次線性期望空間下END列加權(quán)和的完全收斂性分析

劉曉春

【摘要】次線性期望空間理論的提出是為了解決金融領(lǐng)域風(fēng)險(xiǎn)度量計(jì)算涉及的非線性問(wèn)題，概率極限理論研究也由此獲得新的研究方向.基于此，本文將簡(jiǎn)單介紹次線性期望空間，并圍繞Stout型分布END序列完全收斂性開展研究，次線性期望空間的完全收斂性內(nèi)容由此得以豐富.

【關(guān)鍵詞】次線性期望空間;完全收斂性;END隨機(jī)變量

一、前 言

受到次線性期望和容度不可加性的影響，次線性期望空間與原概率空間存在很多差別較大的結(jié)論，許多不等式、證明方法不再適用.為解決相關(guān)問(wèn)題，近年來(lái)很多新的研究工具和研究方法不斷涌現(xiàn).更好地解決各類收斂問(wèn)題是本文圍繞次線性期望空間下END列加權(quán)和的完全收斂性開展具體研究的原因所在.

二、次線性期望空間概述

相較于傳統(tǒng)的概率空間，次線性期望空間中存在很多不同的性質(zhì)，如一個(gè)常數(shù)在次線性期望空間中無(wú)法實(shí)現(xiàn)隨機(jī)變量方差或均值的描述，大數(shù)定律極限并非一個(gè)常數(shù)，以及Y獨(dú)立于X在次線性期望下并不意味著X獨(dú)立于Y，存在不對(duì)稱的獨(dú)立性.結(jié)合次線性期望空間框架，我們給定可測(cè)空間假設(shè)為（Ω，F(xiàn)），以及定義在（Ω，F(xiàn)）上的線性空間H，H對(duì)任意X1，X2，…，Xn∈H，φ∈Cl，Lip（Rn），均有φ（X1，X2，…，Xn）∈H，線性空間的局部Lipschitz函數(shù)表示為Cl，Lip（Rn），對(duì)任意φ∈Cl，Lip（Rn），存在常數(shù)c>0，m∈N取決于φ，均有：

φ（x）-φ（y）≤c（1+xm+ym）x-y，x，y∈Rn（1）

H也可以視作隨機(jī)變量構(gòu)成的空間，可記為X∈H.

定義（1）：稱E^：H→R-為次線性期望，如果對(duì)任意X，Y∈H均存在單調(diào)性、次可加性、保常數(shù)性、正齊次性，可基于R-=[-∞，+∞]，定義次線性期望空間為三元組（Ω，H，E^），定義E^的共軛期望ε^為：

ε^X=-E^（-X），X∈H.（2）

基于式（2）可確定，對(duì)于任何的X，Y∈H，均存在

ε^X≤E^X，E^（X+c）=E^X+c，

E^（X-Y）≤E^X-Y，E^（X-Y）≥E^X-E^Y.（3）

基于E^的保持常數(shù)不變性及可加性可以確定，存在

E^X-ε^（-X）=E^X+E^（-X）≥E^（X-X）=0.（4）

概率空間中容度屬于度量單位概率，作為典型的非可加概率測(cè)度概念，容度可實(shí)現(xiàn)不確定性問(wèn)題的準(zhǔn)確刻畫，在金融、經(jīng)濟(jì)、工程學(xué)等領(lǐng)域，可基于定義（2）理解容度的概念.

定義（2）：令GF，一個(gè)函數(shù)V：G→[0，1]稱為容度，如V（）=0，V（Ω）=1，對(duì)任意AB，A，B∈G，則存在V（A）≤V（B），如果對(duì)所有的A，B∈G，且A∪B∈G，則存在V（A∪B）≤V（A）+V（B），此時(shí)存在次可加性的V.

在概率統(tǒng)計(jì)中，對(duì)于存在不確定性的研究對(duì)象，最優(yōu)解將無(wú)法求得，最多僅能夠獲得優(yōu)的區(qū)間概率，基于經(jīng)典概率集函數(shù)即可獲得該區(qū)間概率，成為上或下概率的對(duì)應(yīng)集函數(shù)也可獲得，不確定性建?？苫谏舷聟^(qū)間的限制開展，非理想狀態(tài)隨機(jī)情形可由此描繪，因此，在不確定性描繪中，區(qū)間概率屬于較為恰當(dāng)?shù)姆绞?對(duì)基于（Ω，H，E^）的次線性期望空間進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，類似于一個(gè)區(qū)間概率的容度可細(xì)分為下容度和上容度，同時(shí)存在不可加性，因此可針對(duì)性定義為：

V（A）：=inf{E^ξ;I（A）≤ξ，ξ∈H}，ν（A）：=1-V（AC），A∈F.（5）

式（5）中的AC為A的補(bǔ)集，針對(duì)性開展分析可以確定，存在：

ν（A）≤V（A），A∈F.（6）

如存在I（A）∈H，則存在：

V（A）=E^（I（A）），ν（A）=ε^（I（A））.（7）

如f≤I（A）≤g，f，g∈H，則存在：

E^f≤V（A）≤E^g，ε^f≤ν（A）≤ε^g.（8）

隨機(jī)變量X在可測(cè)空間（Ω，H）的Choquet期望CV（X）為定義（3），即：

CV（X）=∫+∞0V（X≥t）dt+∫+∞0（V（X≥t）-1）dt.（9）

定義（4）：次線性期望E^：H→R-，如果對(duì)X，Xn，Xn∈H，X≥0，n=1，2，…，滿足：

E^（X）≤∑+∞n=1E^（Xn），X≤∑+∞n=1Xn，（10）

則認(rèn)為E^是可數(shù)次可加的.

如一個(gè)集函數(shù)V：F→R-對(duì)任意An∈F，滿足：

V∪+∞n=1An≤∑+∞n=1V（An），（11）

則認(rèn)為V是可數(shù)次可加的.

一般情況下，不存在可數(shù)次可加性的V，因此，進(jìn)行外容度V*定義，即定義（5），如對(duì)A∈F，都有：

V*（A）=inf∑+∞n=1V（An）：A∪+∞n=1An，ν*（A）=1-V*（AC），（12）

則認(rèn)為V*屬于可數(shù)次可加的，且V*=V.

如I（A）≤g（g∈H），則可以確定V*（A）≤E^（g）.開展進(jìn)一步分析，如存在可數(shù)次可加的E^，則存在：

E^（f）≤V*（A）≤V（A）≤E^（g），f≤I（A）≤g，f，g∈H.（13）

在I（A）≤g∈H，V*（A）≤E^（g）時(shí)，可數(shù)次可加容度最大為V*.在這種情況下，當(dāng)I（A）≤g∈H，V*（A）≤E^（g）時(shí)，存在同時(shí)屬于可數(shù)次可加容度的V，則V（A）≤V*（A）.

定義（6）：在同分布前提下，如次線性期望空間中X1和X2分別為（Ω1，H1，E^1），（Ω2，H2，E^2）上的n維隨機(jī)向量，如存在：

E^（φ（X1））=E^2（φ（X2）），φ∈Cl，Lip（Rn），（14）

則可將其稱為同分布，具體可記作X1=dX2，如i≥1，Xi=dX1，則認(rèn)為{Xn;n≥1}屬于同分布的.

END序列概念在經(jīng)典概率空間的研究較早，此時(shí)的END序列屬于較弱的相依序列，而圍繞END序列在次線性期望空間中的相關(guān)研究進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，我們需要重新定義次線性期望空間中的END序列.

定義（7）：次線性期望空間（Ω，H，E^）下，END序列可表示為{X;n≥1}，如常數(shù)K≥1，則存在成立的下式：

E^∏ni=1gi（xi）≤k∏ni=1E^（gi（xi）），n≥1.（15）

其中，存在gi∈Cl，Lip（Rn），i=1，2，…的非增或非降的非負(fù)函數(shù).

深入分析可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)合上述定義的END隨機(jī)變量序列，如存在屬于END隨機(jī)變量序列的{X;n≥1}，以及gi∈Cl，Lip（Rn），i=1，2，…這一屬于非增或非降的非負(fù)函數(shù)，則存在同樣屬于END隨機(jī)變量序列的{f（Xn）;n≥1}.

三、次線性期望空間下END列加權(quán)和的完全收斂性

（一）完全收斂的定義

在圍繞完全收斂性的最初研究中，完全收斂性的概念被提出，同時(shí)研究發(fā)現(xiàn)，如存在有限的隨機(jī)變量方差，則存在完全收斂于一個(gè)期望值的算術(shù)平均序列，該序列源于獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，假設(shè){Xn;n≥1}隨機(jī)變量序列滿足：

∑+∞n=1p（Xn-Xε）<+∞，ε>0，（16）

則該隨機(jī)變量序列在隨機(jī)變量X中完全收斂，可記作XncX.

圍繞加權(quán)和的完全收斂性開展針對(duì)性研究可以發(fā)現(xiàn)，不同形式的收斂性會(huì)因不同權(quán)重出現(xiàn)不同，因此結(jié)果會(huì)受到加權(quán)和形式帶來(lái)的直接影響，因此本文研究需設(shè)法明確加權(quán)和的定義.

基于屬于隨機(jī)變量序列的{Xn;n≥1}，常數(shù)的集合為{ani;1≤i≤n，n≥1}，因此加權(quán)和可表示為∑n[]i=1aniXi.基于經(jīng)典概率空間完全收斂定義方法開展針對(duì)性對(duì)比，完全收斂性在次線性期望中的定義可表示為：

在次線性期望空間（Ω，H，E^）下，如對(duì)所有ε>0存在

∑+∞n=1V（Xn-X>ε）<+∞，（17）

即可認(rèn)為存在完全收斂于隨機(jī)變量X的隨機(jī)變量序列{Xn;n≥1}，可記作XncX.近年來(lái)，概率空間下完全收斂性的研究大量涌現(xiàn)，如圍繞ND陣列合和ND序列隨機(jī)變量完全收斂性的研究，以及圍繞NOD序列加權(quán)和開展的研究等，很多新的完全收斂性結(jié)果由此獲得，這類研究逐步將NOD序列這一隨機(jī)變量研究范圍擴(kuò)大至廣義ND序列，廣義ND序列加權(quán)和在權(quán)重為ank且在E^（Xp）≤CV（Xp）<+∞情形下的完全收斂性也通過(guò)研究得以證明，這使得概率空間中的結(jié)論通過(guò)研究真正推廣到次線性期望空間.進(jìn)一步分析相關(guān)研究可以發(fā)現(xiàn)，次線性期望空間和經(jīng)典概率空間下存在不同的研究結(jié)果，同時(shí)存在不同的證明思路，對(duì)于存在不可加性的次線性期望和容度，其相較于經(jīng)典概率空間存在不同的證明手法，需利用容度不等式等次線性期望空間理論框架下的內(nèi)容和性質(zhì)進(jìn)行證明.

（二）Stout型END列加權(quán)和的完全收斂性

基于隨機(jī)變量加權(quán)和Stout型NOD序列的完全收斂性開展研究可以發(fā)現(xiàn)，作為新的完全收斂定理，其與權(quán)重存在顯著區(qū)別.對(duì)屬于同分布NOD隨機(jī)變量序列的r>0，α>0，{X，Xn;n≥1}進(jìn)行研究，結(jié)合屬于正常數(shù)陣列的{ank;k≥1，n≥1}，且其對(duì)任意K>0，滿足：

limn→+∞log n∑+∞k=1a2nk=0.（18）

令Tn=∑+∞[]k=1ankXk，n≥1，假設(shè)EX=0，且EX2+r/α/log（1+X）<+∞，則對(duì)任意ε>0，存在：

∑+∞n=1nr-1P{Tn>ε}<+∞.（19）

結(jié)合上述定理，即可對(duì)Stout型NOD序列在次線性期望空間下的加權(quán)和完全收斂性開展研究，通過(guò)將相關(guān)定理從經(jīng)典概率空間向次線性空間推廣，即可完成研究.基于END序列的概念、隨機(jī)變量同分布概念及Markov不等式，即可圍繞次線性期望空間下END列加權(quán)和的完全收斂性開展針對(duì)性研究.在具體研究開始前，需引出兩個(gè)重要的引理.

引理（1）：設(shè)次線性期望空間（Ω，H，E^）的隨機(jī)變量為X，且滿足X≤1，則存在：

E^exp（x）≤exp（E^X+E^X2）.（20）

引理（2）：假設(shè)X∈H，r>0，α>0，則對(duì)于任意c>0，則存在：

CV（X2+r/α/log（1+X））<+∞

∑+∞n=12（2α+r）nlog 2nV（X>c2αn）<+∞.（21）

基于上述引理，即可開展后續(xù)研究，假設(shè)次線性期望空間（Ω，H，E^）中的{X，Xn;n≥1}為同分布END隨機(jī)變量序列，存在可數(shù)次可加性的E^，以及屬于正常數(shù)陣列的{ank;k≥1，n≥1}，滿足supk≥1ank≤cn-α，如r>0，α>0，且

CV（X2+r/α/log（1+X））<+∞，（22）

limn→+∞log n∑+∞k=1a2nk=0，（23）

則：

∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（Xk-E^Xk）>ε<+∞，n>0，（24）

∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（Xk-ε^Xk）<-ε<+∞，n>0，（25）

在E^k=ε^Xk時(shí)，則存在：

∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（Xk-E^Xk）>ε<+∞，n>0.（26）

基于上文提及的定理可以發(fā)現(xiàn)，其屬于經(jīng)典概率空間下到次線性期望空間的推廣，同分布NOD序列通過(guò)該定理推廣至同分布END序列，一般矩條件的原概率空間得以推廣至上積分條件，由此開展等價(jià)性證明，在次線性期望空間下由于存在不再唯一的隨機(jī)變量X期望，相較于原概率空間得出的結(jié)論，由于存在下期望ε^和上期望E^，得出的結(jié)論存在不同，最終的完全收斂定理的得出需保證下期望ε^和上期望E^相等.

假設(shè)E^Xn=0，基于式（22）以及存在可數(shù)次可加性的上期望E^，存在：

E^（X2）≤CV（X2）≤CV（X2+r/α/log（1+X））<+∞.（27）

假設(shè)E^X2n=1，ank<n-α對(duì)于任何k>1，n≥1均成立，令

Tn=∑+∞k=1ankXk.（28）

對(duì)屬于END序列的{X，Xn;n≥1}來(lái)說(shuō)，為保證其存在同樣屬于END序列的截尾隨機(jī)變量，需保證截尾后的序列為非減（非增）的，且屬于Cl，Lip，給定任意ε>0，取ρ>0，正整數(shù)N，由于n-ρ→0，n→+∞，因此對(duì)于給定的任意N，ε，正整數(shù)N0存在，且使得當(dāng)N≥n0時(shí)，存在n-ρ<ε/N.結(jié)合同類研究進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，為證明∑+∞[]n=1nr-1V（Tn>3ε）<+∞成立，需要證明：

∑+∞[]n=1nr-1V（T′n>ε）<+∞，∑+∞[]n=1nr-1V（T″n>ε）<+∞，∑+∞[]n=1nr-1V（Tn>ε）<+∞.（29）

對(duì)屬于END序列的{ankX′nk，k≥1}來(lái)說(shuō)，可確定存在同為END序列的{exp（unankX′nk），k≥1}，結(jié)合Markov不等式，最終可得到：

∑+∞n=1nr-1V（T′n>ε）

≤∑+∞n=1nr-1exp（-εnρ/2）+∑+∞n=1nr-1exp（-ε2/4cn）<+∞.

結(jié)合傳統(tǒng)的線性期望空間不難發(fā)現(xiàn)，其中存在等價(jià)的式子EI（X≤a）=P（X≤a）.但對(duì)于本文研究的次線性期望空間來(lái)說(shuō)，由滿足Cl，Lip連續(xù)函數(shù)定義的E^存在不滿足連續(xù)性的原示性函數(shù)I（X≤a），因此，E^I（X≤a）這種表達(dá)并不有效，研究需要?jiǎng)?chuàng)建屬于Cl，Lip的新的連續(xù)函數(shù)于次線性期望空間中，以此實(shí)現(xiàn)對(duì)原概率空間示性函數(shù)的取代.結(jié)合次線性期望的定義，存在ε^X：=-E^-X，X∈H，可得到：

∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（Xk-ε^Xk）<-ε=∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（Xk+E^（-Xk））<-ε=∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（（-Xk）-E^（-Xk））>ε<+∞.（30）

圍繞式（30）進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，式（25）由此成立，而在E^Xk=ε^Xk時(shí)，則存在：

∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（Xk-E^Xk）>ε≤∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（Xk-E^Xk）>ε+

∑+∞n=1nr-1V∑+∞k=1ank（Xk-E^Xk）<-ε<+∞.（31）

式（26）由此獲得.

四、結(jié) 論

本文研究的完全收斂?jī)?nèi)容僅屬于極限理論的一小部分，次線性期望空間中還可以推廣很多概率空間相關(guān)的經(jīng)典理論，如完全矩收斂，筆者計(jì)劃未來(lái)開展完全積分收斂及混合序列的相關(guān)研究.

【參考文獻(xiàn)】

[1]周慧，馬慧，張繼紅.END相依序列加權(quán)和的強(qiáng)收斂性[J].甘肅高師學(xué)報(bào)，2019（2）：1-3.

[2]邱德華，肖娟.END隨機(jī)變量序列Sung型加權(quán)和的矩完全收斂性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)：A輯，2018（6）：1103-1111.

[3]邱德華，陳平炎.END隨機(jī)變量序列產(chǎn)生的移動(dòng)平均過(guò)程的收斂性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)：A輯，2015（4）：756-768.