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    從問題解決“看”數(shù)學(xué)眼光的培養(yǎng)

    2022-06-02 13:16:47孫惠惠
    關(guān)鍵詞:石凳眼光面積

    孫惠惠

    每一個學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光是不同的。面對真實情景,不同數(shù)學(xué)眼光的學(xué)生提煉的數(shù)學(xué)問題不同、解決策略不同,產(chǎn)生的學(xué)習(xí)價值和意義也不同。數(shù)學(xué)的眼光是可以水平分層的,從知識技能、思維方式、人文素養(yǎng)等不同視角,審視與評價學(xué)生的相異構(gòu)想,能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光與素養(yǎng)。

    現(xiàn)實的生活是鮮活的,數(shù)學(xué)的世界是抽象的。數(shù)學(xué)的世界在很大程度上,可以被看成是我們這個真實世界高度抽象的結(jié)果。通過現(xiàn)實問題的真實解決,學(xué)生能從真實現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與空間結(jié)構(gòu),從而提出有意義的數(shù)學(xué)問題;能從真實現(xiàn)象中抽象出需要研究的對象,形成數(shù)學(xué)的概念;能理解真實現(xiàn)象中蘊藏的數(shù)學(xué)知識,感受數(shù)學(xué)的理性美,在發(fā)展能力的同時,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光。

    通過觀察不同學(xué)生在同一真實問題中的不同表現(xiàn),我們會深刻感受到。面對真實情景,不同數(shù)學(xué)眼光的學(xué)生提煉的數(shù)學(xué)問題不同、解決策略不同,產(chǎn)生的學(xué)習(xí)價值和意義也不同。同時,我們也會深刻體會到,學(xué)生所具有的數(shù)學(xué)的眼光,不僅僅是一種能力,也是一種意識,一類方法,甚至是一組綜合能力。

    一、從真實任務(wù)“看”問題抽象

    學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)源自經(jīng)驗的積累和經(jīng)驗的不斷改造。不同的知識積累,不同的生活閱歷,不同的參與問題解決的已有經(jīng)驗,都會使得學(xué)生看待新問題的視角有所不同。這種不同和差異,帶有明顯的個人學(xué)習(xí)偏好和個性傾向。

    (一)任務(wù)呈現(xiàn)

    三個班級要在校園里開辟種植園地,學(xué)生們希望每一個班級分得的園地面積相等,該如何分(見下圖)?

    這個種植園地中有一條寬度相等的弧形小道,三條大小相等的長方形石凳和四個大小相等的圓形石凳。學(xué)生需要完成的任務(wù)是設(shè)計出三個面積相等的種植區(qū)域。面對這樣的任務(wù)要求,學(xué)生在解讀信息后,不同的人會形成不同的關(guān)注視角和問題解決思路。

    (二)問題抽象

    學(xué)生A的關(guān)注點聚焦在“面積等分”。思考的方向是如何通過計算,把可以用于種植的面積計算出來,然后再三等分,以使得每個班級分得的面積相等。學(xué)生通過測量種植區(qū)域中種植園、小路、石凳的長、寬、直徑等數(shù)據(jù)獲取計算所需,通過計算得到每個班級的種植面積,從而有效解決問題。

    學(xué)生B的關(guān)注點聚焦在“三塊面積相等的園地”。思考的方向是怎么能在空地上得到三塊一樣大小的面積?形狀是否要相同?每班只能分一塊地還是可以多塊組合?如每個班級分到2.5個大小相同的圓形花壇,或者是每個班分到一個面積相同但形狀不同的種植區(qū)域。

    學(xué)生C的關(guān)注點聚焦在“平均分”的方法。園子中的種植面積有大有小,數(shù)據(jù)又不清楚,用怎樣的方法才能快速有效的平均分?有哪些已有的問題解決經(jīng)驗可以遷移使用。是化繁為簡、移多補少還是面積單位分組構(gòu)建,哪一種能靈活巧妙、創(chuàng)造性的解決問題。

    從以上的問題中我們可以發(fā)現(xiàn),面對同一個任務(wù)情境,不同的學(xué)生,從中抽象出的數(shù)學(xué)問題也是不同的。部分學(xué)生在面對問題時會提出與計算相關(guān)的問題,因為數(shù)字是具體可計算的,是學(xué)生最擅長使用的方法;部分學(xué)生會提出近期剛學(xué)習(xí)使用過的策略方法,如用相同面積單位個數(shù)去解決問題;還有一部分學(xué)生會借鑒前期解決與此類似或相關(guān)問題的經(jīng)驗,遷移方法進行嘗試。這種種不同就是由數(shù)學(xué)眼光的不同而造成的結(jié)果差異。

    二、從相異構(gòu)想“看”問題解決

    著名數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)家丘成桐曾說過“相對于巧妙技巧來說,數(shù)學(xué)家更需要的是勤奮、眼光和思想”。面向真實的數(shù)學(xué)問題解決,靜止的數(shù)字、孤立的公式能解決直觀且顯而易見的問題;但抽象、推理、想象,遷移、整合、創(chuàng)造等方法的綜合運用,能更好地解決隱性、挑戰(zhàn)、開放類的問題。

    如采用“平均分”思路解決問題的學(xué)生,他們在前期的問題解決方式基本相同,都是先通過測量種植的寬,將種植橫向三等分,同時等分的還有三條石凳和弧形小道。不能直接解決的問題是如何處理四個圓形石凳的問題。面對這樣的問題,學(xué)生們有以下幾種解決方法。

    (一)區(qū)域板塊面積的“移多補少”

    學(xué)生1:按照橫向三等分劃分,2班和3班會比1班多分到半條石凳,因此,1班的種植面積就比這兩個班多。

    直接解決問題的方案是,把1班的種植面積分割一點給這兩個班級。但是1班和3班沒有直接相連的土地,因此學(xué)生采用的方案是計算出兩個班需要割補的總面積,然后從1班割去總面積,2班在得到補充面積之后,再割出一般補給3班。在這個移多補少的問題解決過程中,不僅讓學(xué)生感受到思想方法和計算都是問題解決的工具之一,更充分發(fā)展了學(xué)生的空間想象能力。

    (二)四個石凳的“問題重述”

    學(xué)生2:橫向三等分劃分后,4個圓形石凳橫跨三個區(qū)域,因此,“種植面積等分”的問題可以重述為“4個圓形石凳三等分”的問題。

    為了完美的實現(xiàn)平均分,學(xué)生先從量上考慮,四個圓形石凳三等分,每個班級將分到三分之四個石凳;學(xué)生還從操作性中做出考慮,怎樣三等分石凳才能使之和種植區(qū)域的分割線更好銜接,并且在草圖中給出了圓凳的分割示意。通過這樣的問題重述化繁為簡,學(xué)生不僅學(xué)會了在紛繁復(fù)雜的信息中用數(shù)學(xué)的眼光重新審視信息和重述問題,發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵信息,更發(fā)展了學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想。

    (三)一組面積單位的“分組建構(gòu)”

    學(xué)生:由于橫向分割依然不能完全解決三等分的問題,因此,學(xué)生提出了按照不同區(qū)域分別三等分的設(shè)計思路。

    學(xué)生們首先根據(jù)種植園地的布局特點劃分出大小區(qū)域,按照從大到小的順序有序思考,把能等分的區(qū)域先三等分;剩下不能等分的不規(guī)則區(qū)域后,選擇更小的面積單位繼續(xù)等分,直至把所有的可種植面積都分割完成。在這一過程中,學(xué)生充分利用化整為零的思想,靈活運用面積單位,化解了不規(guī)則圖形面積的計算問題和等分問題。

    由以上三組學(xué)生的作品對比可知,用不同的眼光去看問題,解決的過程也是截然不同的。在這一過程中,學(xué)生不僅感受到數(shù)學(xué)的數(shù)字、計算、公式是有用的,同時也能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維方式、方法遷移是有趣的、更具探索價值的。學(xué)生會感受到,數(shù)學(xué)不僅僅一種計算工具,還能在探索數(shù)學(xué)的過程中獲得智力的樂趣,方法運用的美妙、問題解決的成就,讓學(xué)習(xí)的過程閃爍智慧的光芒。

    三、從三項評價“看”素養(yǎng)培養(yǎng)

    每個學(xué)生在成長中都會遇到很多的問題。有些問題來自書本,運用已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識、公式、模型就能輕松解決。有些問題來自生活,沒有先例可以借鑒,也不能直接運用經(jīng)驗解決,面對這種挑戰(zhàn)性的問題,不同學(xué)生會有截然不同的問題解決表現(xiàn)。因此,如何通過評價來提升學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界的能力就尤為重要,主要可以從以下三個維度建立評價方案。

    (一)從知識的習(xí)得狀態(tài)評能力強弱

    不同知識水平的人解決同一個問題,評價的標準是不一樣的。評價前需要分析所運用到的知識是已經(jīng)學(xué)過的,還是超過自身年齡段的超前的知識,前者是知識學(xué)習(xí)后的應(yīng)用,后者是知識默會后的遷移。如二年級用未學(xué)習(xí)面積單位之前,能想到不同大小區(qū)域用不同大小方塊去分,值得評價為能力強;三年級學(xué)習(xí)這一知識點后采用同一方法,就只能評價為靈活應(yīng)用、能力合格。

    (二)從問題解決的過程方法評思維高低

    不同的問題解決策略能反映出一個人的思維習(xí)慣和思維水平。面對真實問題時,有些可以運用數(shù)學(xué)知識直接解決,有些則需要運用間接經(jīng)驗去解決。如不能直接解決種植面積三等分的問題,是否可以轉(zhuǎn)為解決四個圓石凳三等分的問題,是否可以轉(zhuǎn)為化整為零的問題等等。

    (三)從成果作品的人文藝術(shù)評綜合素養(yǎng)

    面對真實情境所產(chǎn)生的問題解決方案,最終要回歸生活評價成果的實用性和藝術(shù)性。品鑒所設(shè)計的方案,是否在保留數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,具備了審美和藝術(shù)性,如多個種植規(guī)劃方案中哪一個更美觀、更具實用性;剖析學(xué)生用作品表達想法時,圖形表達、色塊區(qū)分是否具表現(xiàn)力;觀察作品發(fā)布會的公開展示中,分享、展示、團隊合作是否熟練、有效,是否能更多的獲得同伴與他人的認可與贊賞等。

    數(shù)學(xué)眼光的培養(yǎng)是貫穿一個學(xué)生一生成長的重要素養(yǎng)。數(shù)學(xué)眼光的培養(yǎng)不僅僅知識為了強調(diào)一個知識點,更重要的是在改變學(xué)生的一種觀察視角與思維方式,重塑看待問題的眼光。從孤立的、靜止地看待一個數(shù)學(xué)問題,到會主動使用動態(tài)、發(fā)展的眼光來理解數(shù)學(xué)與生活,不斷提升個體跳出認知的局限的實力,發(fā)展解決問題的綜合能力。DDC37891-CE87-47D1-9684-E3D4034F4D14

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