基于映射常數(shù)的動(dòng)態(tài)量值不確定度評定方法

盧達(dá)，白靜芬，林繁濤，段永賢，孟靜

(中國電力科學(xué)研究院有限公司，北京 100192)

0 引 言

動(dòng)態(tài)量值是實(shí)際工況中量值最主要的存在形式。產(chǎn)生動(dòng)態(tài)量值的原因有三種：(1)工程技術(shù)原理產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)，如脈寬調(diào)制[1]等；(2)應(yīng)用需求產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)，如電機(jī)啟動(dòng)、停止[2]等；(3)干擾產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)，如熱噪聲、電磁干擾[3]等。但在試驗(yàn)室檢測中，出于檢測結(jié)果可復(fù)現(xiàn)、可溯源等原因，通常使用穩(wěn)態(tài)信號進(jìn)行檢測，這導(dǎo)致試驗(yàn)室檢測結(jié)果和現(xiàn)場檢測結(jié)果之間不一致，是目前檢測面臨的難題之一。

國內(nèi)外學(xué)者在動(dòng)態(tài)檢測方面已開展很多研究，主要有三種思路：(1)研究被測信號，對典型動(dòng)態(tài)信號提出測試方法。文獻(xiàn)[4]提出了針對階梯波的片段采樣方法，以丟棄邊緣采樣點(diǎn)的方式提升測量準(zhǔn)確度，文獻(xiàn)[5]研究了符合IEEE 1459標(biāo)準(zhǔn)的含有間諧波的電能測量方法；(2)設(shè)計(jì)專用的動(dòng)態(tài)測試信號。文獻(xiàn)[6]提出了針對電能表的電流正弦包絡(luò)工頻信號和電流梯形包絡(luò)工頻信號，文獻(xiàn)[7]利用上述兩種電流信號估計(jì)了當(dāng)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)電能表的動(dòng)態(tài)測量不確定度，測試了安裝式電能表之間的動(dòng)態(tài)電能測量誤差。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了用于測試動(dòng)態(tài)性能的二進(jìn)制通斷鍵控電流信號模型，文獻(xiàn)[9]評定了采用這種方法的測試系統(tǒng)的不確定度。文獻(xiàn)[10]在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上提出了基于偽隨機(jī)序列函數(shù)的動(dòng)態(tài)測試信號設(shè)計(jì)方法，并采用壓縮感知理論縮短了測試時(shí)間；(3)研究動(dòng)態(tài)不確定度評定方法。文獻(xiàn)[11]中利用了表示為隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)不確定度，文獻(xiàn)[12]根據(jù)數(shù)學(xué)模型計(jì)算了測量系統(tǒng)隨時(shí)間變化的不確定度。文獻(xiàn)[13]將對設(shè)備動(dòng)態(tài)性能的分析轉(zhuǎn)化為對其頻域性能的分析，提出應(yīng)計(jì)算幅值和相角誤差范圍內(nèi)的頻域指標(biāo)。

在上述研究的不確定度評定中，大部分只能評定一段時(shí)間內(nèi)動(dòng)態(tài)量值不確定度的平均值，難以獲得某個(gè)時(shí)間點(diǎn)量值的不確定度[7,9]；有些可以評定某個(gè)時(shí)間點(diǎn)的不確定度，但需要依靠準(zhǔn)確的被測系統(tǒng)和噪聲的頻域[12]或時(shí)域[13]數(shù)學(xué)模型，且無法評定測試過程中隨機(jī)效應(yīng)引入的不確定度。

在實(shí)際應(yīng)用中，明確動(dòng)態(tài)量值在各時(shí)間點(diǎn)的測量不確定度對系統(tǒng)分析和控制有重要作用。本文分析了動(dòng)態(tài)量值不確定度評定的難點(diǎn)，考慮到當(dāng)前很多測試設(shè)備基于采樣原理實(shí)現(xiàn)測量，以采樣值表示的動(dòng)態(tài)量值為研究對象，提出一種基于映射常數(shù)的不確定度評定方法(以下簡稱MCA)，在錄波儀等以采樣值為基礎(chǔ)進(jìn)行測量的設(shè)備或系統(tǒng)中均可應(yīng)用。試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了文中提出方法的有效性。

1 動(dòng)態(tài)量值不確定度評定

1.1 穩(wěn)態(tài)不確定度評定方法應(yīng)用于動(dòng)態(tài)量值時(shí)存在的問題

不確定度評定方法分為A類和B類[14]：

(1)

B類不確定度評定采用除數(shù)值統(tǒng)計(jì)以外的方法，根據(jù)相關(guān)信息判斷不確定度分量的概率密度函數(shù)。B類不確定度的評價(jià)沒有統(tǒng)一公式，因具體設(shè)備、環(huán)境和測量方法而異。值得注意的是，不確定度評定類別區(qū)別的是不確定度的評定方法，而不是不確定度本身。選用A類還是B類不確定度評定方法僅與具體評定的計(jì)算量、準(zhǔn)確性、操作便捷性有關(guān)。

在評定動(dòng)態(tài)量值不確定度時(shí)，對于B類評定，穩(wěn)態(tài)量值的不確定度分量范圍不能覆蓋動(dòng)態(tài)量值的不確定度分量范圍，動(dòng)態(tài)量值的B類不確定度評定還需要考慮被測量值在不同頻段的誤差分布等。已有不少文獻(xiàn)研究動(dòng)態(tài)量值B類不確定度評定[15]，不再贅述。對于A類評定，動(dòng)態(tài)量值試時(shí)變化，對同一被測量的重復(fù)觀測難以實(shí)現(xiàn)，不能滿足A類評定時(shí) “對同一被測量重復(fù)觀測” 的前提條件。這個(gè)原因?qū)е铝藗鹘y(tǒng)的A類不確定度評定不適用于動(dòng)態(tài)信號，是傳統(tǒng)不確定度評定方法難以評定動(dòng)態(tài)量值不確定度的癥結(jié)點(diǎn)。

1.2 基于映射常數(shù)的不確定度評定方法

1.2.1 評定方法原理

動(dòng)態(tài)量值不確定度評定的核心是找到可以重復(fù)觀測的常數(shù)。

令動(dòng)態(tài)信號連續(xù)n+1個(gè)采樣點(diǎn)的測量值為x1、x2、…、xn、xn+1，若該信號對應(yīng)的函數(shù)在(x1，xn+1)區(qū)間內(nèi)n+1階可導(dǎo)，則根據(jù)泰勒展開公式，可對這個(gè)函數(shù)進(jìn)行n次泰勒展開，在連續(xù)的n+1個(gè)采樣點(diǎn)，展開式可由式(2)表示：

(2)

式中t為初始采樣時(shí)刻；T為采樣間隔；a0、a1、…、an為各展開項(xiàng)前的系數(shù)，是一組與動(dòng)態(tài)信號對應(yīng)函數(shù)相關(guān)的常數(shù)。

為得到一個(gè)在相鄰采樣時(shí)刻可重復(fù)觀測的間接被測量，令β1、β2、…、βn、βn+1滿足式(3)：

(3)

式中A為任意常數(shù)。

若式(3)成立，則式(2)帶入式(3)后，tn、…、t前的系數(shù)均應(yīng)為0，可得式(4)：

(4)

式(4)中有n個(gè)方程、n+1個(gè)未知數(shù)，因此β1、…、βn均可用含有βn+1的代數(shù)式表達(dá)，由此求解式(4)可得：

(5)

將式(5)帶入式(3)，整理可得：

(6)

因此，將任意采樣點(diǎn)與其后續(xù)n個(gè)采樣點(diǎn)按式(6)計(jì)算均可得到一個(gè)理論上是常數(shù)的間接被測量y，從而實(shí)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)量向常數(shù)的映射。文中將這個(gè)常數(shù)稱為映射常數(shù)，由于映射中用到了n階泰勒展開，定義這個(gè)映射常數(shù)的計(jì)算階數(shù)為n。

若被觀測信號在相鄰m+n個(gè)采樣點(diǎn)的動(dòng)態(tài)特征穩(wěn)定，則m個(gè)相鄰的采樣點(diǎn)滿足相同的n階泰勒展開，即按式(6)計(jì)算出的m個(gè)間接被測量y1、y2、…、ym理論上是相同的常數(shù)，由此可以實(shí)現(xiàn)對間接被測量的重復(fù)觀測。采樣點(diǎn)與間接被測量之間的映射關(guān)系如圖1所示。

圖1 動(dòng)態(tài)量值與映射常數(shù)關(guān)系

利用式(1)計(jì)算y的A類不確定度：

(7)

假設(shè)x1、…、xn、xn+1是相互獨(dú)立的，根據(jù)合成不確定度傳播率[14]：

(8)

將式(6)代入式(8)，可得：

(9)

假設(shè)x1、x2、…、xn、xn+1不確定度相同，則由式(9)可得x的A類不確定度：

(10)

因此，對于一組動(dòng)態(tài)量值，由式(6)、式(7)和式(10)即可求出其A類不確定度。

1.2.2 評定方法分析

(1)MCA推導(dǎo)中的假設(shè)條件

在MCA的推導(dǎo)中，使用到兩個(gè)假設(shè)條件，一是假設(shè)臨近采樣點(diǎn)的不確定度相同，二是假設(shè)臨近采樣點(diǎn)相互獨(dú)立。式(1)計(jì)算試驗(yàn)數(shù)據(jù)均值不確定度時(shí)也用到了上述假設(shè)，因此MCA與傳統(tǒng)A類不確定度評定方法的假設(shè)條件相同。

在臨近的采樣點(diǎn)，測量設(shè)備和被測信號的物理狀態(tài)相近，環(huán)境因素、外界干擾、人為因素和噪聲等的影響方式類似，因此臨近采樣點(diǎn)不確定度相同的假設(shè)是合理的。

動(dòng)態(tài)測量中的臨近采樣點(diǎn)和穩(wěn)態(tài)測量中的臨近測量事實(shí)上一定是相關(guān)的，但在不確定度評定過程中，始終試圖利用B類不確定度評定降低這種相關(guān)性。在穩(wěn)態(tài)量值的B類不確定度評定中，上級傳遞、年穩(wěn)定性等不確定分量均有效降低了臨近測量的相關(guān)性。在動(dòng)態(tài)量值的B類不確定度評定中，除上述分量外，頻域誤差分布不確定度分量也降低了臨近采樣點(diǎn)的相關(guān)性。因此，在B類不確定度評定合理時(shí)，臨近采樣點(diǎn)相互獨(dú)立的假設(shè)是合理的。

(2)映射常數(shù)計(jì)算階數(shù)的影響

MCA對映射常數(shù)計(jì)算階數(shù)要求是，被測動(dòng)態(tài)信號對應(yīng)的函數(shù)在采樣區(qū)間內(nèi)n+1階可導(dǎo)。在允許的階數(shù)范圍內(nèi)，計(jì)算階數(shù)和信號的采樣周期綜合影響MCA的計(jì)算結(jié)果。當(dāng)信號的采樣周期相同時(shí)，計(jì)算階數(shù)越高，泰勒展開式的余項(xiàng)越小，擬合越準(zhǔn)確，反映的信號動(dòng)態(tài)特征越細(xì)致。若計(jì)算階數(shù)不足，泰勒展開式余項(xiàng)過大，將導(dǎo)致映射常數(shù)不能反映被測信號的動(dòng)態(tài)特征，此時(shí)MCA引入的不確定度較大。以正弦信號為例，若被測動(dòng)態(tài)信號為：

f(t)=sin(ωt)

(11)

式中ω為被測正弦信號的角頻率。特別說明的是，這里評定的是正弦信號每個(gè)采樣點(diǎn)的不確定度，而不是正弦信號有效值的不確定度，因此將正弦信號視為動(dòng)態(tài)信號。用各采樣點(diǎn)不確定度的平均值作為評定方法不確定度的評價(jià)指標(biāo)，若被測信號有k個(gè)采樣點(diǎn)，則該評價(jià)指標(biāo)可表示為：

(12)

當(dāng)k為20、式(7)中m為5時(shí)，E與映射常數(shù)計(jì)算階數(shù)n的關(guān)系如表1所示，可見當(dāng)采樣率固定時(shí)，評定方法引入的不確定度隨著計(jì)算階數(shù)的增加而減小。

表1 測量正弦信號時(shí)計(jì)算階數(shù)與采樣周期對MCA引入不確定度的影響

可以采用縮短采樣周期的方法降低計(jì)算階數(shù)。當(dāng)T足夠小時(shí)，Tn?Tn-1，式(2)可表示為：

(13)

由式(13)可知，x1、x2、…、xn、xn+1相對于T線性變化，即此時(shí)n階泰勒展開與1階泰勒展開的結(jié)果近似相同。式(12)表示的算例，當(dāng)其它條件保持不變，采樣率分別為100點(diǎn)/周期和500點(diǎn)/周期時(shí)，如表1所示，計(jì)算出的評價(jià)指標(biāo)E有數(shù)量級的降低。

(3)動(dòng)態(tài)量值不確定度對信號復(fù)現(xiàn)性的影響

在不確定度的物理意義之中，動(dòng)態(tài)量值不確定度對動(dòng)態(tài)信號復(fù)現(xiàn)性的影響值得注意。在相同的評定條件下，若動(dòng)態(tài)量值不確定度一直較小，則采樣時(shí)刻變化對動(dòng)態(tài)信號的檢測結(jié)果影響不大，即每次檢測時(shí)根據(jù)采樣值復(fù)現(xiàn)出的動(dòng)態(tài)信號相似。一旦出現(xiàn)動(dòng)態(tài)量值不確定度較大的采樣點(diǎn)，則該點(diǎn)之后的動(dòng)態(tài)信號檢測結(jié)果對采樣時(shí)刻的變化可能敏感，即每次檢測時(shí)根據(jù)采樣值復(fù)現(xiàn)出的動(dòng)態(tài)信號會有差別。

這個(gè)現(xiàn)象可根據(jù)式(2)解釋。由于x不確定度隨t變化，當(dāng)x不確定度較大時(shí)，根據(jù)式(8)，t系數(shù)的不確定度也較大，即復(fù)現(xiàn)出動(dòng)態(tài)信號隨t變化的范圍較大。

以矩形信號為例，如圖2所示，分別對矩形信號進(jìn)行3次測量，每次測量的初始時(shí)刻不同。不確定度評定時(shí)每秒采樣率為1 000、映射常數(shù)計(jì)算階數(shù)為3、式(7)中m為5。在圖2(c)中由于0.399 s附近出現(xiàn)了不確定度較大的采樣點(diǎn)，0.399 s后初始采樣時(shí)刻不同的3次測量值復(fù)現(xiàn)出的信號出現(xiàn)了較明顯的差別，而在0.399 s之前，各次測量值復(fù)現(xiàn)出的信號幾乎相同。

圖2 矩形信號不確定度及信號復(fù)現(xiàn)

2 仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 仿真驗(yàn)證

在matlab中進(jìn)行MCA驗(yàn)證，選取3種典型信號。正弦信號是電學(xué)檢測中最常見的信號，正弦包絡(luò)信號和OOK激勵(lì)信號是主要的電能表動(dòng)態(tài)性能測試信號。對3種信號均增加服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0e-4正態(tài)分布的隨機(jī)噪聲r(shí)n，以模擬環(huán)境、人員等各種外界干擾對檢測結(jié)果的影響。

(1)含有隨機(jī)噪聲的正弦信號

被測信號如式(14)所示：

f(t)=sin(2πt)+rn

(14)

采用MCA對式(14)的代表的信號進(jìn)行動(dòng)態(tài)量值不確定度評定，每周期采樣率為100，映射常數(shù)計(jì)算階數(shù)為3、式(7)中m為5。被測信號和各采樣點(diǎn)不確定度如圖3所示，評價(jià)指標(biāo)E為1.2e-4。MCA評定出的不確定度是被測信號的A類不確定度即標(biāo)準(zhǔn)偏差，本次仿真評定出的信號平均不確定度與實(shí)際噪聲信號的標(biāo)準(zhǔn)偏差相差0.2e-4，說明MCA可有效評定正弦信號的動(dòng)態(tài)量值不確定度。

圖3 含隨機(jī)噪聲正弦信號不確定度

計(jì)算階數(shù)變化對評價(jià)指標(biāo)E的影響如表2所示。當(dāng)計(jì)算階數(shù)大于等于3階時(shí)，E已基本不隨計(jì)算階數(shù)的變化而變化，說明在這種情況下MCA引入的不確定度對動(dòng)態(tài)量值不確定度評定的影響較小。

表2 計(jì)算階數(shù)變化對含隨機(jī)噪聲正弦信號不確定度的影響

(2)含有隨機(jī)噪聲的正弦包絡(luò)信號

被測信號為含有隨機(jī)噪聲的正弦包絡(luò)信號[6]，如式(15)所示：

f(t)=(0.5+sin(ωt/10))sin(ωt)+rn

(15)

采用MCA對該信號進(jìn)行動(dòng)態(tài)量值不確定度評定，每周期采樣率為100，映射常數(shù)計(jì)算階數(shù)為3、式(7)中m為5。被測信號和各采樣點(diǎn)不確定度如圖4所示，評價(jià)指標(biāo)E為1.0e-4，評定結(jié)果與實(shí)際標(biāo)準(zhǔn)偏差十分接近，說明本文提出的方法可以有效應(yīng)用于正弦包絡(luò)信號的不確定度評定。

圖4 含隨機(jī)噪聲正弦包絡(luò)信號不確定度

(3)含有隨機(jī)噪聲的OOK激勵(lì)信號

被測信號為含有隨機(jī)噪聲的2周期開通、2周期關(guān)斷OOK激勵(lì)信號[8]，采用MCA對該信號進(jìn)行動(dòng)態(tài)量值不確定度評定，映射常數(shù)計(jì)算階數(shù)為3、式(7)中m為5，如圖5所示。若每周期采樣率為100，評價(jià)指標(biāo)E為2.2 e-4，遠(yuǎn)大于真實(shí)噪聲的標(biāo)偏。這是因?yàn)樵?.5s時(shí)，OOK激勵(lì)信號出現(xiàn)拐點(diǎn)，導(dǎo)致不確定度在拐點(diǎn)附近計(jì)算偏差較大，如圖5(b)所示。在這種情況下，根據(jù)式(13)，應(yīng)減小采樣周期，使采樣點(diǎn)更趨近低階變化。當(dāng)每周期采樣率為10 000時(shí)，評價(jià)指標(biāo)E為1.0 e-4，較好地估計(jì)了真實(shí)噪聲偏差，此時(shí)各采樣點(diǎn)的不確定度如圖5(c)所示。

圖5 含隨機(jī)噪聲OOK激勵(lì)信號不確定度

2.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

用MCA評定試驗(yàn)室中1臺直流電能表測試臺體輸出動(dòng)態(tài)信號的不確定度。輸出動(dòng)態(tài)信號為含有20%紋波的10 A直流電流，測試設(shè)備為錄波儀DL850E，采樣周期為2×10-5s。試驗(yàn)場景如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

對每個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行評定，映射常數(shù)計(jì)算階數(shù)為3、式(7)中m為5。被測信號和各采樣點(diǎn)不確定度如圖7所示，評價(jià)指標(biāo)E為0.064 7。計(jì)算階數(shù)變化對E的影響如表3所示。當(dāng)計(jì)算階數(shù)在1階到5階變化時(shí)，E的變化率約為3%，計(jì)算階數(shù)變化為E的影響可以忽略不計(jì)。由此，MCA可以對實(shí)際設(shè)備進(jìn)行有效的動(dòng)態(tài)不確定度評定。

圖7 MCA不確定度評定試驗(yàn)結(jié)果

表3 試驗(yàn)中計(jì)算階數(shù)變化對不確定度評定的影響

3 結(jié)束語

文章提出了一種基于映射常數(shù)的動(dòng)態(tài)量值不確定度評定方法，可以將動(dòng)態(tài)量值轉(zhuǎn)化為一個(gè)穩(wěn)態(tài)量值計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差，解決了傳統(tǒng)不確定度評定方法中無法評定動(dòng)態(tài)量值A(chǔ)類不確定度的問題。通過選擇不同的映射常數(shù)計(jì)算階數(shù)和采樣周期，可以實(shí)現(xiàn)對動(dòng)態(tài)量值不同分辨力的不確定度評價(jià)，仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證了所提出方法的有效性。該方法可用于評定錄波儀等以采樣值為基礎(chǔ)的設(shè)備或系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)不確定度。