小小A4紙，也有大學(xué)問(wèn)
——特級(jí)教師唐彩斌《A4紙的數(shù)學(xué)問(wèn)題——點(diǎn)線面的平移旋轉(zhuǎn)拓展課》教學(xué)片斷賞析

文|徐明旭

小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的拓展課如火如荼地開展著，教師不僅努力在數(shù)學(xué)課中讓學(xué)生輕松學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，還嘗試滿足他們的個(gè)性化需求。最近，筆者有幸聆聽特級(jí)教師唐彩斌的《A4 紙的數(shù)學(xué)問(wèn)題——點(diǎn)線面的平移旋轉(zhuǎn)拓展課》，驚訝于他對(duì)單一情境素材的充分挖掘和設(shè)計(jì)精致課件改變課堂的魅力，令我久久難以忘懷。

片斷一：線動(dòng)成面，學(xué)會(huì)動(dòng)態(tài)地空間想象。

（課前播放點(diǎn)線面體的視頻，感悟點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體、平移旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的神奇變化）

師：今天我們來(lái)研究一張A4紙，你們知道A4 紙的大小嗎？

生：（用直尺測(cè)量）A4 紙的大小是21 厘米×29.7 厘米。

師：為了研究方便，我們約定A4 紙的寬20 厘米、長(zhǎng)30 厘米?，F(xiàn)在我們開始第一個(gè)挑戰(zhàn)。如果我把A4 紙的寬邊沿著長(zhǎng)邊向右平移30 厘米，空中留下什么圖形？

生：長(zhǎng)方形。

師：同樣以寬邊的一端旋轉(zhuǎn)一圈，會(huì)形成什么圖形？

生：圓形。

師：讓你們勇敢地猜一次，長(zhǎng)方形大還是圓形大？（學(xué)生舉手表示猜的結(jié)果）請(qǐng)你用精準(zhǔn)地計(jì)算驗(yàn)證一下到底哪個(gè)大。

生：第1 題面積是20×30=600平方厘米，第2 題面積是π×202=1256 平方厘米。（π 取3.14）

師：當(dāng)我們想的時(shí)候還想不出那么大的差別，現(xiàn)在我用一幅圖來(lái)驗(yàn)證一下。請(qǐng)看，能看出哪個(gè)大嗎？

生：旋轉(zhuǎn)出來(lái)的大。

【賞析：著名的荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中說(shuō)：“從高層次看，幾何是數(shù)學(xué)的一部分，它是以公理系統(tǒng)的方式組織起來(lái)的；但從最低的基本層次上看，幾何則是對(duì)空間的理解。為了生活得更好，我們就必須了解、探索并征服我們所生存的空間。”在這節(jié)數(shù)學(xué)拓展課中，唐老師利用簡(jiǎn)單的A4 紙表示數(shù)學(xué)中的幾何圖形，以運(yùn)動(dòng)的視角打通了計(jì)算領(lǐng)域與空間領(lǐng)域的教學(xué)目標(biāo)：一是鞏固圖形面積和體積的計(jì)算公式與方法，二是發(fā)展學(xué)生的空間觀念。課堂伊始，唐老師利用幾何畫板制作點(diǎn)線面體的微視頻，不僅給予學(xué)生一場(chǎng)視覺(jué)盛宴，讓他們直觀地欣賞了點(diǎn)線面體之間的對(duì)稱美與和諧美，還瞬間點(diǎn)燃了他們的好奇心和求知欲，快速進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂。接著，唐老師用聊天的方式與學(xué)生一起認(rèn)識(shí)了這張普通的A4 紙，并由一維的點(diǎn)線拓展到二維的平面，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察猜想、計(jì)算驗(yàn)證、直觀觀察等活動(dòng)過(guò)程，引導(dǎo)他們通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)出來(lái)的面積比平移的面積要大。這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程不僅幫助學(xué)生積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，還發(fā)展了他們的空間觀念?！?/p>

片斷二：面動(dòng)成體，學(xué)會(huì)全面地思考問(wèn)題。

師：如果還是這張A4 紙，沿著與平面垂直的方向平移80 厘米，空中留下的是什么？

生：長(zhǎng)方體。

師：還是這張A4 紙，沿著其中一條邊旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)出來(lái)的是什么？

生：圓柱。

師：相信你們的直覺(jué)，再猜一次哪個(gè)轉(zhuǎn)出來(lái)的體積大，哪個(gè)轉(zhuǎn)出來(lái)的體積??？（學(xué)生舉手表示猜的結(jié)果）趕緊動(dòng)筆算一算，為了計(jì)算方便可以保留π。

生：3 號(hào)圖形是長(zhǎng)方體，體積是30×20×80=48000 立方厘米，4號(hào)圖形是圓柱，體積是π×20×20×30=37680 立方厘米。

師：你們的計(jì)算能力真強(qiáng)。這位同學(xué)的結(jié)論是3 號(hào)圖形體積大。但有不同意見(jiàn)，你估計(jì)他們會(huì)是怎么想的？

生：還有一種情況是以這張A4 紙的寬邊旋轉(zhuǎn)，以這張A4 紙的長(zhǎng)為底面半徑，旋轉(zhuǎn)出來(lái)圖形的體積是π×30×30×20=56520 立方厘米。

師：我們眼見(jiàn)為實(shí)，一個(gè)沿著A4 紙的寬邊旋轉(zhuǎn)，一個(gè)沿著A4紙的長(zhǎng)邊旋轉(zhuǎn)，你們用眼睛能看得出它們的大小嗎？

生：看不出。

師：但是我們計(jì)算后很肯定沿著A4 紙寬邊旋轉(zhuǎn)的體積更大，現(xiàn)在我們與平移出來(lái)的長(zhǎng)方體比一比體積，你有什么結(jié)論？

生：平移出來(lái)的長(zhǎng)方體的體積比小的要大，比大的要小。

師：憑空是猜不出來(lái)的，所以精準(zhǔn)計(jì)算才能得出正確結(jié)論。

【賞析：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：一維、二維和三維之間的相互轉(zhuǎn)換，恰是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有益舉措。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知心理和數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)難度是循序漸進(jìn)的，在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中也有充分體現(xiàn)。唐老師繼續(xù)帶領(lǐng)學(xué)生研究這張A4 紙的運(yùn)動(dòng)變化，通過(guò)平面平移出長(zhǎng)方體、旋轉(zhuǎn)出圓柱等立體圖形，學(xué)生又一次經(jīng)歷了動(dòng)態(tài)想象、體積計(jì)算、直觀觀察的過(guò)程，同時(shí)他們?cè)诶斫狻把刂L(zhǎng)方形的一條邊旋轉(zhuǎn)一周”時(shí)引發(fā)了矛盾沖突，全班學(xué)生在思考中意識(shí)到要考慮沿著長(zhǎng)邊旋轉(zhuǎn)和沿著寬邊旋轉(zhuǎn)這兩種情況，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成仔細(xì)審題的習(xí)慣，學(xué)會(huì)全面地思考問(wèn)題。前面一個(gè)環(huán)節(jié)中學(xué)生能夠用眼睛對(duì)比出兩個(gè)圖形的大小，但是在最后的眼見(jiàn)為實(shí)環(huán)節(jié)中卻無(wú)法用眼睛比較出圖形的大小，教師引導(dǎo)學(xué)生需要精確計(jì)算得出結(jié)論，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和嚴(yán)密性?！?/p>

片斷三：局部旋轉(zhuǎn)，學(xué)會(huì)理性地?cái)?shù)據(jù)驗(yàn)證。

1.長(zhǎng)方形里面三角形的旋轉(zhuǎn)。

師：還是這張A4 紙，沿著它的對(duì)角線分成了圖形A 和圖形B，請(qǐng)問(wèn)哪個(gè)圖形的面積比較大？

生：一樣大。

師：一眼就看出來(lái)了，A 和B面積相等?，F(xiàn)在沿著這張A4 紙的寬邊旋轉(zhuǎn)一圈，圖形A 旋轉(zhuǎn)出來(lái)的圖形和圖形B 旋轉(zhuǎn)出來(lái)的圖形哪個(gè)大，還是一樣？請(qǐng)你把理由寫下來(lái)。

生1：圖形A 和圖形B 旋轉(zhuǎn)都是立體圖形，看起來(lái)圖形B 大。

生2：如果圖形A 和圖形B 一起沿這張A4 紙的寬邊旋轉(zhuǎn)是圓柱，圖形A 旋轉(zhuǎn)出來(lái)的圖形是和圓柱等高的圓錐，而圓錐體積是整個(gè)圓柱的三分之一，剩下是圖形B的體積了，圖形B 的體積是圓柱的三分之二，所以圖形B 大。

師：那圖形B 的體積是圖形A 的體積的幾倍？

生：圖形B 的體積是圖形A的體積的2 倍。

師：現(xiàn)在我們眼見(jiàn)為實(shí)……

2.三角形的旋轉(zhuǎn)。

師：現(xiàn)在我們只研究圖形A，沿著其中20 厘米、30 厘米和36厘米的一條邊旋轉(zhuǎn)，你覺(jué)得沿著哪條邊旋轉(zhuǎn)的圖形體積最大？我們先直觀地猜一次，（學(xué)生都認(rèn)為沿著最長(zhǎng)邊36 厘米旋轉(zhuǎn)的圖形體積最大）這次大家的意見(jiàn)很一致。大家趕緊精準(zhǔn)地計(jì)算一下這個(gè)圖形的體積，最后結(jié)果可以保留π。

師：四人小組討論一下，很多同學(xué)認(rèn)為沿最長(zhǎng)邊36 厘米旋轉(zhuǎn)出來(lái)的圖形體積最大，但是大家計(jì)算的時(shí)候遇到了很大困難，商量一下到底怎么算這些圖形的體積。

師：沿著邊長(zhǎng)20 厘米和30厘米旋轉(zhuǎn)出來(lái)的這兩個(gè)圖形體積都沒(méi)問(wèn)題，但是沿著邊長(zhǎng)36 厘米旋轉(zhuǎn)出來(lái)的是什么圖形？

生：兩個(gè)圓錐。

師：我們展示一下，看看是否與你們想的一樣。這個(gè)高怎么算？它的體積是多少？

師：6000π、4000π、3468π，同樣一個(gè)三角形沿著不同邊旋轉(zhuǎn)，得到的三個(gè)圖形的體積是不一樣的。沒(méi)想到沿著最長(zhǎng)邊旋轉(zhuǎn)得到的圖形體積反而是最小的。今天，如果讓你分享經(jīng)驗(yàn)，什么決定旋轉(zhuǎn)出來(lái)的體積是最大的？

生：因?yàn)樗牡酌姘霃绞莚 的平方倍，高只乘1 次，所以底面半徑是決定因素。

師：如果把這張A4 紙進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，比如再剪掉一塊，那變化出來(lái)的圖形就更多了。在生活中，薄薄一張A4 紙?zhí)N含的數(shù)學(xué)問(wèn)題真多，只要注意觀察，生活中很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題都等待著你去解決。

【賞析：唐老師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)具有層次性，從研究A4 紙的整體到局部，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；數(shù)學(xué)知識(shí)的難度也逐漸增強(qiáng)，從最初的眼見(jiàn)為實(shí)到這個(gè)環(huán)節(jié)的眼見(jiàn)未必為實(shí)，利用不同的圖形和創(chuàng)設(shè)豐富的活動(dòng)幫助學(xué)生從圖形變換的角度去計(jì)算立體圖形的體積，在解決問(wèn)題中啟發(fā)學(xué)生智慧，發(fā)展空間想象能力和直覺(jué)觀察素養(yǎng)。

當(dāng)然，“三角形的旋轉(zhuǎn)”屬于拓展延伸內(nèi)容，蘊(yùn)含的思維含量超出了部分學(xué)生的接受水平；而且由于受A4 紙材料和學(xué)生的計(jì)算水平所限，這里的數(shù)據(jù)30 厘米、20 厘米、36 厘米都采用了近似數(shù)。但是，這個(gè)環(huán)節(jié)在唐老師層層抖包袱的過(guò)程中，學(xué)生從自信地認(rèn)為沿最長(zhǎng)邊旋轉(zhuǎn)出來(lái)的體積最大到計(jì)算沿最長(zhǎng)邊旋轉(zhuǎn)圖形體積遇到困難，再到驚訝于發(fā)現(xiàn)沿最長(zhǎng)邊旋轉(zhuǎn)的體積最小的過(guò)程中反思旋轉(zhuǎn)圖形的體積與什么有關(guān)，進(jìn)而從數(shù)學(xué)本質(zhì)上掌握了與旋轉(zhuǎn)半徑和旋轉(zhuǎn)圖形的面積有關(guān)?！?/p>

回顧整節(jié)課的教學(xué)，唐老師在這節(jié)數(shù)學(xué)拓展課中充分用足了單一情境素材A4 紙，同時(shí)利用幾何畫板這個(gè)現(xiàn)代信息技術(shù)，不僅為教學(xué)活動(dòng)提供了豐富的學(xué)習(xí)資源，還形成了生動(dòng)的教學(xué)形式。在解決有關(guān)A4 紙的數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中，唐老師由線到面、由面到體帶領(lǐng)學(xué)生產(chǎn)生一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題，有利于提升學(xué)生的探究熱情、開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野、激發(fā)學(xué)生的空間觀念。這節(jié)數(shù)學(xué)拓展課，唐老師的教學(xué)設(shè)計(jì)不僅承載著數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用和拓展，還承載著學(xué)科育人的價(jià)值：讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，最終促進(jìn)學(xué)生在抽象思考中形成幾何直觀，發(fā)展空間觀念和推理意識(shí)，真正讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)拓展課上落地生根，成為每個(gè)學(xué)生既喜愛(ài)又有收獲的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。