數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

張鑫

【摘要】數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)與形看似是兩個部分的內(nèi)容，實(shí)際上在數(shù)學(xué)中有著十分密切的聯(lián)系.在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合思想有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容;在高中數(shù)學(xué)的解題中，很多時候?qū)?shù)與形結(jié)合，可以簡化解題過程，開拓學(xué)生思路.可見，數(shù)形結(jié)合思想是十分重要的.本文將簡單闡述數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)和重要作用，然后舉例說明數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)與形;數(shù)形結(jié)合思想;應(yīng)用

一、數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)

數(shù)形結(jié)合思想方法的實(shí)質(zhì)是指將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來.通過對圖形的處理發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，通過對數(shù)與式的轉(zhuǎn)換，圖形的特征及幾何關(guān)系被刻畫得更加精細(xì)和準(zhǔn)確，這樣就可以使抽象概念和具體形象相互聯(lián)系、相互補(bǔ)充、相互轉(zhuǎn)化.

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的重要作用

（一）幫助學(xué)生理解新知識

在代數(shù)課堂的導(dǎo)入中，如果教師用教具或是多媒體展示出一個動態(tài)的教學(xué)案例，會引起學(xué)生興趣、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，可以順其自然地引入一堂課.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于很多知識點(diǎn)，教師直接講解可能不會讓學(xué)生理解到關(guān)鍵，甚至難以記住，而借助圖形直觀地向?qū)W生展示知識點(diǎn)的推理過程，可以促進(jìn)學(xué)生理解知識，加深學(xué)生的印象.比如，教師在講余弦定理的時候，可以用平面上的三角形通過向量法進(jìn)行證明，讓學(xué)生對余弦定理的記憶有一個幾何層面的理解，這樣會開闊學(xué)生的思維.幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，會讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)整體性的理解.

（二）為學(xué)生解題提供新思路

數(shù)學(xué)內(nèi)容本身具有普遍聯(lián)系的特點(diǎn)，所以在數(shù)學(xué)解題中，為了解題方便，代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決，幾何問題可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.很多時候代數(shù)問題直接推導(dǎo)求解會很麻煩，如果可以用幾何圖形進(jìn)行解決，那么代數(shù)問題會解決得更加容易.比如，在求一元二次不等式的解集時，我們可以畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像，觀察圖像與橫軸交點(diǎn)情況，圖像在橫軸上方時，不等式大于零，圖像在橫軸下方時，不等式小于零.

（三）促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展

對于數(shù)學(xué)中較難理解的概念或者定理，教師若分別從數(shù)與形這兩個角度闡述，則可以使學(xué)生對這部分知識的理解更為深刻、具體，從而豐富學(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu).代數(shù)主要運(yùn)用的是抽象思維，幾何主要運(yùn)用的是形象思維，而數(shù)形結(jié)合思想則要求學(xué)生的思維在抽象思維與形象思維之間轉(zhuǎn)換，這一定會促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，并且這種相互轉(zhuǎn)換的方法也會使學(xué)生在生活中受益.在數(shù)形轉(zhuǎn)換的過程中，學(xué)生會從一個目標(biāo)出發(fā)，沿著不同的途徑去思考，探求多種答案，這可以發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維.

（四）發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)形相輔，借助幾何圖形來幫助學(xué)生理解較難理解的數(shù)、數(shù)量關(guān)系，可以最大限度地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的發(fā)展.這個過程要求學(xué)生能將表達(dá)空間形狀、大小、位置關(guān)系的數(shù)學(xué)語言與具體的實(shí)際特征結(jié)合起來，提高學(xué)生的快速匹配認(rèn)知能力與空間想象能力.在數(shù)形轉(zhuǎn)換這個過程中，數(shù)形結(jié)合思想有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

三、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

（一）數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用有很多：通過數(shù)形結(jié)合思想求函數(shù)最值問題、通過導(dǎo)數(shù)圖像的正負(fù)畫出原函數(shù)圖像的單調(diào)性、結(jié)合一元二次函數(shù)的圖像可以判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個數(shù).下面舉一個分段函數(shù)求最值的問題，通過畫函數(shù)圖像可以直觀地解決問題.

例1 設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3x，x≤a，-2x，x>a.

（1）若a=0，則f（x）的最大值為;

（2）若f（x）無最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

分析 這是一個分段函數(shù)，題目中分段函數(shù)的分界點(diǎn)并沒有明確給出，首先不看兩個問題，直接將f（x）兩段在R上的圖像畫出來.先畫出三次函數(shù)的圖像，為了畫出三次函數(shù)圖像，要研究三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖像.假設(shè)y=x3-3x，那么它的導(dǎo)數(shù)y′=3x2-3，導(dǎo)數(shù)圖像如圖1.這樣便由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)知道了三次函數(shù)的單調(diào)性，由此可以畫出三次函數(shù)在R上的圖像，如圖2.然后看另一個函數(shù)y=-2x，很明顯這是一個一次函數(shù)，圖像為單調(diào)遞減、過（0，0）點(diǎn)的一條直線.將三次函數(shù)和一次函數(shù)這兩個函數(shù)的圖像放在一個直角坐標(biāo)系里，如圖3.

解 （1）當(dāng)x≤0時，此函數(shù)為三次函數(shù);當(dāng)x>0時，此函數(shù)為一次函數(shù).由圖3可知，函數(shù)最大值在x=-1處取得，函數(shù)值為2.

（2）如果a<-1，結(jié)合圖3，最大值正常在一次函數(shù)上取，由于一次函數(shù)定義域是x>a，所以在一次函數(shù)上取不到最大值，滿足題意.如果a≥-1，根據(jù)圖3可知函數(shù)在x=-1時取到最大值，不符合題意. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<-1.

（二）數(shù)形結(jié)合思想在集合中的應(yīng)用

在集合的學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生能夠理解韋恩圖所表示的集合，能夠說出集合間的基本關(guān)系.不等式的解集通?？梢杂脭?shù)軸表示出來，將表示不等式的集合在數(shù)軸上畫出來，可以清晰地看出表示不等式的集合之間的關(guān)系.在這部分知識的學(xué)習(xí)中，需要用到數(shù)形結(jié)合思想.

例2 正確表示圖中陰影部分的是（? ）.

分析 本題要求學(xué)生用代數(shù)語言表示幾何圖形所呈現(xiàn)出的信息，陰影部分是在整個長方形中除去兩個橢圓，這兩個橢圓有公共部分，那么根據(jù)集合的并集和補(bǔ)集的定義即可求出答案.本題通過幾何與代數(shù)的結(jié)合考查了學(xué)生對集合基本運(yùn)算的掌握程度.

解 用集合語言表示就是在全集U中扣除集合A和集合B的并集，即C選項(xiàng)的

例3 ?設(shè)集合A={x|1

分析 通過畫數(shù)軸可以直觀地看出，要使AB，那么a必須是大于2的數(shù).然后考慮當(dāng)a=2時的情況，由圖可得當(dāng)a=2時，B={x|x<2}，剛好滿足AB.

解 由數(shù)軸可知，a的取值范圍是a≥2.

（三）數(shù)形結(jié)合思想在證明基本不等式時的應(yīng)用

不等式是高中數(shù)學(xué)的一個重要的代數(shù)內(nèi)容，基本不等式a+b2≥ab（a>0，b>0）的證明方法有很多，比如，用代數(shù)證明：

要證

ab≤a+b2，①

只要證

2ab≤a+b.②

要證②，只要證

2ab-a-b≤0.③

要證③，只要證

-a-b2≤0.④

要證④，只要證

a-b2≥0.⑤

顯然，⑤成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，⑤中的等號成立.以上的過程倒過來就是基本不等式的代數(shù)證明方法.

這樣的證明方法簡單易理解，但是如果和幾何圖形聯(lián)系起來證明，可以更加開闊學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生直觀想象和邏輯推理的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).下面是基本不等式的幾何證明方法.

如圖6，AB是半圓O的直徑，OC為半徑，F(xiàn)為直徑AB上的任意一點(diǎn)，令A(yù)F=a，BF=b，作EF⊥AB交半圓弧AB于點(diǎn)E，那么半圓半徑OC=a+b2.由于EF⊥AB，所以∠1+∠2=90°.由于點(diǎn)E為半圓弧上的點(diǎn)，所以AE⊥BE，即∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3，即△AEF∽△EBF.那么有aEF=EFb，即EF=ab.

連接OE，在Rt△OEF中，斜邊OE大于直角邊EF，所以有半徑OC>EF，即a+b2>ab;當(dāng)a=b時，Rt△OEF的斜邊OE等于直角邊EF，此時三角形變成一條線段，所以有OE=EF，即a+b2=ab.

于是a+b2≥ab（等號成立條件：a=b）得證.

（四）數(shù)形結(jié)合思想在立體幾何中的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)證明空間中直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系以及二面角的余弦值等問題時，可以根據(jù)題目情況建立一個空間直角坐標(biāo)系，把所研究的立體圖形放在空間直角坐標(biāo)系里，標(biāo)出所需要的點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算空間向量、方向向量等，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的運(yùn)算問題進(jìn)行研究，有助于培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力.

例4 如圖7，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.

（1）求證：O1O⊥底面ABCD;

（2）若∠CBA=60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值.

證明 （1）因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1是矩形，所以CC1⊥AC，同理DD1⊥BD.

因?yàn)镃C1∥DD1，所以CC1⊥BD，而AC∩BD=O，

因此CC1⊥底面ABCD.

由題設(shè)知O1O∥CC1，故O1O⊥底面ABCD.

解 （2）因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等，

所以四邊形ABCD是菱形，因此AC⊥BD.

又O1O⊥底面ABCD，從而OB，OC，OO1兩兩垂直.

如圖8，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

不妨設(shè)AB=2，因?yàn)椤螩BA=60°，所以O(shè)B=3，OC=1.

于是相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為O（0，0，0），B1（3，0，2），C1（0，1，2）.

易知n1=（0，1，0）是平面BDD1B1的一個法向量.

設(shè)n2=（x，y，z）是平面OB1C1的法向量，則n2·OB1=0，

n2·OC1=0，即3x+2z=0，y+2z=0.

取z=-3，則x=2，y=23，所以n2=（2，23，-3）.

設(shè)二面角C1-OB1-D的大小為θ，易知θ是銳角，

于是cos θ=cos 〈n1·n2〉=n1·n2n1n2=2319=25719.

故二面角C1-OB1-D的余弦值為25719.

（五）數(shù)形結(jié)合思想在楊輝三角中的應(yīng)用

楊輝是我國古代著名數(shù)學(xué)家，1261年楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了由一組羅列的數(shù)組成的三角形，我們把它稱為楊輝三角.計(jì)數(shù)原理是高中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容，這一章中的排列與組合和二項(xiàng)式定理與楊輝三角有著密不可分的聯(lián)系.

（a+b）n的二項(xiàng)式系數(shù)為Ckn（k=0，1，2，…，n），根據(jù)圖9可以發(fā)現(xiàn)，楊輝三角的第n行的第r個數(shù)可以表示為Cr-1n，第n行就是（a+b）n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù).而且二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性、增減性、最大值等性質(zhì)在楊輝三角的性質(zhì)中都有體現(xiàn).

觀察楊輝三角的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，相鄰的兩行里除了最外邊的數(shù)，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)相加.也就是Crn=Cr-1n-1+Crn-1，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，可以證明此式.

可見，楊輝三角的性質(zhì)與二項(xiàng)式系數(shù)和組合數(shù)的性質(zhì)有很多共同之處.這就是數(shù)學(xué)知識具有普遍聯(lián)系的體現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合思想在此得到了完美的應(yīng)用.在研究數(shù)學(xué)問題時，我們可以多角度出發(fā)，從不同方面研究問題.

（六）數(shù)形結(jié)合思想在方程與不等式中的應(yīng)用

在初中階段，我們可以從一次函數(shù)的角度看一元一次方程、一元一次不等式.在高中階段，我們同樣可以借助二次函數(shù)來理解一元二次方程和一元二次不等式，通過函數(shù)圖像的交點(diǎn)情況來理解三者之間的關(guān)系.

例5 解不等式x2-12x+20<0.

分析 要想解x2-12x+20<0這個不等式，可以先觀察一元二次不等式x2-12x+20<0與二次函數(shù)y=x2-12x+20之間的關(guān)系.6431836A-566A-4583-9308-6E90413E5E21

如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中畫出y=x2-12x+20的函數(shù)圖像，函數(shù)圖像與x軸有兩個交點(diǎn)，這兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程x2-12x+20=0的兩個實(shí)數(shù)根，即x1=2，x2=10，所以二次函數(shù)y=x2-12x+20的圖像與x軸的兩個交點(diǎn)是（2，0）和（10，0）.實(shí)際上，x1=2，x2=10就是二次函數(shù)y=x2-12x+20的兩個零點(diǎn).

根據(jù)函數(shù)圖像可以看出，二次函數(shù)y=x2-12x+20的零點(diǎn)將x軸分成三段.當(dāng)210時，函數(shù)圖像在x軸上方，對應(yīng)的x2-12x+20>0.

解 根據(jù)函數(shù)圖像可知，一元二次不等式x2-12x+20<0的解集是{x2

中學(xué)數(shù)學(xué)的思想方法有很多，數(shù)形結(jié)合思想是比較常見的一種思想.實(shí)際上，在中小學(xué)階段，學(xué)生就已經(jīng)接觸到了這種思想.比如，在小學(xué)階段，我們解決工程中的單位“1”問題時，通常是畫一條線段，根據(jù)題意把線段分成若干份，進(jìn)而更直觀地解決較難理解的代數(shù)運(yùn)算問題;在初中階段，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)得更為直觀，比如動點(diǎn)問題，我們需要結(jié)合圖形中的情景進(jìn)行邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算.總之，數(shù)形結(jié)合思想貫串學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個過程.本文簡要介紹了數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.在高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容中，本文概述了函數(shù)、集合、基本不等式、立體幾何、楊輝三角和方程與不等式中體現(xiàn)出來的數(shù)形結(jié)合思想.除此之外，向量的三角形法則與平行四邊形法則用來計(jì)算向量的和與差，圓錐曲線中可以用方程的方法來描述某一點(diǎn)的軌跡，線性規(guī)劃通過函數(shù)圖像畫出可行域來求最值，數(shù)列的取值情況也可借助函數(shù)圖像來考慮，導(dǎo)數(shù)的幾何意義用切線的斜率表示，概率與統(tǒng)計(jì)中的幾何概型等，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.這說明數(shù)學(xué)中的各個板塊之間的聯(lián)系需要在學(xué)習(xí)中深入研究，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)悟其中的解題方法.數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)中解決問題可以從多個角度考慮，生活中的問題也是如此，思考問題時不能具有思維定式，要具有發(fā)散思維，要有創(chuàng)新意識.

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