中國義務教育：基于核心素養(yǎng)的數(shù)學課程目標體系

孫曉天 邢佳立

把核心素養(yǎng)設定為義務教育數(shù)學課程的統(tǒng)領性目標，是本輪課標修訂中的一個重大變化，“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”是數(shù)學核心素養(yǎng)之一。我們都熟悉“數(shù)學是科學的語言”這句話，但對基礎教育數(shù)學課程而言，“數(shù)學語言是什么”“數(shù)學語言從哪兒來”“數(shù)學語言有什么用”“數(shù)學語言除了是科學的語言，還有哪些獨特的教育價值，它的教育意義在哪里”等問題在以往的數(shù)學課程中，或在教師過去積累的教學經(jīng)驗里，其實都還沒有明確的位置。對于“為什么要把數(shù)學語言作為核心素養(yǎng)”“數(shù)學語言有哪些功能，它的具體表現(xiàn)是什么”等問題，一線教師也感到迷茫。本刊記者邢佳立（以下簡稱“邢”）圍繞這些問題對中央民族大學孫曉天教授（以下簡稱“孫”）進行了采訪。

邢：孫教授好，在2000年課程改革之前，我們的數(shù)學教育受應試教育影響比較大，課程內(nèi)容多是現(xiàn)成的結(jié)果，教學講究的是開門見山，追求的是“精講多練”帶來的“高效”，在課改以后我們的數(shù)學教學開始逐步關(guān)注引導學生經(jīng)歷學習的過程。把“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”作為核心素養(yǎng)，與時代的發(fā)展有關(guān)嗎？

孫：這是一個好問題。你實際在問的就是為什么要把數(shù)學語言作為核心素養(yǎng)。這的確是時代發(fā)展的要求使然。你剛才提到的那些在應試氛圍之下的數(shù)學教學表現(xiàn)，如果放在自20世紀中期開始、我國從農(nóng)業(yè)化向工業(yè)化加速轉(zhuǎn)型的時期，就都是值得肯定的有效教學方式。因為在那個時期，國家的發(fā)展以“多快好省、力爭上游”為目標，追求的就是立竿見影。這種追求反映在數(shù)學課程目標上，當然也要“又對、又快、又準”。所以像勤學苦練、死記硬背、機械訓練等就成了當時理所當然的教學選擇，怎么能高效學會就怎么做，數(shù)學的語言功能根本走不上前臺。

另外，那時的生產(chǎn)力水平還比較低，教育的普及率也不理想，系統(tǒng)學習數(shù)學的人還不多，在那個以勞動密集型產(chǎn)業(yè)為主的時代，數(shù)學與社會生產(chǎn)和生活之間的交集十分有限。當數(shù)學只是面對小眾時，數(shù)學語言的作用和影響肯定就難以彰顯，數(shù)學語言當然不可能成為那時的數(shù)學課程目標。

今天是信息時代，人工智能和大數(shù)據(jù)的浪潮開始洶涌澎湃，數(shù)學語言已經(jīng)成為人們?nèi)粘＝涣鞑豢苫蛉钡慕M成部分。就以我們經(jīng)常用到的“××導航”為例，其中的方向、距離、速度等都是數(shù)學語言，如果有一句聽不懂，就可能迷路。至于那些與每個公民都息息相關(guān)的疫情通報、天氣預報，以及國家統(tǒng)計局公布的經(jīng)濟數(shù)據(jù)、人口普查數(shù)據(jù)，甚至對一場體育比賽的關(guān)注、對一部影視作品的評價等，都離不開數(shù)學語言。在這個時代，一個人想要公平地獲得信息和有理有據(jù)地做出判斷，幾乎都離不開數(shù)學語言。

時代的發(fā)展，使數(shù)學的交流功能日益放大，數(shù)學語言的作用迅猛擴大，數(shù)學語言與個人的生活質(zhì)量、職場表現(xiàn)和社會見識之間的關(guān)聯(lián)越來越緊密，影響越來越明顯。這些現(xiàn)象說明，是發(fā)展的需要推動數(shù)學語言走上課程的前臺，數(shù)學語言滿足了其作為核心素養(yǎng)走進數(shù)學課程的條件。

在數(shù)學科學領域，數(shù)學語言的作用和影響從來都是舉足輕重的。哲學意義上關(guān)于數(shù)學是什么的語言表述問題，在20世紀上半葉曾經(jīng)引發(fā)了一場大討論。那時世界上最有名的數(shù)學家?guī)缀醵紖⑴c了這個舉世矚目、影響深遠的討論。隨著討論的展開和深入，衍生出數(shù)學基礎論、數(shù)理邏輯、模型論等一系列與數(shù)學語言有關(guān)的數(shù)學學科。雖然一直到現(xiàn)在，關(guān)于數(shù)學是什么的問題還沒有得到完全解決，但在這場大討論中派生出的許多成果，已經(jīng)成為計算機科學、信息科學的基礎，有的還為人工智能和大數(shù)據(jù)等新興學科提供了生長點。

在數(shù)學課程領域，如果想要別人了解你從一個問題情境中觀察到了什么，就必須用數(shù)學語言把這個結(jié)果表達出來，使個人的主觀意識轉(zhuǎn)化為一個客觀和可視化的存在。沒有數(shù)學的表達就無法形成數(shù)學概念，因而也就無法揭示數(shù)學的本質(zhì)，更談不上用數(shù)學去分析問題、解決問題了。

在討論數(shù)學眼光時曾經(jīng)提到，數(shù)學是以真實世界里并不存在的抽象數(shù)量關(guān)系和空間形式為對象，并通過一種間接的方式，達到認識真實世界、解決真實問題的目的。其實，這個間接的方式就是數(shù)學的語言表達。

總之，在時代發(fā)展的推動下，數(shù)學語言已經(jīng)從數(shù)學的象牙塔里走出來，作為不可或缺的品格和能力，與每一個學生未來的職業(yè)和生活緊密聯(lián)系在一起。

邢：聽了您的介紹，我們更清晰地知道了在時代發(fā)展的大背景下，學會使用數(shù)學語言有多么重要。我們知道，自然語言有三個基本功能：信息的載體、認識世界的工具和交流的橋梁。數(shù)學語言的功能跟自然語言有什么不一樣嗎？

孫：數(shù)學語言也同樣具有載體、橋梁和工具這三個功能，不過數(shù)學有其獨特的表現(xiàn)形式。一般說來，自然語言有文字語言、圖形語言和符號語言三種形式，三者之間可以互相轉(zhuǎn)化，數(shù)學語言也是如此。不同之處在于，世界各地在自然語言中使用的文字和發(fā)音往往各不相同，所用的圖形和符號也會有所區(qū)別。而數(shù)學語言不是這樣，數(shù)學中使用的圖形語言和符號語言是全世界統(tǒng)一的，它是一種世界性的通用語言。

這里僅以符號語言為例做些說明。

數(shù)學的符號語言包括三類元素：基于阿拉伯數(shù)字的數(shù)字符號，通用的運算符號，以及字母，包括英文字母、希臘字母和拉丁字母。用這些元素把數(shù)學的某個要求或某種規(guī)律表示出來，就是數(shù)學的語言表達?；蛘哒f，數(shù)學的符號語言，就是由這樣的數(shù)字、符號和字母“串”在一起組合而成的。在小學階段，使用希臘字母和拉丁字母的比較少，絕大多數(shù)的數(shù)學運算符號也沒有出現(xiàn)，但已經(jīng)出現(xiàn)的，都是最常用甚至會和我們終生相伴的數(shù)學符號。

雖然數(shù)字、符號和字母的組合是數(shù)學語言，但隨意組合在一起的數(shù)字、字母、符號串一般沒有什么意義。就像隨意寫幾個漢字，如“吃、西、東、丑”，每個字大家都認識，都明白其字意，但串在一起之后，“吃西東丑”卻提供不了任何有用的信息。當然，也可以說它是一個編碼，而如果真的視其為編碼，就意味著每個字本身的意義已經(jīng)消失，雖然它們看著還是漢字，但實際上只相當于幾個沒有任何含義的字母，所以仍然沒有一般的語言表達功能。FF00264C-2302-40D8-9588-29F7ADA49B6D

邢：什么樣的數(shù)字、字母、符號串才是有意義的數(shù)學符號語言？您能具體跟我們講講嗎？

孫：廣義的答案比較復雜，要用到數(shù)理邏輯。如果把范圍局限在基礎教育課程領域，把“有意義”理解為有教育意義，答案就比較明確：只有作為溝通真實世界與數(shù)學世界的橋梁、理解數(shù)學世界的工具和解決數(shù)學問題的載體的數(shù)字字母符號串，即具有橋梁、工具和載體作用的數(shù)字字母符號串，才是有意義的數(shù)學語言。需再次強調(diào)，這個“意義”是指教育意義。

有意義是數(shù)學語言的特征，如果在一個數(shù)字字母符號串的背后，能講出一個與“橋梁、工具、載體”有關(guān)的真實或抽象的“故事”，這個數(shù)字字母符號串就是有意義的數(shù)學語言。如x-3=8，就講了一個已知的8、3和未知的x之間，由等式關(guān)系表達的抽象故事。所以它是有意義的數(shù)學語言，可以叫作方程。[而x-3÷=8]，也是數(shù)字字母符號串，但運算符號“[÷]”后面直接是等號，使得它與“橋梁、工具、載體”之間毫無關(guān)系，什么故事都講不出來。雖然它也是一個數(shù)字字母符號串，但并不屬于數(shù)學語言。

邢：聽了您的講解以后，如何把握數(shù)學語言的特征和意義我理解了。那么，在教學中有意義的數(shù)學語言怎樣產(chǎn)生呢？是按事先的設定“教”給學生，還是由學生自己在解決問題過程中，發(fā)現(xiàn)和運用數(shù)學語言，并體會其功能與意義？

孫：這個問題與數(shù)學語言作為核心素養(yǎng)的課程價值有關(guān)。這方面的問題如果用腦科學、認知科學和語言學從原理開始解釋，幾乎又是一本難以讀懂的厚書，這里沒必要搞得那么復雜。下面僅從教學實踐的角度，大體描摹一下有意義數(shù)學語言從何而來。

當教學過程中學生自己產(chǎn)生“想一想”“說一說”或“寫出來”的需要時，“學會用數(shù)學語言表達”就開始登場了。需要說明的是，有意義的數(shù)學語言離不開數(shù)學眼光和數(shù)學思維。

舉個例子：一號教室的面積是40平方米，它的長、寬各為多少？

首先，當用數(shù)學眼光從問題情境中“剝離”教室、面積、平方米等物理屬性之后，需要用數(shù)學語言把留下的元素表示出來，代表這個“剝離”過程的成功。如，一、40、a（表示長）、b（表示寬）等等。

然后，去掉與解決問題無關(guān)的元素“一”，保留與解決問題有關(guān)的元素，或稱關(guān)鍵元素：40、a、b。其中確定誰去誰留的過程常常會表現(xiàn)為一個推理過程，需要通過數(shù)學思維進行。

最后，如果留下的關(guān)鍵元素多于一個，這些元素之間的關(guān)系就成為解決問題的關(guān)鍵，需要繼續(xù)通過推理，用數(shù)學的語言把這個關(guān)系表示出來。在這個例子中，40、a、b之間的關(guān)系是已知的：40=a[×]b，需要繼續(xù)推理，用數(shù)學的語言把a和b具體表達出來，得到問題的答案。到此，代表問題情境本質(zhì)屬性的數(shù)字字母符號串40=a[×]b以“關(guān)系及其表示”的形式表現(xiàn)為解決問題、尋求答案的載體。

雖然a=2，b=20或a=5，b=8都滿足40=a[×]b，但究竟哪一個更符合作為教室的要求，仍然需要使用數(shù)學語言來作為溝通數(shù)學世界與真實世界之間關(guān)系的橋梁。至于還有沒有其他的答案，肯定都離不開數(shù)學語言的表達。

例子雖然簡單，但可以說明，數(shù)學語言的意義來自解決問題進程中的表達需求。

上述過程如果在學生已經(jīng)掌握了完備的數(shù)學符號語言的情況下進行，就是一個直接的數(shù)學語言表達。如果學生已經(jīng)掌握的數(shù)學符號語言還不足以直接表達，如例子中的面積概念、面積計算公式、倍數(shù)關(guān)系的表示等還是學生未知的，這個過程就同時成為一個開發(fā)數(shù)學語言的過程，所以是一個間接的數(shù)學語言表達。無論是直接的還是間接的表達，這兩種途徑都是有意義的數(shù)學語言的來源。特別地，由于基于核心素養(yǎng)目標的教學傾向于營造開放的學習環(huán)境，間接的表達方式會使學生同時進入一個開發(fā)數(shù)學語言的過程，能呈現(xiàn)數(shù)學語言更為豐富多彩的側(cè)面。雖然殊途同歸，最終必須進入共同的數(shù)學語言系統(tǒng)，但在一個開放的環(huán)境中為尋找恰當?shù)姆栒Z言或表達方式而進行的探索，肯定是培育核心素養(yǎng)的搖籃。

讀者可以舉一反三，自己循著同樣的思路舉一個能與有意義的數(shù)學語言結(jié)合起來的例子。同時把這個例子作為了解數(shù)學語言、數(shù)學眼光、數(shù)學思維之間關(guān)系的機會，體會一下“三會”雖然各自單獨表述，但本質(zhì)上是共為一體、不可分離的。語言的產(chǎn)生伴隨著眼光和思維，眼光和思維的產(chǎn)生亦是如此。這種關(guān)系后面還會提到。

總之，數(shù)學語言就是在一次次這樣的“表達”活動中成長壯大，并逐漸成為一種素養(yǎng)，嵌入學習者的人格，對他們未來的學業(yè)、職業(yè)和生活產(chǎn)生影響的。

邢：謝謝孫老師！今天的交流讓我們對數(shù)學語言理解得更加深刻了。下一期訪談，還想請您跟我們聊聊把數(shù)學語言作為核心素養(yǎng)有哪些意義，我們下期再見。

（1.中央民族大學? ?1000812.浙江教學月刊社? ?310023）FF00264C-2302-40D8-9588-29F7ADA49B6D