中職數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

劉永強

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要數(shù)學(xué)思想之一，它“以形助數(shù)”，化抽象為直觀，“以數(shù)解形”，將“形”的特征用“數(shù)”的嚴密性和準確性表示出來。抽象思維與形象思維的結(jié)合，實現(xiàn)了優(yōu)化解題途徑的目的，有效幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)問題，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識獲得過程及理論來源的理解。本文以實際例子論述數(shù)形結(jié)合思想在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，并給出了數(shù)形結(jié)合方法的教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】中職數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；應(yīng)用；建議

【中圖分類號】G718.3【文獻標志碼】A【文章編號】1004—0463（2022）10—0061—04

新《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標準》課程任務(wù)指出：“使中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生獲得進一步學(xué)習(xí)和職業(yè)發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和活動經(jīng)驗?！睌?shù)形結(jié)合思想是其中重要的數(shù)學(xué)思想之一，能有效幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)問題，優(yōu)化解題途徑?！皵?shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個最古老、最基本的研究對象，主要研究數(shù)字、算術(shù)、數(shù)量關(guān)系等與圖形知識之間的關(guān)系，它們相輔相成，緊密結(jié)合，在一定條件下又可以相互轉(zhuǎn)化。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休?！敝T多數(shù)學(xué)研究者和數(shù)學(xué)教師對這一課題的研究頗多，但其側(cè)重點不同。丁杭纓認為：“數(shù)形結(jié)合既是教師教學(xué)的重要目標，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的。”[1]李雪認為：“數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)是把抽象的代數(shù)與形象的圖形結(jié)合起來，代數(shù)問題與圖形問題彼此轉(zhuǎn)化?！盵2]顧越嶺認為：“考慮問題時數(shù)、形兼顧，將其直觀性與抽象性有機結(jié)合起來，使我們的認識更加全面、更加深刻。”[3]筆者搜索知網(wǎng)，查閱大量關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想的研究資料，發(fā)現(xiàn)研究者們的觀點基本一致，認為數(shù)形結(jié)合就是把代數(shù)問題與幾何圖形結(jié)合起來，“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，化抽象為具體，達到事半功倍的效果[4]。

絕大多數(shù)中等職業(yè)學(xué)校的學(xué)生是中考后分數(shù)未能過普高錄取線的考生，他們文化課底子差、基礎(chǔ)弱，尤其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上困難重重。很多學(xué)生在小學(xué)階段就落下了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，基本數(shù)學(xué)概念不清；常用公式、運算法則及性質(zhì)理解不透，相互混淆；基本運算能力差，有學(xué)生甚至連計算2-（-8）這樣簡單的運算都要考慮很長時間，學(xué)習(xí)上心有余而力不足，嚴重影響了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。為此，教師改變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)思想和方法，注重數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在的、學(xué)科素養(yǎng)——“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，化抽象為直觀，優(yōu)化解題路徑，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

可見，處理集合問題，用數(shù)形結(jié)合的方法，可以使集合之間的關(guān)系及運算直觀化，更容易求解問題的結(jié)果。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多教師受“高考模式”影響，沿用傳統(tǒng)的教學(xué)思想，重結(jié)果輕過程，學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)知識比較死，增加了記憶量，還容易混淆。運用數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生對數(shù)學(xué)結(jié)論獲得本源性的過程體會，從實質(zhì)上理解了知識的來龍去脈，化抽象為具體，直觀呈現(xiàn)，降低了學(xué)生的理解難度。

3.以數(shù)解形，將“形”的特征用“數(shù)”的嚴密性和準確性表示出來?！靶巍彪m然在直觀性上有很多優(yōu)勢，能把抽象的問題形象地表示出來，但在定量上，無論是簡單的還是復(fù)雜的圖形，都必須借助于“數(shù)”，用“數(shù)”精準地描述“形”的特征、數(shù)量關(guān)系，兩者之間的完美結(jié)合，使得數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)不斷向縱深方向發(fā)展。例如，函數(shù)y=f（x）的圖象如圖4所示，觀察圖形，讓學(xué)生把從圖上看到的所有圖形特征說出來。這就需要用數(shù)學(xué)語言完整地描述圖形特征，匯總?cè)缦拢?/p>

（1）函數(shù)y=f（x）的定義域[-3，3]，值域[-1，2]；

（2）當(dāng)x=-1時，函數(shù)有最大值2，當(dāng)x=2時，函數(shù)有最小值-1；

（3）在整個定義域上，函數(shù)不具有單調(diào)性，但在定義域的某些區(qū)間上具有單調(diào)性，如在區(qū)間[-3，-1]∪[2，3]上函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)遞減；

（4）這是一個非奇非偶函數(shù)。

用“數(shù)”把“形”所表現(xiàn)出的所有特征、性質(zhì)進行總結(jié)，訓(xùn)練了學(xué)生觀察、分析、總結(jié)問題的邏輯能力，加深了對函數(shù)性質(zhì)等相關(guān)知識的理解。

中職數(shù)學(xué)教材在編寫上以學(xué)生的年齡特點、心理特征及學(xué)習(xí)基礎(chǔ)為出發(fā)點，突出職業(yè)性和基礎(chǔ)性，依照“實例”“觀察”“新知識”“知識鞏固”“練習(xí)”“現(xiàn)代信息技術(shù)應(yīng)用”“閱讀與欣賞”等板塊組織教學(xué)。對學(xué)生而言，數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)很明確，而數(shù)學(xué)知識中蘊含的數(shù)學(xué)思想?yún)s是看不見、摸不到的，這就需要教師在課堂教學(xué)中潛移默化地滲透。中職數(shù)學(xué)教學(xué)思想包含很多種，知識化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法之間既密切聯(lián)系又各具特色。在運用數(shù)形結(jié)合思想探究或解決問題時，需要把握以下幾點。

1.概念教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)學(xué)概念猶如法律條文，其基礎(chǔ)性地位特別高，是數(shù)學(xué)重要知識點的濃縮。學(xué)生對概念的認知過程要經(jīng)過分析、比較、抽象、提煉、概括和歸納等思維加工，而不是簡單的記憶和理解。實際教學(xué)過程中，教師要盡量把抽象的理性知識通過“形”直觀表示，加深學(xué)生對概念的理解，從而提升學(xué)習(xí)效果。如小學(xué)的分數(shù)概念，初中數(shù)學(xué)中的絕對值、相反數(shù)等概念性知識的講解都可以運用數(shù)形結(jié)合思想完美闡釋。中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊上冊第五章學(xué)習(xí)任意角的概念時，需要大量滲透數(shù)形結(jié)合思想，使抽象的概念具體化。如理解正負角的概念，從圖5的三個圖形中直觀觀察出它們都是角，記作∠AOB，但意義不同：圖①和圖②是正角，圖③是負角，教師在講述概念時要結(jié)合圖形緊扣角是由始邊繞著頂點按照順時針方向還是逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的這一關(guān)鍵點，學(xué)生就會心領(lǐng)神會。

2.公式、定理教學(xué)中感悟數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，涉及到的公式和定理很多，也比較抽象，記憶起來比較困難，尤其數(shù)學(xué)公式容易混淆、記錯。其主要原因在于學(xué)生對公式、定理的本源性理解不到位，這就需要教師在講解知識時合理利用數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生從“形”中領(lǐng)悟公式、定理的幾何意義，加深理解，記憶公式、定理。如中職數(shù)學(xué)誘導(dǎo)公式、直線與圓的方程等數(shù)學(xué)知識，都可以通過圖形幫助記憶理解。

3.解題方法中突出數(shù)形結(jié)合思想。只有在解題過程中突出數(shù)形結(jié)合思想方法，才是最好的運用。雖然數(shù)形結(jié)合思想方法貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的始終，但運用于解題方法教學(xué)中要注意把握度和適用性原則。中職學(xué)生數(shù)學(xué)底子薄弱，在教學(xué)過程中要關(guān)注問題中涉及的“數(shù)”與潛在的“形”之間是否具有等價性，能否使問題簡單化。

總之，數(shù)形結(jié)合既是“數(shù)”與“形”的等價結(jié)合，也是數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)研究及學(xué)習(xí)方法的有機結(jié)合，在運用過程中要注重由“數(shù)”的抽象到“形”的直觀轉(zhuǎn)化以及由“形”到“數(shù)”的精準描述。

[1]丁杭纓.給學(xué)生一個立體的“數(shù)學(xué)”——例談“數(shù)形結(jié)合”[J].人民教育，2010（07）：39-42.

[2]李雪.初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)研究與案例分析[D].河北：河北師范大學(xué)，2014：63.

[3]顧越嶺.數(shù)學(xué)解題通論[M].桂林：廣西教育出版社，2000：120.

[4]游雪峰.數(shù)形結(jié)合在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[A].教學(xué)應(yīng)用就業(yè)，2016.

[5]徐文龍.“數(shù)形結(jié)合”的認知心理研究[D].桂林：廣西師范大學(xué)，2005：06-08.

（本文系2020年度甘肅省“十三五”教育科學(xué)規(guī)劃一般課題“‘三教’改革背景下中職文化課教學(xué)困境及對策研究”的研究成果，課題立項號：GS[2020]GHB3125）

編輯：徐春霞