中性點(diǎn)電氣量的變壓器三相模型的正確性。

IEEE-4節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)接線圖如圖5所示，節(jié)點(diǎn)1為平衡節(jié)點(diǎn)，其線電壓幅值為12.47 kV，A、B、C三相電壓相角分別為0 °、-120 °、120 °。選擇連接組別為Yd1的三相降壓變壓器，節(jié)點(diǎn)4接三相不對(duì)稱負(fù)荷，A、B、C三相有功功率分別為1 275 kW、1 800 kW、2 375 kW，功率因數(shù)分別為0.85、0.9、0.95，設(shè)置收斂精度為0.000 1。

圖5 IEEE-4節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

牛頓法在導(dǎo)納矩陣對(duì)稱性及稀疏性有著明顯優(yōu)勢(shì)，因此在中低壓配電網(wǎng)潮流計(jì)算中常采用牛頓法進(jìn)行計(jì)算[13]。但由于潮流計(jì)算的雅可比矩陣奇異，會(huì)導(dǎo)致牛頓法收斂困難[14]，故在各節(jié)點(diǎn)每相上加一個(gè)電納值為10-6S的小電容，因電容值很小，不影響最終的計(jì)算精度。

為驗(yàn)證所使用方法的正確性，采用文獻(xiàn)[15]中的“Ladder Iterative Technique”方法作為對(duì)比方法對(duì)相同算例進(jìn)行了潮流計(jì)算。

采用文中方法和對(duì)比方法對(duì)算例進(jìn)行潮流計(jì)算，得到的各節(jié)點(diǎn)電壓如表2所示。

表2 不同方法潮流計(jì)算的節(jié)點(diǎn)電壓

由表2和表3可知，計(jì)算結(jié)果保留三位小數(shù)時(shí)，采用文中方法和對(duì)比方法潮流計(jì)算得到的節(jié)點(diǎn)電壓幅值計(jì)算結(jié)果相差很小，均在0.01 V以內(nèi)，節(jié)點(diǎn)電壓相角計(jì)算結(jié)果相差也很小，均在0.001°以內(nèi)；支路電流幅值計(jì)算結(jié)果相差很小，均在0.01 A以內(nèi)，支路電流相角計(jì)算結(jié)果相差也很小，均在0.001°以內(nèi)。由此說(shuō)明采用文中方法建立的變壓器三相模型是正確且有效的。而且基于本論文模型的電流偏差型直角坐標(biāo)牛頓法不僅可用于輻射形配電網(wǎng)，還可以用于環(huán)形配電網(wǎng)，比僅適合于輻射形配電網(wǎng)的“Ladder Iterative Technique”方法的適應(yīng)面更廣。

表3 不同方法潮流計(jì)算的支路電流

4 結(jié)束語(yǔ)

提出了一種計(jì)及中性點(diǎn)參數(shù)的變壓器三相模型建立方法，解決了中性點(diǎn)不接地星形接線的變壓器不能采用傳統(tǒng)關(guān)聯(lián)矩陣法建模的問(wèn)題。該方法建立的變壓器三相模型的關(guān)聯(lián)矩陣包含中性點(diǎn)電氣量，使得關(guān)聯(lián)矩陣法可以應(yīng)用于各種組別連接的三相變壓器，而且可以通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣從一個(gè)基本副邊電壓關(guān)聯(lián)矩陣得到相同原副邊連接方式下各連接組別的副邊電壓關(guān)聯(lián)矩陣，進(jìn)而得出變壓器的電壓關(guān)聯(lián)矩陣。采用IEEE-4節(jié)點(diǎn)配網(wǎng)系統(tǒng)對(duì)本文方法進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明：所提出的計(jì)及中性點(diǎn)參數(shù)的變壓器三相模型是正確的，應(yīng)用于配電系統(tǒng)三相潮流計(jì)算可以非常方便地求出各節(jié)點(diǎn)電壓及中性點(diǎn)電壓。