“三問”——讓數(shù)學(xué)思維向縱深發(fā)展

許敬

[摘 要]發(fā)展學(xué)生的逆向思維一直是教師追求的核心目標(biāo)。在實現(xiàn)這一目標(biāo)的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將“倒過來推想”理解為：從情境現(xiàn)有的狀態(tài)和經(jīng)歷的過程出發(fā)，去倒推之前的狀態(tài)，即逆向思考，也就是要知道一個物體原來有多少的問題，必須要知道這個物體現(xiàn)在的狀態(tài)和經(jīng)歷的變化過程。

[關(guān)鍵詞]問題;倒推;逆向思考

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）08-0042-03

我們常常會被公開課中展現(xiàn)的“流暢”所迷惑。如，在我校的公開課“解決問題的策略——倒推”中，課堂上出現(xiàn)了一個共性的現(xiàn)象：教師自始至終都按照事先設(shè)計好的思路“牽著學(xué)生的鼻子走”，即便到了要放手讓學(xué)生自主去探究的環(huán)節(jié)，依然不忘要引導(dǎo)學(xué)生幾句;在問題拋出后，只要有小部分學(xué)生能夠答出預(yù)設(shè)的知識點，教師就理所當(dāng)然地認為全部學(xué)生都懂了，馬上進入下一個環(huán)節(jié)。在這樣流暢自然的課堂中，那些沒有發(fā)言的學(xué)生真的聽懂了嗎？他們在思考的過程中遇到了哪些障礙？與此同時，那些發(fā)言的學(xué)生答出預(yù)設(shè)的知識點之后，是否都真正理解了？這些潛在的、有價值的問題往往隨著下課鈴聲的響起，就再也沒人過問了。

那么，究竟該如何做，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在課堂教學(xué)中向縱深處發(fā)展呢？筆者將上述“流暢”的教學(xué)設(shè)計過程進行了舍棄，重新從本課的教學(xué)主體出發(fā)，采用“三問”的教學(xué)方式：1.啟問，創(chuàng)設(shè)合適的情境，引導(dǎo)學(xué)生自覺思考“為什么要用倒推的策略”;2.追問，通過在新知的探究過程中，對學(xué)生進行抽絲剝繭式的追問，讓學(xué)生在解決問題的過程中真正感受“怎樣的情境才需要用倒推的策略來解決”，認識到此類問題的本質(zhì)特征;3.自問，在新知建構(gòu)的各個環(huán)節(jié)中合理設(shè)計反思、比較環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在自問中思考，使數(shù)學(xué)思維真正向縱深處發(fā)展。

基于以上“三問”，筆者重新確定本課的教學(xué)目標(biāo)：第一，使學(xué)生認識倒推問題的特點，學(xué)會用倒推的思維分析問題，并確定解決問題的思路，最終根據(jù)問題的特點采用具體的倒推方法來解決問題;第二，使學(xué)生經(jīng)歷用倒推策略解決問題，豐富倒推策略的體驗過程，感受倒推的知識與方法之間的聯(lián)系，從而體會倒推這種逆向思維的好處，積累數(shù)學(xué)活動的基本經(jīng)驗，發(fā)展思維的靈活、敏捷等品質(zhì);第三，使學(xué)生在經(jīng)歷用倒推策略解題的過程中，感受倒推策略的應(yīng)用價值，培養(yǎng)克服困難、學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。同時，筆者還將本課的教學(xué)重點改為理解和認識倒推策略，將教學(xué)難點改為根據(jù)題目條件找到能夠應(yīng)用倒推策略的方法，并確定具體的解題步驟。

在觀摩了多位教師的倒推策略主題教學(xué)之后，筆者從學(xué)生的實際出發(fā)，對之前的教學(xué)過程進行了調(diào)整和重新設(shè)計，現(xiàn)將再次執(zhí)教這節(jié)課的過程整理如下。

一、情境導(dǎo)入，讓啟問引發(fā)學(xué)生思考

出示問題：今天天氣特別熱，李明在放學(xué)的路上買了一個冰激凌，此時他的口袋里還剩15元，想知道他的口袋里原來有多少錢，缺什么條件呢？

師：要想知道李明的口袋里原來有多少錢，不僅要知道現(xiàn)在的情況，還要知道原來口袋里的錢經(jīng)歷了哪些變化。（板書：買冰激凌花掉了5元）現(xiàn)在，你知道李明的口袋里原來有多少錢了嗎？

生1：原來有5+15=20（元）。

師（追問）：明明“花掉了5元”，為什么還用加法計算？

生2：因為花掉的5元是這筆錢原有的一部分。

生3：因為求原來的錢數(shù)，就要把花掉的錢還回去，所以要用加法。

師：請大家在頭腦中想象一下問題情境的變化過程——原來有一些錢，花掉了一部分，剩下一部分，要求原來有多少錢，實際就是要將花掉的錢——

生（齊）：再放回口袋里。

【設(shè)計構(gòu)想】策略的形成，一定是學(xué)生在充分體驗解題過程的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)這類問題的特點，從而激活已有的經(jīng)驗來獲得相應(yīng)的解決辦法。本節(jié)課一開始，筆者以學(xué)生熟悉的“求口袋里原來有多少錢”為素材，出示一個缺少信息的問題，引發(fā)學(xué)生對錢數(shù)變化的關(guān)注。該設(shè)計屬于“三問”中的啟問環(huán)節(jié)，讓學(xué)生自覺進入思考的場域，同時題目的設(shè)計考慮到了用倒推策略來解決的問題所具有的典型特征：結(jié)果是怎樣的，經(jīng)過了怎樣的變化過程，最終求的是最初的狀態(tài)。使學(xué)生在明確特點的基礎(chǔ)上，自動抽象出數(shù)學(xué)模型。接著，筆者通過追問，引導(dǎo)學(xué)生理解“求口袋里原來有多少錢”就是要將花掉的錢還回去，讓學(xué)生在簡單、熟悉的生活場景中初步體驗倒推的策略，為廣泛、靈活地應(yīng)用倒推策略解決問題奠定基礎(chǔ)。

二、自主探究，讓追問深化探究過程

出示問題1：今天，王芳和蕭桐來到李明家做客，李明家有一多一少兩杯果汁，共400毫升。如果用這一多一少的兩杯果汁招待兩位客人，合適嗎？聰明的李明從甲杯里倒40毫升果汁到乙杯里，這時兩杯果汁就同樣多了。（出示圖1）

師：仔細看圖1，你能提出哪些問題？

生1：現(xiàn)在甲、乙兩杯果汁各有多少毫升？

生2：原來甲、乙兩杯果汁各有多少毫升？

師：請大家以這兩個問題為線索，先獨立思考，有想法后再嘗試在小組內(nèi)討論，必要時也可以通過畫圖、列表等策略來幫助自己厘清思路。（給學(xué)生提供盡可能多的表達方式，從而發(fā)散學(xué)生的思維）

師：哪個小組來匯報你們討論的結(jié)果？

生3：因為400÷2=200（毫升），所以現(xiàn)在甲、乙兩杯果汁各有200毫升。

師（追問）：為什么要用除法計算呢？

生3：因為這時候兩杯果汁是同樣多的。

師：那么“原來甲、乙兩杯果汁各有多少毫升”又該如何求呢？

生4：可以用列表的方式。（如圖2）

生5：也可以用畫圖的方式。（如圖3）

（教師結(jié)合學(xué)生的發(fā)言，用動畫演示將倒入乙杯的40毫升果汁倒還給甲杯的過程）

師：根據(jù)這樣的倒推過程，你能列式計算嗎？

生6：能。現(xiàn)在甲、乙兩杯果汁各有400÷2=200（毫升），那么甲杯原來有200+40=240（毫升），乙杯原來有200-40=160（毫升）。

師：求原來有多少果汁，都是從哪里入手的？從現(xiàn)在的果汁怎么能得到原來的果汁？（板書：現(xiàn)在[]原來）

師：今天這節(jié)課，我們就重點來探討像上面這樣從結(jié)果出發(fā)，根據(jù)題中的變化步驟一步一步倒過來思考的策略——倒過來推想，也就是我們數(shù)學(xué)中常說的倒推、還原。（板書：倒推、還原）

【設(shè)計構(gòu)想】教學(xué)任何解決問題的策略，都不能僅靠教師去講授，而應(yīng)是讓學(xué)生在經(jīng)歷抽絲剝繭的過程中找到解題方法，由內(nèi)而外獲得真實感受和體驗，這樣的思維過程更清晰，學(xué)生對解題步驟的感知也更明確。與此同時，不同題目情境的復(fù)雜性不一樣，學(xué)生在面對復(fù)雜問題時，會出現(xiàn)對題干信息處理不全面，解題思路不明朗的情況，而追問環(huán)節(jié)的設(shè)計則起到了引導(dǎo)的作用，讓學(xué)生的探究和建構(gòu)過程清晰可見。

出示問題2：趙蕾原來有一些郵票，又收集了35枚，發(fā)現(xiàn)部分與之前搜集的有重復(fù)，就送給了鐘晴20枚，最后還剩下64枚。求趙蕾原來有多少枚郵票？

師：這個問題與剛才的情境相比，有什么不同？

生7：信息變多了，而且數(shù)量之間的關(guān)系沒有剛才圖示的那樣直觀。

師：你打算怎樣處理題目中的條件，使問題看起來更加直觀、簡潔？

（教師根據(jù)學(xué)生的回答寫出流程：趙蕾原有？枚→得到35枚→送出20枚→現(xiàn)有64枚）

師：要求趙蕾原來有多少枚郵票，可以從哪里開始思考？

生8：把變化的過程還原回去。

三、比較反思，讓自問觸及知識本質(zhì)

師：剛才我們研究了關(guān)于求錢數(shù)、倒果汁和集郵這樣三個用倒推策略解決的實際問題，誰能說說這三個問題有什么異同點？

生9：求錢數(shù)和倒果汁的問題信息量相對較少，條件之間的數(shù)量關(guān)系也比較簡單，解決起來相對容易。

生10：集郵問題的信息量比較大，條件之間的關(guān)系較復(fù)雜，理解時存在一定的難度。

師：這三個問題的解決思路有什么一樣的地方？

生11：都是從現(xiàn)在出發(fā)，運用倒推的策略解決。

生12：結(jié)果都可以用正推的方法來加以驗證。

師：需要運用倒推的策略來解決的實際問題，有什么典型的特征？

生13：不論是哪個情境，其典型特征都是在知道事物經(jīng)歷了怎樣的變化過程和現(xiàn)有結(jié)果的基礎(chǔ)上，求原來的狀態(tài)。

【設(shè)計構(gòu)想】本節(jié)課在教學(xué)的多個環(huán)節(jié)中設(shè)計了及時的自問，讓學(xué)生去回顧、比較、反思不同情境下，用倒推策略解決問題所具有的共同點，使學(xué)生能夠站在一定的高度真正地去觸摸倒推策略的實質(zhì)，慢慢養(yǎng)成縝密的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)思考的能力。

四、聯(lián)系生活，讓倒推策略發(fā)揮作用

出示問題1：王芳每天起床穿衣服要用10分鐘，吃早飯要用15分鐘，步行去學(xué)校要用20分鐘，她需要在8：00前抵達學(xué)校，那么王芳每天早上最遲什么時候起床？

師：要解決這個問題，你準(zhǔn)備從哪里開始思考，打算運用什么策略？

出示問題2：花果山上有棵蟠桃樹，孫悟空天天來這棵樹上摘桃吃，第一天吃了樹上的一半多1個桃，第二天又吃了樹上剩下的一半多1個桃，最后樹上還剩下17個桃，這棵蟠桃樹上原來有多少個桃？

師：請你嘗試用不同的方法來解，并比較用倒推策略解題的方法，看哪一種更有優(yōu)勢。

出示問題3：星期天，李強和王芳相約一起去郊游，出發(fā)時他們乘坐的1路公交車上有48人，到圖書館站下車11人，到少年宮站上車15人，這時1路公交車上有多少人？

出示問題4：星期天，李強和王芳相約一起去郊游，出發(fā)時他們乘坐的1路公交車上原來有一些人，到圖書館站下車11人，到少年宮站上車15人，現(xiàn)在車上還剩52人，他們出發(fā)時1路公交車上有多少人？

師：問題3和問題4兩個情境的特征有什么不同？什么樣的情況下需要用倒推的策略來解決？

五、回歸反思，提升對倒推策略的認識

通過對本課的設(shè)計，筆者逐漸意識到，策略單元的教學(xué)如果不能讓學(xué)生真正地認識情境的特征，明確解題的思路，那么是無法讓他們真正做到觸摸知識本質(zhì)的。那么，如何在教學(xué)中讓學(xué)生認識情境特征，明確解題思路呢？筆者將方法總結(jié)為以下三點。

一是通過創(chuàng)設(shè)合適的情境，設(shè)計具有挑戰(zhàn)性的啟問，讓思考成為可能。從本課的教學(xué)設(shè)計思路和具體安排可以看到，開頭通過求錢數(shù)這一生活化的情境創(chuàng)設(shè)，引發(fā)學(xué)生自覺進入思考：要想解決原來有多少錢，必須怎么樣？在研討時，將“倒過來推想”分解為思維方式的逆向思考和具體運算的逆向運算兩層含義。筆者基于這樣的思考進行教學(xué)設(shè)計，真正做到了良好的開端是成功的一半。二是通過在學(xué)生合作探究的過程中，恰到好處地設(shè)計追問，讓學(xué)生的思維向深處發(fā)展。本課將倒推策略的相關(guān)內(nèi)容“鑲嵌”在倒果汁和集郵這兩個情境中，通過一系列追問的實施，讓學(xué)生的思維不是僅僅停留在表面，而是沉下去找到需要用倒推策略解決的問題的本質(zhì)特征，從中感知策略、認識策略，最終深化策略。三是通過安排適時的自問，讓聯(lián)結(jié)知識的本質(zhì)浮現(xiàn)出來，為綜合應(yīng)用各種策略解決問題打下堅實基礎(chǔ)。學(xué)生在經(jīng)歷自主探究之后，能夠適時自問，問學(xué)到的知識，問掌握的方法，問如何進行思考，還會問今天這節(jié)課獲得了怎樣的經(jīng)驗和體會。如此，學(xué)生便能在策略意識形成的過程中繼續(xù)成長。

總之，教學(xué)設(shè)計的出發(fā)點是以學(xué)生為主體，通過創(chuàng)設(shè)合適的情境，為學(xué)生提供自覺思考的空間和時間。通過教師的追問和引導(dǎo)，學(xué)生在自主建構(gòu)知識的過程中，思維不再浮于表面，而是向下去探尋問題更為普遍的共性特征。最后，讓學(xué)生通過及時的自問來形成核心思維，從而真正做到舉一反三、觸類旁通。

（責(zé)編 李琪琦）