一類重心權(quán)Hermite有理插值的二階導數(shù)收斂性

康寧，荊科

（1.南京財經(jīng)大學經(jīng)濟學院，江蘇 南京 210023； 2.南京財經(jīng)大學應用數(shù)學學院，江蘇 南京 210023）

一類重心權(quán)Hermite有理插值的二階導數(shù)收斂性

康寧1，荊科2

（1.南京財經(jīng)大學經(jīng)濟學院，江蘇 南京 210023； 2.南京財經(jīng)大學應用數(shù)學學院，江蘇 南京 210023）

研究了一類特殊情形的重心權(quán)Hermite有理插值，證明了該插值函數(shù)的二階導數(shù)在插值節(jié)點和非插值節(jié)點處分別以和的速度收斂于函數(shù)。數(shù)值例子進一步驗證了方法的有效性。

重心權(quán)有理插值；Hermite插值；收斂速度；二階導數(shù)

0 引言

并給出了插值函數(shù)在插值區(qū)間內(nèi)無極點的必要條件和具有重心權(quán)形式的充分條件，遺憾的是，該插值方法雖然解決了計算復雜性問題，但逼近誤差可能較大。為解決重心權(quán)Hermite有理插值在實數(shù)范圍內(nèi)無極點以及收斂性問題，文獻［3］給出了一種Hermite有理插值的Newton形式。文獻［5-7］提出了一種重心權(quán)Hermite有理插值的迭代構(gòu)造方法，并研究了度量數(shù)值穩(wěn)定性的Lebesgue常數(shù)性質(zhì)。文獻［8］針對一類特殊情形的Hermite插值，證明了的收斂速度為，并給出了具有較高數(shù)值穩(wěn)定性和較低計算復雜度的重心權(quán)函數(shù)式：

上述研究結(jié)果極大地豐富了重心權(quán)Hermite有理插值的理論方法，但研究重點集中在重心權(quán)Hermite有理插值函數(shù)及其一階導數(shù)的收斂性上。鑒于此，本文進一步探討文獻［8］中的重心權(quán)Hermite有理插值，并證明重心權(quán)Hermite有理插值的二階導數(shù)同樣具有高階收斂性質(zhì)，以豐富已有研究成果。

1 收斂性質(zhì)

由文獻［9］Hermite多項式插值的誤差公式：

得到式（2）的重心權(quán)Hermite有理插值的誤差估計：

為解決式（3）的極限問題，定義函數(shù)：

另外，由文獻［10-11］中擬等距節(jié)點的定義，有

其次，將式（8）分為4項：

依次證明各項的收斂性質(zhì)。

其中，

又因文獻［8］式（3.10）已獲證

同理，

其中，

然后，對i賦值，可得

同理，

最后，與式（11）類似，可得

同理，

綜上，定理2得證。

2 數(shù)值例子

采用Matlab軟件進一步驗證重心權(quán)Hermite有理插值的二階導數(shù)收斂性質(zhì)，并將其應用于2個經(jīng)典的函數(shù)實例，見表1。

表1 函數(shù)、參數(shù)和插值節(jié)點Table 1 Functions ， parameters ， and interpolation nodes

表1 函數(shù)、參數(shù)和插值節(jié)點Table 1 Functions ， parameters ， and interpolation nodes

實驗函數(shù)參數(shù)插值區(qū)間插值節(jié)點xi12

表2 逼近誤差和收斂階Table 2 Approximation errors and convergence orders

圖1 實驗1中重心權(quán)Hermite有理插值的二階導數(shù)曲線Fig.1 Plot of the second derivatives of barycentric Hermite rational interpolation in experiment 1

圖2 實驗2中重心權(quán)Hermite有理插值的二階導數(shù)曲線Fig.2 Plot of the second derivatives of barycentric Hermite rational interpolation in experiment 2

由表2及圖1、圖2可知，重心權(quán)Hermite有理插值的二階導數(shù)的數(shù)值逼近誤差及收斂階支持定理1和定理2，進一步驗證了本文方法的有效性。

3 結(jié)論

［1］SZABADOS J. On the order of magnitude of fundamental polynomials of Hermite interpolation［J］. Acta Mathematica Hungarica， 1993，61（3/4）：357-368. DOI：10.1007/bf01874691

［2］CIRILLO E. Advances in Barycentric Rational Interpolation of a Function and Its Derivatives［D］. Lugano： Università della Svizzera Italiana，2019.

［3］SCHULZ C. Topics in Curve Intersection and Barycentric Interpolation［D］. Oslo： University of Oslo，2009.

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Convergence of second derivative of a family of barycentric Hermite rational interpolants

KANG Ning1, JING Ke2

（1. School of Economics，Nanjing University of Finance and Economics，Nanjing210023，China；2. School of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance and Economics，Nanjing210023，China）

In this paper, we further study a family of barycentric Hermite rational interpolants in a special caseand prove that the second derivativesof interpolation function converges to corresponding functionat the rate ofandat interpolation nodes and non-interpolation nodes, respectively. Finally, numerical examples further verify the effectiveness of the method.

barycentric rational interpolation; Hermite interpolation; convergence rates; second derivatives

O 241.3

A

1008?9497（2022）03?324?05

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.009

2021?04?06.

國家自然科學基金資助項目（11601224）；教育部人文社科項目（18YJC790069）；江蘇省高等學校自然科學研究項目（18KJD110007）；國家統(tǒng)計局項目（2018LY28）.

康寧（1986—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-2905-6193，女，博士，副教授，主要從事應用數(shù)值逼近、統(tǒng)計計算研究，E-mail：9120171058@nufe.edu.cn.