一類二階有理差分方程的漸近性行為

李麗麗

(山西應(yīng)用科技學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，山西 太原 030000)

差分方程常用于模擬生物學(xué)、電子學(xué)、生理學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中出現(xiàn)的微分方程或時(shí)滯微分方程的離散模擬或數(shù)值求解,因此對(duì)差分方程的研究備受關(guān)注.尤其是對(duì)非線性差分方程解的行為的研究以及對(duì)平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性的探討更是激起了人們濃厚的興趣.

Din[1]研究了一類二階有理差分系統(tǒng)正解的定性性質(zhì)

基于上面的研究,本文討論另外一類二階有理差分方程解的定性性質(zhì)

(1)

其中,參數(shù)αi,βi,ai,bi,ci(i=1,2)和初值x0,x-1,y0,y-1都是正實(shí)數(shù).本文首先研究了系統(tǒng)(1)的有界性和持久性,正平衡點(diǎn)的存在唯一性,正平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性以及全局性,然后探討了系統(tǒng)(1)的解收斂到其唯一正平衡點(diǎn)的速度.

1 有界性和持久性

對(duì)于系統(tǒng)(1),顯然有下述結(jié)論成立.

引理1設(shè)(xn,yn)為系統(tǒng)(1)具有正初值x-1,x0,y-1,y0的解,則當(dāng)n=1,2,…，時(shí),恒有xn>0,yn>0成立.

關(guān)于差分系統(tǒng)

un+1=A1+B1υn -1,υn +1=A2+B2un -1,n=0,1,2,…，

(2)

其中，A1,A2,B1和B2均為正實(shí)數(shù),有下面結(jié)論成立.

引理2設(shè)(un,υn)為系統(tǒng)(2)具有正初值u-1,u0,υ-1,υ0的解,則當(dāng)n=0,1,2,…，時(shí),恒有

證明用數(shù)學(xué)歸納法證明.顯然,當(dāng)n=0時(shí)結(jié)論成立.假設(shè)n=k-1時(shí)結(jié)論成立,則有

從而,當(dāng)n=k時(shí)

u4k-1=A1+B1υ4k-3

v4k-1=A2+B2u4k-3

同理可以證明余下的等式成立.

推論1當(dāng)B1B2<1時(shí),系統(tǒng)(2)具有正初值u-1,u0,υ-1,υ0的解序列{un}和{υn}滿足

推論2當(dāng)B1B2<1時(shí),系統(tǒng)(2)具有正初值u-1,u0,υ-1,υ0的解序列{un}和{υn}有界.

定理1表明了系統(tǒng)(1)正解的有界性和持久性[1-3].

定理1若β1β2

證明設(shè){(xn,yn)}為系統(tǒng)(1)的具有正初值x-1,x0,y-1和y0的任一正解,則有

xn+1≤A1+B1yn-1,yn+1≤A2+B2xn-1,n=0,1,2,…，

(3)

引進(jìn)系統(tǒng)

un+1=A1+B1υn-1,υn+1=A2+B2un-1.

{(un,vn)}是此系統(tǒng)具有正初值u-1,u0,υ-1,υ0的解,其中u-1=x-1,u0=x0,υ-1=y-1,υ0=y0,則對(duì)于任意的n∈N+,有xn≤un,yn≤υn.

事實(shí)上,n=1時(shí),有x1≤A1+B1y-1=A1+B1υ-1=u1,y1≤A2+B2x-1=A2+B2u-1=υ1.假設(shè)對(duì)于n≤k-1,都有xk-1≤uk-1,yk-1≤υk-1.則當(dāng)n=k時(shí),有

xk≤A1+B1yk-2≤A1+B1υk-2=uk,yk≤A2+B2xk-2≤A2+B2uk-2=υk.

由推論1和推論2知,當(dāng)B1B2<1時(shí),即β1β2N時(shí),有

從而有

(4)

由(1)和(4)得

(5)

(6)

其中，

由公式(4)-公式(6),得

故定理得證.

推論4由定理1的證明及推論3知[L1,U1]×[L2,U2] 是系統(tǒng)(1)的正向不變集.即當(dāng)初值x-1,x0∈[L1,U1],y-1,y0∈[L2,U2]時(shí),恒有xn∈[L1,U1],yn∈[L2,U2]成立，其中n=1,2,….

2 穩(wěn)定性

為了構(gòu)造系統(tǒng)(1)相應(yīng)的線性形式,考慮下面的變換

(xn,yn,xn-1,yn-1)|→(f,g,f1,g1),

(7)

定理2若β1β2

(8)

(9)

(10)

則在[L1,U1]×[L2,U2]中系統(tǒng)(1)存在唯一的正平衡點(diǎn).

證明考慮系統(tǒng)

(11)

設(shè)(x,y)∈[L1,U1]×[L2,U2],由(11)得

令

進(jìn)一步,若公式(9)滿足,有

因此,F(x)=0在區(qū)間[L1,U1]至少有一個(gè)正平衡點(diǎn).

若公式(10)滿足,有

故F(x)=0在區(qū)間[L1,U1]有唯一正平衡點(diǎn).

(12)

(13)

令φ(λ)=λ4,

若(12)成立,設(shè)|λ|=1,則有

對(duì)于系統(tǒng)(1)的全局性有下面的結(jié)論[4].

引理4假設(shè)f1∶[a,b]×[c,d]×[a,b]→[a,b],f2∶[a,b]×[c,d]×[c,d]→[c,d]是連續(xù)函數(shù)且滿足下面的條件.

(i)f1(x,y,z)關(guān)于y單調(diào)遞增,關(guān)于x和z單調(diào)遞減,f2(x,y,z)關(guān)于x單調(diào)遞增,關(guān)于y和z單調(diào)遞減.

(ii)存在常數(shù)m1,M1,m2,M2, 當(dāng)m1=f1(M1,m2,M1),M1=f1(m1,M2,m1),m2=f2(m1,M2,M2),M2=f2(M1,m2,m2)時(shí)，有m1=M1,m2=M2.

則差分系統(tǒng)

xn+1=f1(xn,yn-1,xn-1),yn+1=f2(xn-1,yn,yn-1)

證明令

且對(duì)每個(gè)i>0,構(gòu)造

這樣

即

即

這樣

又

故有

由于對(duì)所有的n≥0,均有

這樣,有

從而,對(duì)所有的n≥1有

進(jìn)一步,當(dāng)n≥1時(shí),有

所以,當(dāng)n≥2時(shí),有

從而有以下性質(zhì).

令

則有

a≤m1≤M1≤b,c≤m2≤M2≤d.

由f1和f2的連續(xù)性,有

m1=f1(M1,m2,M1),M1=f1(m1,M2,m1),m2=f2(m1,M2,M2),M2=f2(M1,m2,m2).

所以

m1=M1,m2=M2.

定理4當(dāng)β1β2

證明設(shè)

顯然,f1∶[a,b]×[c,d]×[a,b]→[a,b]是關(guān)于y單調(diào)遞增,關(guān)于x和z單調(diào)遞減的連續(xù)映射.f2∶[a,b]×[c,d]×[c,d]→[c,d]是關(guān)于x單調(diào)遞增,關(guān)于y和z單調(diào)遞減的連續(xù)映射.

令(m1,M1,m2,M2)為系統(tǒng)

m1=f1(M1,m2,M1),M1=f1(m1,M2,m1),m2=f2(m1,M2,M2),M2=f2(M1,m2,m2)

的一個(gè)解,則有

(14)

(15)

由(14)式得

m1[a1+(b1+c1)M1]=α1+β1m2,

(16)

M1[a1+(b1+c1)m1]=α1+β1M2.

(17)

由(16)式和(17)式,有

a1(M1-m1)=β1(M2-m2).

(18)

同理,由(15)式得

a2(M2-m2)=β2(M1-m1).

(19)

由(18)式和(19)式,有

(20)

又由于β1β2

引理5[5]在定理3和定理4的條件下,系統(tǒng)(1)的唯一正平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

3 收斂速度

本節(jié)討論系統(tǒng)(1)的解收斂于其唯一正平衡點(diǎn)的速度[6].

下面的結(jié)論說明了系統(tǒng)(21)解的收斂速度.

Xn+1=(A+B(n))Xn,

(21)

其中,Xn是m維向量,A∈Cm×m是常數(shù)矩陣,B(n)∶Z+→Cm×m是矩陣函數(shù)且滿足

(22)

命題1[1]假設(shè)公式(22)滿足,Xn是系統(tǒng)(21)的解,則對(duì)任意的n有Xn=0或者

(23)

存在且等于矩陣A的一特征值的模.

命題2[1]假設(shè)條件(22)滿足,Xn是系統(tǒng)(21)的解,則對(duì)任意的n有Xn=0或者

(24)

存在且等于矩陣A的一特征值的模.

設(shè){(xn,yn)}是系統(tǒng)(1)的任一解使得

其中

為了計(jì)算誤差,由系統(tǒng)(1)得

其中，

誤差項(xiàng)的限制系統(tǒng)為

定理5設(shè){(xn,yn)}是系統(tǒng)(1)使得

成立的正解，其中

4 周期性

定理6若β1β2<α1α2,則系統(tǒng)(1)存在素二周期解.

證明利用反證法.假設(shè)系統(tǒng)(1)存在素二周期解

…,(p1,q1),(p2,q2),(p1,q1),…

其中，p1≠p2,q1≠q2,且對(duì)i∈{1,2},pi,qi是正實(shí)數(shù),則由系統(tǒng)(1)得

(25)

(26)

由公式(25)和公式(26)得

(27)

(28)

(29)

(30)

由公式(27)和公式(28)得到

(p1-p2)[a1+c1(p1+p2)]=β1(q1-q2).

(31)

由公式(29)和公式(30)得到

(q1-q2)[a2+c2(q1+q2)]=β2(p1-p2).

(32)

由公式(31)和公式(32)得到

(33)

若β1β2