基于鄰域核密度估計的高速鐵路列車正晚點分布模型研究

徐輝章，陳軍華，李崇楠，張星臣，王 超

(北京交通大學 交通運輸學院, 北京 100044)

列車正點運行是高速鐵路(以下簡稱“高鐵”)運輸組織的核心要求之一，是鐵路企業(yè)對旅客的承諾，兌現(xiàn)與否直接決定高鐵運輸服務(wù)質(zhì)量。在實際運營中，受到人員、設(shè)備和環(huán)境等主客觀隨機因素的干擾，高速列車運行途中不可避免地會偏離運輸計劃，影響鐵路客運服務(wù)可靠性和準時性。文獻[1]規(guī)定“按圖定時分早點或正點到達時，統(tǒng)計為正點；否則統(tǒng)計為晚點”。在不失嚴謹性的前提下，本文將列車實際到達時刻早于圖定到達時刻記為列車到達早點，等于圖定到達時刻記為列車到達正點，晚于圖定到達時刻作記為列車到達晚點，正晚點研究在下文記為早晚點研究。掌握不同列車到達早晚點時長下對應(yīng)的分布規(guī)律，并將之考慮在運行圖編制過程中，是提升高鐵運輸服務(wù)質(zhì)量的必要前提。列車運行實績數(shù)據(jù)表明，在高鐵實際運輸生產(chǎn)過程中，列車早點到達的現(xiàn)象絕非偶然，甚至普遍多于正點和晚點，早點時長分布的研究應(yīng)得到重視。實際上，某時段(或某列車)早點現(xiàn)象發(fā)生，表明該時段(或該列車)所對應(yīng)的運輸計劃有足夠的儲備能力，在遇到特殊擾動時，可合理利用儲備能力調(diào)整列車運行。一般情況下，可將列車早點狀態(tài)視為儲備能力未合理利用的表征[4]。早晚點研究有利于開展鐵路站場運營管理和能力利用研究，有利于分析處理鐵路運輸管理模型中的延誤信息，同時有利于設(shè)置車站仿真模型的輸入輸出。

在理論研究方面，文獻[5]分析列車運行圖結(jié)構(gòu)，通過理論分析推導出運行圖任意一點處晚點概率的計算公式，并給出運行圖緩沖時間的合理分配方法。文獻[6]通過理論推導，建立一個多項式函數(shù)來刻畫鐵路線路的累計晚點時長。在復(fù)雜運輸場景方面，學者也利用仿真技術(shù)對早晚點時長分布進行了探索。文獻[7]通過建立技術(shù)站仿真模型，根據(jù)預(yù)定義的列車到達晚點分布模型，隨機產(chǎn)生晚點時間加載至列車圖定到達時刻，得到復(fù)雜場景的晚點分布影響。文獻[8]模擬日本鐵路高密度開行情況下的連帶晚點，提出一種加快恢復(fù)正點的方法。在數(shù)據(jù)驅(qū)動研究方面，學界應(yīng)用鐵路運行實績數(shù)據(jù)進行了一系列研究。1996年文獻[2]就已基于列車運行實績數(shù)據(jù)，建立β分布模型刻畫列車區(qū)間運行偏離的分布情況。文獻[9-10]采集列車運行實績數(shù)據(jù)，建立q-指數(shù)模型描述列車晚點分布，并應(yīng)用超統(tǒng)計理論解釋模型機理。文獻[11]研究京滬高鐵列車運行實績數(shù)據(jù)，給出列車實際區(qū)間運行時長和停站時長的分布模型。文獻[12]收集中國東北地區(qū)高鐵的列車實績數(shù)據(jù)，研究列車運行擾動源和列車晚點的統(tǒng)計特性，建立零截斷負二項分布模型來刻畫擾動源與晚點列車數(shù)量的關(guān)系。文獻[13]以廣州鐵路局集團有限公司列車運行實績數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，分析7種致因下列車初始晚點的分布模型，發(fā)現(xiàn)對數(shù)高斯分布效果最優(yōu)。文獻[3]收集瑞典兩個貨車調(diào)車場的發(fā)車實績數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)對數(shù)高斯分布模型可以合理描述貨物列車發(fā)車時刻偏離的規(guī)律。既有研究多著眼于研究鐵路晚點的時長分布，對列車偏離計劃的兩種狀態(tài)(早點和晚點)同時進行的研究較少。

本文采集京滬高鐵列車運行實績數(shù)據(jù)，建立以鄰域搜索算法獲取帶寬的核密度估計(KDE)模型探究數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性，發(fā)現(xiàn)不同車站的早晚點時長分布規(guī)律。為全面評價模型的擬合效果，將建立的鄰域KDE模型與其他常見參數(shù)化模型及兩種常見帶寬選取方式下KDE模型進行擬合效果比較，獲得車站列車到達早晚點分布的適宜模型。本文鄰域KDE模型效果優(yōu)于參數(shù)化模型分布效果，同時優(yōu)于其他常用KDE模型。

1 模型與算法

基于實績數(shù)據(jù)的既有研究大多需要一些較強的假設(shè)，即假定樣本數(shù)據(jù)服從某一先驗的參數(shù)化模型，缺乏足夠的理論分析去證明這一假定的合理性，實績早晚點數(shù)據(jù)往往數(shù)量龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、涵蓋豐富的信息，難以找到一個能夠?qū)嵖償?shù)據(jù)進行合理刻畫的參數(shù)化分布模型。此外，調(diào)整和標定模型的參數(shù)也是一個極有挑戰(zhàn)性的難題。而核密度估計(KDE)作為非參數(shù)估計模型，并不需要有關(guān)數(shù)據(jù)分布的先驗基礎(chǔ)知識，從數(shù)據(jù)本身特征出發(fā)建立模型，擅長對復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)時間偏離等物理量的數(shù)據(jù)分布描述，在多個領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，如能耗評價、列車牽引力概率分布、交通流速度分布等[14-16]。

然而，KDE模型的帶寬取值往往基于經(jīng)驗公式，擬合的準確性難以保證，故本文在傳統(tǒng)KDE模型的基礎(chǔ)上提出一種鄰域搜索算法，能夠獲得比傳統(tǒng)經(jīng)驗公式更佳的帶寬。本文構(gòu)建的KDE-ND可用于描述高鐵列車早晚點分布。

1.1 KDE

與傳統(tǒng)的參數(shù)化模型不同，KDE模型不需要數(shù)據(jù)分布的先驗知識，充分利用樣本數(shù)據(jù)自身信息，采用平滑的核函數(shù)來擬合觀測到的數(shù)據(jù)點，具有更優(yōu)的擬合效果。因此，為真實反映高鐵列車早晚點時長的概率分布，采用非參數(shù)估計方法中的KDE。它有兩個要素：核函數(shù)K(·)與帶寬h，在給定樣本數(shù)據(jù)時，確定核函數(shù)與帶寬就確定了KDE模型。KDE的表達式為

(1)

KDE有多種核函數(shù)供選擇，高斯核函數(shù)因為數(shù)學性質(zhì)優(yōu)良、形式簡單、使用方便的特點，為學界最為廣泛使用，故采用高斯核函數(shù)建立模型。高斯核函數(shù)為

(2)

將式(2)代入式(1)，得到高斯核函數(shù)的KDE模型為

(3)

式(3)中的帶寬仍為未知參數(shù)，它反映了KDE曲線整體的幾何形態(tài)，以及控制KDE密度函數(shù)的平滑程度。帶寬越大，KDE曲線會更“矮胖”，函數(shù)峰值會更小，曲線也會更光滑；帶寬越小，KDE曲線會更“高瘦”，函數(shù)峰值會更大，但曲線可能不太光滑。所以如果帶寬過小，核函數(shù)疊加后的KDE曲線會過于陡峭；如果帶寬過大，那么KDE曲線會過于平緩，掩蓋了很多樣本數(shù)據(jù)的信息。同時，帶寬對KDE模型擬合的準確性有很大的影響，直接決定了KDE的擬合質(zhì)量。因此，為KDE模型選擇合適的帶寬至關(guān)重要。

作為核密度估計的核心，眾多學者相繼提出了最優(yōu)帶寬的確定方法，如Silverman帶寬選取法與最小二乘交叉驗證(LSCV)帶寬選取法。這些方法將帶寬選擇視為一個優(yōu)化問題，得到的帶寬值多為局部最優(yōu)解，通常需要進行多次對比實驗才能確定合適的值，故本文提出一種新的帶寬選取方法，即基于鄰域搜索算法(Neighborhood Descent，ND)來確定更優(yōu)的帶寬。這3類方法會得到3種不同的核密度估計模型，為方便分析，將這3種帶寬選擇方式下的分布模型簡記為KDE-Silverman、KDE-LSCV和KDE-ND。

(1)Silverman帶寬選取

Silverman帶寬hS為[17]

(4)

(2)LSCV帶寬選取

LCSV帶寬hLSCV為[18]

(5)

(6)

式中：j=1,2,…,n。

(3)ND帶寬選取

Silverman方法根據(jù)固定公式選取帶寬，可以快速得到較好的帶寬值，但該帶寬不是描述數(shù)據(jù)的最優(yōu)帶寬；LSCV方法通過計算交叉預(yù)測值的平均值求最優(yōu)帶寬，但該方法隨樣本量增大求解難度也逐漸增大。本文基于ND提出一種改進的帶寬搜索算法——KDE-ND，通過巧妙地構(gòu)建鄰域集合實現(xiàn)快速尋優(yōu)效果。該算法將LSCV方法求解的帶寬作為初始解，基于LSCV方法求得的帶寬hLSCV按不同的精度范圍生成不同的鄰域，算法偽代碼如下：

輸入: 基于LSCV方法求得的帶寬hLSCV

輸出: 基于鄰域搜索方法求得的帶寬hnd

1: 定義局部鄰域集合N={h1,h2,…,hn},n=50

hi=hLSCV+random(-0.1,0.1),?hi∈N

2: 初始解hb=hLSCV

3: repeat

4: Forl=1 tonDo

5://尋找鄰域集中最優(yōu)解h″ ofh′ inN

6: Ifg(h″)

7: Otherwisel=l+1

8: 輸出hnd=h′

其中，目標函數(shù)g(h)是平均積分平方誤差，即

(7)

1.2 參數(shù)化分布模型

為與KDE模型擬合效果進行比較，采用如下幾類常見的參數(shù)化分布模型，包括Logistic分布、高斯分布、對數(shù)高斯分布、t分布和對數(shù)伽馬分布。采用極大似然估計方法來標定各分布模型的參數(shù)。各分布的概率密度函數(shù)見表1。由于此類分布模型大多要求定義域為正數(shù)，為貼合早晚點數(shù)據(jù)所需描述的正負數(shù)均存在的情況，本文增加了分布的位置參數(shù)和尺度參數(shù)進行修正。

1.3 綜合評價指標

對于模型的擬合效果進行評價可以采用MAE、RMSE等指標，不同的指標在量綱、數(shù)量級以及取值傾向(即有的指標是取值越小，擬合效果越好，有些指標則是越大越好)存在差異，對于同一模型可能會得到不同甚至相反的評價結(jié)果。為解決上述問題，基于幾類單一指標，建立出一種綜合評價指標，以全面評價不同模型的擬合效果。本文考慮的單一指標包括：

表1 參數(shù)化模型介紹

(1)Kolmogorov-Smirnov檢驗

Kolmogorov-Smirnov(K-S)檢驗可確定是否接受分布假設(shè)。在K-S檢驗中，虛無假設(shè)(H0)是指兩個樣本數(shù)據(jù)服從同一分布，或一個樣本數(shù)據(jù)服從某一理論分布。為確定是否接受虛無假設(shè)，設(shè)檢驗統(tǒng)計量D，表示樣本的經(jīng)驗累計分布函數(shù)(ECDF)和理論分布的累積分布函數(shù)(CDF)之間的最大差值，即

D=maxx|F(x)-G(x)|

(8)

式中：F(x)為樣本數(shù)據(jù)的ECDF；G(x)為理論分布的CDF。D的值越小，說明理論分布的擬合效果越好。

(2)均方根誤差

均方根誤差(RMSE)值PRMSE為

(9)

(3)平均絕對誤差

平均絕對誤差(MAE)值PMAE為

(10)

MAE的值越小，說明分布模型擬合效果越好。

(4)決定系數(shù)

決定系數(shù)R2為

(11)

(5)綜合評價指標

基于式(8)～式(11)的4項單一指標，建立一種綜合指標。由于指標的量綱、數(shù)量級不一致，應(yīng)當對單一指標進行預(yù)處理，本文采用歸一化處理

(12)

式中：Mk′為歸一化后的指標；Mk為原始指標；Mkmax、Mkmin分別為原始指標的最大、最小值。歸一化后的指標的取值都介于0和1之間，且取值越高說明模型擬合效果越好。將歸一化指標相加，定義綜合指標M′。對于本文研究，該值越接近4，說明模型的擬合效果越好。

2 數(shù)據(jù)采集與整理

本文高鐵列車運行實績數(shù)據(jù)源自中國鐵路客戶服務(wù)中心12306網(wǎng)站。數(shù)據(jù)空間范圍為京滬高鐵沿線各站，時間范圍為2020年某月1日至30日。實績數(shù)據(jù)包含列車車次、列車到達車站、圖定到達時刻、實際到達時刻等信息，數(shù)據(jù)以整分鐘為單位。為進一步分析，獲取的原始實績數(shù)據(jù)需要進行數(shù)據(jù)預(yù)處理，包含篩選出在京滬高鐵線路運行列車的數(shù)據(jù)(京滬本線車與跨線車數(shù)據(jù))，刪除與實際情況相悖的錯誤數(shù)據(jù)等。

實績數(shù)據(jù)以整分鐘作為單位，原始數(shù)據(jù)條目總數(shù)為213 327，預(yù)處理結(jié)束后107 168。其中，由于3個車站信息不完全，不納入樣本集合，對京滬高鐵其余20個車站進行描述和分析。

早晚點數(shù)據(jù)可通過實績數(shù)據(jù)計算得到：由列車實際到達時刻與圖定到達時刻作差計算出到達偏差量。當偏差量大于0時，表示列車到達晚點；當偏差量為0時，表示列車到達正點；當偏差量小于0時，表示列車到達早點。偏差量的絕對值可以反映各狀態(tài)持續(xù)時長。

為研究實績數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性，繪制描述性統(tǒng)計圖，見圖1。圖1(a)為早晚點時長散點圖，可以看到大部分觀測點的時長值落入0的附近，說明高鐵面臨的早晚點大部分為小時長。部分分散較遠的觀測值晚點比例較大，分布較為松散，早點觀測值分布密集，多集中在早點1～8 min。圖1(b)將圖1(a)中的早晚點散點圖轉(zhuǎn)換為頻數(shù)分布直方圖，由直方圖的輪廓形態(tài)可以直觀看出，京滬高鐵全線整體的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)偏態(tài)分布，但通過對各車站分布描述發(fā)現(xiàn)，不同車站分布存在明顯差異，直接刻畫京滬高鐵全線數(shù)據(jù)分布難以描述所有車站的分布效果。

圖1 早晚點時長描述性統(tǒng)計圖

圖2為車站早晚點比例分布圖。由圖2可知，京滬高鐵兩端的終到時刻早點到達頻率普遍高于晚點，整個運輸過程存在較好的趕點能力。不同車站正點頻率基本持平，運輸秩序較為穩(wěn)定。晚點比例方面，不同車站差異不同，線路中間的車站具有更大的晚點比例。

圖2 各車站早晚點比例分布

圖3為京滬高鐵各車站早晚點分布示意圖，由圖3可知，車站的早晚點分布情況存在較為明顯的差異。從分布圖形的峰值來看，大部分車站呈現(xiàn)單峰分布(如北京南站、滄州西站、德州東站等)，但也有部分車站呈現(xiàn)雙峰分布(如廊坊站、滁州站等)。單峰分布的峰值都是在橫坐標為0即正點處取得，與高鐵列車大部分準時正點到達的事實相符，而雙峰分布中，除去正常的原點處取得峰值外，還可能在晚點狀態(tài)下存在一個峰值，說明該類車站的列車會于某晚點時長下集中到達，應(yīng)當采取適宜的晚點管理手段消解該峰值。從分布圖形的尾部特征來看，靠近線路端點的始發(fā)終到站具有厚尾分布效應(yīng)，而分布于線路中間的其他車站具有截斷分布特征，分布圖形的尾部不明顯。圖3中各個車站實績分布情況的差異性說明，全線數(shù)據(jù)分布模型還不足以描述列車在各車站實績到達情況，無法捕捉各個車站分布特點的差異性。因此需要對每一車站單獨進行研究。另一方面，常規(guī)的參數(shù)化分布模型可能無法準確描述全線每一車站的情況，需要使用一種只依賴數(shù)據(jù)分布特點，無需先驗知識的非參數(shù)化分布模型進行早晚點分布情況刻畫。KDE作為一類應(yīng)用廣泛、理論完備的非參數(shù)化模型，尚未應(yīng)用于鐵路運輸領(lǐng)域的早晚點分布刻畫。因此，本文基于核密度估計模型，針對京滬高鐵不同車站分別構(gòu)建早晚點時長分布模型，并利用綜合擬合優(yōu)度指標評價各車站模型的擬合效果并與全線整體擬合效果作對比。

圖3 各車站早晚點分布

3 數(shù)值實驗與分析

將提出的模型算法應(yīng)用于京滬高鐵的實績數(shù)據(jù)，并利用綜合評價指標用以全面評價和比選模型。

3.1 擬合結(jié)果

京滬高鐵部分車站在不同分布模型下的擬合結(jié)果見圖4、圖5。圖4(a)和圖4(b)是以蚌埠南站和昆山南站為例的單峰型分布，類似的車站還有北京南站、滄州西站、德州東站等，數(shù)據(jù)均服從正偏態(tài)分布。根據(jù)圖4可以直觀看出，KDE模型能夠準確描述數(shù)據(jù)的分布，且在三類KDE模型中，KDE-ND的擬合效果更加突出。

圖4 典型車站擬合結(jié)果分布圖(單峰型分布)

圖5(a)和圖5(b)分別是以廊坊站和上海虹橋站為例的雙峰型分布，類似的車站還有廊坊站、滁州站、定遠站等。KDE-ND模型直接利用平滑的高斯核核函數(shù)擬合樣本數(shù)據(jù)，可貼合雙峰型分布的數(shù)據(jù)形態(tài)。而t分布等參數(shù)化模型在雙峰型分布中難以匹配多個曲線的峰值。對比圖5(a)和圖5(b)，也可看到數(shù)據(jù)的分布特點在不同車站有所不同，對于精細化客運需求的運營組織優(yōu)化彰顯必要。

圖5 典型車站擬合結(jié)果分布圖(雙峰型分布)

京滬高鐵全線實績數(shù)據(jù)分布及擬合情況見圖6。全線的分布呈現(xiàn)單峰右偏厚尾分布特征，對比圖5與圖3可知，無法保證全線分布能夠與任一車站的分布完全匹配，甚至存在較為明顯的差異。例如，滁州站呈雙峰分布，與圖5存在明顯差異。另外，KDE系列模型和t分布描述全線分布效果較好(R2取值均在0.97以上)，其余模型無法準確擬合峰值或尾部等特征，與實績數(shù)據(jù)的情況差距較大。

圖6 京滬高鐵全線實績數(shù)據(jù)分布及擬合

3.2 檢驗結(jié)果

京滬高鐵車站的KDE與參數(shù)化模型擬合優(yōu)度的箱線圖見圖7。由圖7可見，KDE-ND模型在PRMSE、R2和PMAE指標下均為最優(yōu)，說明KDE-ND的擬合效果最優(yōu)。除去KS外，t分布在3項指標下表現(xiàn)僅次于KDE-ND，說明參數(shù)化模型中t分布也具有較好的擬合效果。另外，針對不同的指標，模型之間的排序結(jié)果也有所不同，證明建立綜合指標來全面評價模型擬合優(yōu)度是有必要的。

圖7 分布模型擬合優(yōu)度箱線圖

不同模型的擬合優(yōu)度指標見表2，指標進行了歸一化處理并依車站計算平均值后列入表中。從左開始第2到5列為單項擬合優(yōu)度指標的取值，第6列為綜合擬合優(yōu)度指標的取值。KDE-ND具有最優(yōu)的擬合效果，且優(yōu)于另外兩類KDE模型。其中，KDE-ND的綜合指標取值為3.599(滿分為4)，而KDE-LSCV和KDE-Silverman的綜合指標取值分別為3.167和3.047，均低于KDE-ND。另外兩類KDE模型的綜合指標優(yōu)于t分布以外的分布模型，證明KDE模型普遍優(yōu)于其他參數(shù)化模型。Log-Gamma和Gaussian分布的擬合優(yōu)度取值情況很差，應(yīng)當在實際應(yīng)用中舍棄。

表2 分布模型歸一化擬合優(yōu)度指標和綜合擬合優(yōu)度指標

京滬高鐵沿線各站的最優(yōu)分布模型見圖8。由圖示可知，沿線大部分車站都適宜使用KDE-ND模型進行列車運行情況擬合，其次是少量車站適用于t分布模型進行早晚點分布描述。實績數(shù)據(jù)呈近似對稱單峰分布的車站適用于t分布刻畫，而實績數(shù)據(jù)呈雙峰、厚尾、或者非對稱復(fù)雜分布的車站則適用于KDE-ND模型。觀察兩類最優(yōu)模型的車站在線路上的分布情況，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)模型為t分布的少量車站集中分布于線路的中間部分。

圖8 京滬高鐵沿線各站的最優(yōu)分布模型

圖9為京滬高鐵沿線各站早晚點分布擬合與關(guān)鍵參數(shù)取值。根據(jù)圖9，KDE-ND模型僅采用帶寬bnd即可實現(xiàn)分布的描述，而t分布需要v、loc和scale 3個參數(shù)才能完全確定。說明KDE-ND模型更易于標定，在實際應(yīng)用中的可擴展性更強。另一方面，t分布無法刻畫廊坊站等帶有雙峰分布的實績數(shù)據(jù)，并且很難捕捉線路端點車站厚尾效應(yīng)的數(shù)據(jù)特性。此外，由于t分布為嚴格對稱分布，所以不適用于早點晚點比例不均、分布不對稱的情況。而KDE-ND模型因其強大的擬合能力可以很好地彌補t分布應(yīng)用的局限性，刻畫更加廣泛和復(fù)雜的早晚點分布特征。在KDE-ND模型描述的車站中，帶寬bnd取值范圍為0.392～1.177，帶寬變化范圍較大。相鄰車站的帶寬取值可能比較接近，如定遠站(0.436)和滁州站(0.430)，也可能取值差距很大，如常州北站(1.211)和無錫東站(0.492)。除丹陽北站、滄州西站、棗莊站、常州北站與蘇州北站帶寬取值高于1，其余車站帶寬取值均在0.5附近。觀察發(fā)現(xiàn)，丹陽北站、滄州西站、棗莊站、常州北站與蘇州北站列車到達早晚點分布形態(tài)均較為對稱，核密度估計選取帶寬時, 0.3～1.2附近帶寬取值差別不夠明顯，但這類車站的列車到達早晚點數(shù)據(jù)可以通過t分布很好地擬合。對于其他存在單峰、多峰等情況的車站，t分布擬合效果則略顯不足。

圖9 京滬高鐵沿線各站早晚點分布擬合與關(guān)鍵參數(shù)取值

4 結(jié)論

針對高速鐵路列車早晚點時長分布擬合問題，提出一種基于KDE-ND的概率分布模型。主要研究結(jié)論如下：

(1)采用2020年某月京滬高鐵列車運行實績數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)源，對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理和描述統(tǒng)計。統(tǒng)計結(jié)果顯示，不同車站的數(shù)據(jù)分布有所差異。因此針對不同車站分別進行研究，考慮到既有研究鮮有對早點時長分布的考慮，或?qū)⒃琰c和晚點割裂開來分別研究，為全面評價列車偏離計劃運行的不同狀態(tài)，本文構(gòu)建同時包含早點與晚點到達信息的時長分布模型，從整體性、全面性的角度分析列車偏離計劃運行不同狀態(tài)的分布情況，可為仿真、車站到發(fā)線優(yōu)化等研究提供支撐。

(2)提出KDE-ND來表達早晚點分布模型，引入兩種經(jīng)典帶寬選擇方法(Silverman和LSCV方法)的KDE模型及幾種常見的參數(shù)化模型進行對比研究，數(shù)值試驗的結(jié)果表明，3種KDE模型擬合效果優(yōu)于參數(shù)化模型，同時本文提出的KDE-ND相比于其他KDE模型及參數(shù)化模型具有更好的擬合效果，可以高效地捕捉列車運行偏離的規(guī)律，當帶寬取值在0.5附近時，模型可以取得較好的擬合效果。

(3)提出列車早晚點分析綜合評價指標來全面考察各模型的擬合效果，該指標解決了具有差異性的不同單項指標下模型擬合效果排序不一致的問題，保證了評價指標的科學性，計算的綜合評價指標可用于描述分布函數(shù)適配程度。

本文使用的數(shù)據(jù)類型主要為早晚點時長，由于晚點致因、客運量、天氣、司機駕駛行為、調(diào)度調(diào)整策略等其他信息稀缺，早晚點分布規(guī)律與影響因素之間的關(guān)系需進一步探究。如果能夠獲取早晚點致因及更多高鐵線路的早晚點數(shù)據(jù)，則可以建立高速鐵路成網(wǎng)條件下考慮致因的早晚點時長分布模型，進一步加強模型的適用性，支撐早晚點預(yù)測模型的構(gòu)建，為高鐵運輸組織的理論研究和工程實踐提供幫助。

研究成果有助于理解高速鐵路車站列車到達分布規(guī)律，為列車延誤預(yù)測提供基礎(chǔ)，同時為高速鐵路運輸實時管理研究提供借鑒；其次，可將研究得到的高鐵列車早晚點分布模型用于列車運行仿真的參數(shù)標定和仿真輸入輸出，提高仿真質(zhì)量，開展到發(fā)線分配優(yōu)化策略研究；最后，由于列車早晚點分布會影響不同時段車站能力占用情況，研究成果有助于鐵路運輸能力利用優(yōu)化，對于精細化高鐵運營管理有指導意義和應(yīng)用價值。