洞察內(nèi)在聯(lián)系 發(fā)展空間觀念

章輝

【摘? ?要】研究幾何體與其展開圖、三視圖之間的相互轉(zhuǎn)化，有利于學生更全面地認識圖形的特征，更好地發(fā)展空間觀念?！墩襟w展開圖》一課依托“四種方式、六個環(huán)節(jié)”設(shè)計框架，遵循“直觀想象、邏輯推理有機結(jié)合”設(shè)計理念，重視“大膽猜想、操作驗證”教學環(huán)節(jié)，建立“幾何探究課”的基本模式，發(fā)展學生的空間觀念。

【關(guān)鍵詞】展開圖;想象;推理;空間觀念

“空間觀念”是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中提到的核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)?？臻g觀念在小學階段主要是指“利用物體抽象出圖形、認識位置關(guān)系、探索變化規(guī)律”。[1]空間觀念的培養(yǎng)在目前的小學數(shù)學教學中還存在教師認識不深刻和引導不足等問題[2]，亟待從實踐層面提供新的教學思路。筆者以人教版教材五年級下冊《正方體展開圖》一課的教學實踐為例，分享培養(yǎng)學生空間觀念的想法和做法。

一、課前思考

培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間觀念，需要幫助學生實現(xiàn)幾何體與其展開圖、三視圖之間的相互轉(zhuǎn)化。在研究正方體展開圖的過程中，不僅只是得出結(jié)論，還應以想象為基本活動，積累想象和推理的思維經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念。

現(xiàn)行人教版教材五年級下冊“長方體和正方體”單元沒有編排“正方體展開圖”的專題內(nèi)容，而是編排了“做一做”的練習題（如圖1），引導學生辨

認正方體展開圖，理解正方體展開圖不是唯一的。這樣的編排方式，內(nèi)容較為單薄，力度略顯不足。

為讓學生深刻地認識正方體展開圖，筆者進行了針對性的教學嘗試，將教材中的習題拓展為一個專題內(nèi)容，以“一題一課”的形式，讓學生在觀察、操作、想象、推理的過程中經(jīng)歷從二維空間到三維空間的轉(zhuǎn)換，洞察知識間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)展空間觀念。

二、課堂教學實踐

【教學目標】

（1）認識正方體展開圖，了解正方體展開圖有不同的類型，初步學會判斷一幅平面圖是否為正方體展開圖。

（2）經(jīng)歷觀察、想象、操作、推理等學習活動，增強探究意識，發(fā)展空間觀念，提升提出問題、解決問題的能力。

（3）在合作學習、探究性學習的過程中，感受數(shù)學學習的美妙與樂趣。

【教學過程】

1.揭示新課，初步感知

（1）初識展開圖。

師（出示一個正方體）：同學們，今天我們一起來研究正方體展開圖。如果把正方體的6個面展開來，會得到怎樣的一個圖形呢？（播放動畫）這個平面圖形就是正方體展開圖（如圖1）。

（2）辨析展開圖。

①指定其中一個正方形為“后面”，請學生觀察、想象另外幾個正方形是原來正方體的哪個面（如圖2）。

②學生觀察、想象之后，進行指認。

師：剛才我們把一個正方體展開，變成這幅正方體展開圖?，F(xiàn)在你能倒過來想象，這6個正方形分別是正方體的哪6個面嗎？（學生上臺指認其他5個面）

③課件演示折疊，驗證學生觀察、想象的結(jié)論。

師：通過想象，我們知道這個面是上面，這個面是下面、左面、右面、前面。

（課件動態(tài)呈現(xiàn)：二維正方體展開圖→三維正方體，如圖3）

2.深入探究，逐步建構(gòu)

（1）研究“一四一”型展開圖。

①再次感知。

教師呈現(xiàn)兩幅圖（如圖4），請學生判斷是否為正方體展開圖。

師：這兩幅圖是不是正方體展開圖？請你仔細觀察、想象。

（學生思考）

師：如果它們是正方體展開圖，那這6個正方形分別是正方體的哪個面？

（學生表達各自想法）

師：這兩幅都是正方體展開圖，請仔細觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

小結(jié)：有一些正方體展開圖雖然樣子不一樣，但是通過旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)，我們會發(fā)現(xiàn)它們其實是同一幅圖。

②觀察歸納。

根據(jù)已確認的正方體展開圖，歸納得出“一四一”型展開圖的特征。

師：請仔細觀察這兩幅正方體展開圖，除了都是由6個正方形組成，你還看出它們有什么共同之處？

小結(jié)：像這樣中間有4個正方形，上下各1個正方形組成的正方體展開圖，我們把它們叫作“一四一”型展開圖。（板書：“一四一”型）

③拓展提升。

師：我們從一個正方體展開，認識了兩種正方體展開圖，知道了它們的名字叫“一四一”型展開圖。學到這里，對于正方體展開圖你有沒有什么想問的？

生：“一四一”型展開圖除了這兩種，還有其他的嗎？（板書：其他？）

生：正方體展開圖除了“一四一”型，還有別的類型嗎？（板書：類型？）

生：為什么“一四一”型展開圖都能圍成正方體？（板書：為什么？）

師：同學們真會思考，提出了很多有思考深度的問題。

④深入研究。

◆學生探究，在練習紙（如圖5）上畫出其他的“一四一”型正方體展開圖。

◆展示交流，逐步完善“一四一”型的6種展開圖。

師：老師收集了一些作品，請看大屏幕。

a.出示不同的兩幅圖（如圖6）。

師：請大家仔細地想一想：這兩幅圖是不是正方體展開圖？

b.在不同展開圖中找相同。

師：我們給前面的正方體展開圖標上序號。這些展開圖有什么共同點？同桌討論交流。

學生交流后反饋。圍繞“它們都由4個連著的正方形圍成一圈，還有2個正方形上下各1個”這個結(jié)論進行深度交流。

c.想象、推理其他的“一四一”型展開圖。

師：像這樣固定中間4個和上面1個，移動底下這個小正方形（如圖7）的“一四一”型展開圖，你還能想到哪些？

◆借助推理，洞察“一四一”型展開圖的本質(zhì)。FE42E2FE-9E46-4D91-A198-BE7641C5A304

師：請你仔細觀察這6幅正方體展開圖（如圖8），它們有什么相同和不同之處？

不同點：上、下正方形位置都不同。

相同點：中間都由4個正方形圍成，上下各1個正方形，都能圍成正方體。

學生操作。同桌兩人合作，拿出信封里的學具（兩個單個的小正方形和4個連在一起的長方形）擺一擺、議一議。

課堂小結(jié)：我們不僅找到了6種“一四一”型展開圖，而且明白了為什么“一四一”型展開圖都能圍成正方體，原來中間4個圍成一圈，上面這個不管和哪個面相連，翻下來剛好蓋上，下面這個也是一樣。（板書：6種）

（2）研究其他類型的正方體展開圖。

①引發(fā)思考。

師：現(xiàn)在我們來解決第二個問題：除了“一四一”型，正方體展開圖還有其他類型嗎？

（學生猜測）

師：如果有，你覺得會叫什么名字？

生：“三三”型、“二二二”型、“二四”型……

②主動探索。

學生獨立思考，借助前面研究“一四一”型的方法，移動某1個或某2個小正方形，得到其他類型的展開圖，觀察、想象、討論能否圍成正方體。

③深入研究“一三二”型展開圖。

a.借助“一四一”型中T字形這個模型進行推理，引出“一三二”型展開圖。

師：剛才我們移動的是上下2個正方形，得到新的正方體展開圖，那現(xiàn)在移動中間4個最右邊一個小正方形，想象可以移到哪里去（如圖9）。

b.學生思考，這幅圖（如圖10）能不能圍成正方體？

先讓學生觀察、想象、說理，然后課件動態(tài)演示，驗證它能否圍成正方體。

c.引導推理，得出其他三種“一三二”型展開圖（如圖11）。

d.錯例思辨，引出“田字格”型展開圖。

師：剛才我們通過移動底下的小正方形，可以得到其他三種“一三二”型展開圖，那如果現(xiàn)在移動上面的小正方形（如圖12），還能得到新的展開圖嗎？

（學生想象、交流）

師：為什么形成田字格就不可以圍成正方體？

引導學生體會正方體的一個頂點最多連接3個面，而田字格的一個頂點連接了4個面，所以它不能圍成正方體。

課堂小結(jié)：我們找到“一三二”型也是正方體展開圖，而且有3種。

④借助推理，進行“二二二”型和“三三”型展開圖的研究。

a.借助“一三二”型進行推理，引出“三三”型和“二二二”型展開圖。

師：剛才我們移動的是上下2個正方形，得到新的正方體展開圖，那現(xiàn)在繼續(xù)移動其他位置的小正方形（如圖13），想象可以移到哪里去？

b.學生思考，這兩幅圖（如圖14）能不能圍成正方體？

先讓學生觀察、想象、說理，然后課件動態(tài)演示，驗證它能否圍成正方體。

c.引導推理，得出 “三三”型和“二二二”型展開圖各只有1種。

（3）洞察內(nèi)在聯(lián)系，凸顯變與不變。

師：仔細觀察“一四一”型、“二三一”型、“三三”型和“二二二”型展開圖，這些圖形形狀不同，為什么都能圍成正方體？

引導學生說出都能先找到圍成一周的側(cè)面，然后加上一個上面和下面。

①“一四一”型展開圖的側(cè)面可以直觀看到。

②“二三一”型展開圖的側(cè)面在“一四一”型展開圖的基礎(chǔ)上移動1個小正方形，以“操作+想象”來完成。

③“三三”型和“二二二”型展開圖的側(cè)面在“二三一”型展開圖的基礎(chǔ)上，通過移動1個小正方形，以“想象+推理”來完成（如圖15）。

3.課堂總結(jié)，再度激疑

師：回顧一下這節(jié)課的學習，我們發(fā)現(xiàn)正方體展開圖一共有11種。你能猜猜，正方體展開圖除了這11種還有別的類型嗎？正方體有展開圖，別的圖形也有嗎？你們可以嘗試去畫一畫，想一想，用我們今天學到的本領(lǐng)繼續(xù)進行研究。

三、課后思考

基于上述教學實踐，筆者認為本節(jié)課的核心目標應該側(cè)重讓學生通過數(shù)學推理，探索平面圖形和立體圖形之間轉(zhuǎn)化的規(guī)律，具體方法有以下幾種。

（一）依托“四種方式、六個環(huán)節(jié)”設(shè)計框架，發(fā)展學生的空間觀念

首先將發(fā)展空間觀念作為本課的核心目標。數(shù)學教學理論指出，要發(fā)展空間觀念，有效的方式是充分開展觀察、操作、想象、推理等學習活動。觀察是直觀感知，操作是實際體驗，想象是深度把握，推理是洞察本質(zhì)。所以，在教學中，有層次、有目的地引導學生采用以上四種方式開展學習，如觀察活動貫穿始終，需操作時及時動手，該想象時留出想象空間，推理驗證凸顯思維。

本節(jié)課通過以下六個核心環(huán)節(jié)“想、擺、畫、展、評、疑”，讓學生經(jīng)歷正方體展開圖的形成、發(fā)展的過程，空間觀念得到有效發(fā)展。

（二）遵循“直觀想象、邏輯推理有機結(jié)合”設(shè)計理念，完善學生認知

“正方體展開圖共有11種，可分為四個大類”“記住正方體展開圖的口訣和竅門”等類似純結(jié)論的灌輸，并不是本課學習最重要的任務。為此，讓學生經(jīng)歷觀察、操作、想象、推理等學習活動，把抽象數(shù)學思維轉(zhuǎn)化為直觀形象思維，將原本枯燥、抽象的內(nèi)容變得生動、簡單，啟發(fā)學生拓寬思路，多樣化獲取知識，建立完善的認知結(jié)構(gòu)。本節(jié)課的核心環(huán)節(jié)可以分為三個層次。

層次一：通過畫一畫正方體展開圖，發(fā)現(xiàn)多個類似的結(jié)果。

層次二：對多個類似結(jié)果進行驗證說理，洞察內(nèi)在聯(lián)系，凸顯知識的本質(zhì)。

層次三：對歸納得出的規(guī)律進行猜想、推理，從而發(fā)現(xiàn)新的相類似的結(jié)果。

（三）重視“大膽猜想、操作驗證”教學環(huán)節(jié)，引導學生主動提問和探究

開展數(shù)學拓展課教學，不僅要重視引導學生大膽猜測、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，還要讓學生經(jīng)歷問題分析、比較、評價等高階思維活動;學生基于自己提出的問題，充滿熱情地去思考和探究，數(shù)學課堂更能顯現(xiàn)生機與活力，更符合“以生為本”的理念，從學生的視角出發(fā)開展課堂教學。為此，本課有意在學習進程的幾處關(guān)鍵點上，引導學生自己提出問題，以問題點燃學生思維的火花，激發(fā)學生主動、深入地開展探究。

例如：在學生探究了2種“一四一”型正方體展開圖后，引導學生對“正方體展開圖還有什么想問的”進行交流，從而引出本節(jié)課的核心問題，引領(lǐng)整節(jié)課的推進。

問題1：“一四一”型正方體展開圖還有其他的嗎？

問題2：正方體展開圖除了“一四一”型，還有其他類型嗎？

問題3：為什么“一四一”型展開圖都能圍成正方體？

教師應設(shè)計有效的教學環(huán)節(jié)，使每一位學生在輕松愉快的學習環(huán)境中掌握新知，發(fā)展空間觀念。同時教師也應清楚地認識到，學生空間觀念的培養(yǎng)并不是靠一節(jié)課就能有翻天覆地的變化的。一節(jié)課猶如“一滴水”，堅持幾年，就能“水滴石穿”，讓我們向著這一方向不斷前行……

參考文獻：

[1]史寧中.通過度量，巧用技術(shù)，發(fā)展空間觀念：評析“讓畫出的圖形轉(zhuǎn)起來”一課[J].小學數(shù)學教師，2019（9）：42-43.

[2]趙娜.數(shù)學教學中小學生空間觀念培養(yǎng)的策略[J].讀寫算，2021（28）：43-44.

（浙江省杭州市濱江實驗小學? ?310053）FE42E2FE-9E46-4D91-A198-BE7641C5A304