一道向量組線性相關(guān)性試題的多種解法及其思政元素

朱鳳娟

(北方民族大學 數(shù)學與信息科學學院,寧夏 銀川 750021)

習近平總書記強調(diào)：“做好高校思想政治工作,要因事而化、因時而進、因勢而新.要遵循思想政治工作規(guī)律,遵循教書育人規(guī)律,遵循學生成長規(guī)律,不斷提高工作能力和水平.要用好課堂教學這個主渠道,思想政治理論課要堅持在改進中加強,提升思想政治教育親和力和針對性,滿足學生成長發(fā)展需求和期待,其他各門課都要守好一段渠、種好責任田,使各類課程與思想政治理論課同向同行,形成協(xié)同效應(yīng)”[1].習近平總書記的重要論述是課程思政建設(shè)的科學指南,賦予課程思政建設(shè)理論認知、方法認知和精髓要義,指明了課程思政建設(shè)前進的方向．2020年5月,教育部出臺了《高等學校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，以下簡稱《綱要》.《綱要》明確指出：“落實立德樹人根本任務(wù),必須將價值塑造、知識傳授和能力培養(yǎng)三者融為一體、不可割裂.全面推進課程思政建設(shè),就是要寓價值觀引導(dǎo)于知識傳授和能力培養(yǎng)之中,幫助學生塑造正確的世界觀、人生觀、價值觀,這是人才培養(yǎng)的應(yīng)有之義,更是必備內(nèi)容”[2].《綱要》明確了課程思政建設(shè)的目標要求、重點內(nèi)容、建設(shè)路徑和教師作用等等.在立德樹人的工作中,價值比能力和知識更加重要；價值塑造是育人工作的第一要務(wù),要將價值塑造的成分有機地融入能力培養(yǎng)和知識傳授之中；要充分發(fā)掘各類課程所蘊含的思政要素,做到春風化雨、沁人心田,切實達到育人成效[3].專業(yè)課與“思政教育”同向同行,發(fā)揮好專業(yè)課程的育人功能,能更為“隱性”而有效地達成思想政治教育的成效,培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人[4].

1 線性代數(shù)課程思政的重要意義

線性代數(shù)是理工經(jīng)管類專業(yè)的一門數(shù)學基礎(chǔ)課程.該課程主要講授行列式、矩陣、線性方程組、二次型、線性變換與線性空間等線性代數(shù)的基本概念、基本理論和基本方法,通過課程的系統(tǒng)學習,旨在提高學生的邏輯思維和抽象思維能力,培養(yǎng)學生分析問題與解決問題的能力,并為后續(xù)課程打下必備的數(shù)學基礎(chǔ).因此,如何挖掘線性代數(shù)課程中的思想政治教育元素與德育元素并將它們潤物細無聲地融入到在課堂教學過程中是實施線性代數(shù)課程思政的核心與關(guān)鍵問題,從而實現(xiàn)知識傳授、能力培養(yǎng)和價值引領(lǐng)的有機統(tǒng)一.文獻[5-7]探討了線性代數(shù)課程思政的教學設(shè)計與教學實踐.

2 線性代數(shù)課程思政教學案例的設(shè)計

向量組線性相關(guān)性是研究線性方程組、線性空間和線性變換的基礎(chǔ),是線性代數(shù)的重點內(nèi)容也是難點內(nèi)容之一.下面,以向量組線性相關(guān)性的一道試題的多種證明方法為例,在引導(dǎo)學生更好地理解線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義、學會運用線性相關(guān)與線性無關(guān)的性質(zhì)和熟練掌握線性相關(guān)性的判定方法的同時,挖掘其蘊含的課程思政元素和德育元素,從而實現(xiàn)知識傳授、能力培養(yǎng)和價值引領(lǐng)的有機統(tǒng)一的目標.

例設(shè)m維向量組α1,α2,α3線性無關(guān),證明，向量組α1+α2,α2+2α3,α3+3α1也線性無關(guān).

為了證明方便,先給出本文所需要的幾個性質(zhì).

性質(zhì)1[8-9]m維向量組α1,α2,…,αn(n≥2)線性無關(guān)的充要條件是向量組中任意一個向量都不能由其余n-1個向量線性表出.

性質(zhì)2[8-10]m維向量組α1,α2,…,αn(n≥2)線性相關(guān)的充要條件是向量組中存在某一個向量可以由其余n-1個向量線性表出.

性質(zhì)3[8-10]向量組線性無關(guān)(相關(guān))的充要條件是向量組的秩等于(小于)向量組所含向量的個數(shù).

直接利用向量組線性無關(guān)的定義證明.該方法是大多數(shù)線性代數(shù)教材所使用的方法,也是最直接和最簡單的傳統(tǒng)方法.

方法1設(shè)存在數(shù)k1,k2,k3使得

k1(α1+α2)+k2(α2+2α3)+k3(α3+3α1)=0,

(1)

則有

(k1+3k3)α1+(k1+k2)α2+(2k2+k3)α3=0.

(2)

由于向量組α1,α2,α3線性無關(guān),故

(3)

k1=k2=k3=0.因此,向量組α1+α2,α2+2α3,α3+3α1線性無關(guān).

利用向量組線性無關(guān)的性質(zhì)證明,即利用性質(zhì)1進行證明.該證明方法屬于傳統(tǒng)方法之一.在準確把握數(shù)學概念和定義基礎(chǔ)上,進一步理解概念性質(zhì)(內(nèi)涵和外延),有利于培養(yǎng)學生求真的科學精神.

方法2證明向量組α1+α2,α2+2α3,α3+3α1中任意一個向量都不能由其他兩個向量線性表出,總共有三種情況.首先，證α1+α2不能由α2+2α3,α3+3α1線性表出.假設(shè)存在數(shù)k1,k2使得

α1+α2=k1(α2+2α3)+k2(α3+3α1),

(4)

成立.則有

(1-3k2)α1+(1-k1)α2-(2k1+k2)α3=0.

由于向量組α1,α2,α3線性無關(guān),故

(5)

顯然線性方程組(5)無解,這說明不存在數(shù)k1,k2使得(4)式成立,即α1+α2不能由α2+2α3,α3+3α1線性表出.

同理可以證明向量α2+2α3不能由α1+α2,α3+3α1線性表出,以及向量α3+3α1不能由α1+α2,α2+2α3線性表出.

綜上所述,向量組α1+α2,α2+2α3,α3+3α1線性無關(guān).

應(yīng)用向量組線性相關(guān)的定義采用反證法進行證明,該證明方法屬于傳統(tǒng)方法之一.線性相關(guān)和線性無關(guān)是兩個相互對立的數(shù)學概念,非此即彼.

方法3假設(shè)向量組α1+α2,α2+2α3,α3+3α1線性相關(guān),則一定存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,k3使得

k1(α1+α2)+k2(α2+2α3)+k3(α3+3α1)=0,

則有

(k1+3k2)α1+(k1+k2)α2+(2k2+k3)α3=0.

通過方法1至方法3的講解,可以挖掘的課程思政元素為：鼓勵學生追本溯源并使學生能把握問題的本質(zhì)，在準確把握數(shù)學概念基礎(chǔ)上,理解概念的內(nèi)涵和外延.由淺入深地剖析命題.這樣可以培養(yǎng)學生求真的科學精神,并啟迪學生求知欲望,激發(fā)學生創(chuàng)新潛能.

利用向量組線性相關(guān)的性質(zhì)進行反證,即利用性質(zhì)2進行證明,該證明方法不屬于傳統(tǒng)方法.在課堂講授過程中,此方法有利于培養(yǎng)學生的抽象思維能力和邏輯思維能力.

方法4反證法.假設(shè)向量組α1+α2,α2+2α3,α3+3α1線性相關(guān),則向量組α1+α2,α2+2α3,α3+3α1中一定存在某一個向量可以由其他兩個向量線性表出.不妨設(shè)α1+α2可以由α2+2α3,α3+3α1線性表出.即存在數(shù)k1,k2使得

α1+α2=k1(α2+2α3)+k2(α3+3α1),

則有

(1-3k2)α1+(1-k1)α2-(2k1+k2)α3=0.

(6)

需要注意的是,在教學過程中對向量組線性相關(guān)要始終強調(diào)其存在性,向量組線性無關(guān)要始終強調(diào)其任意性.

將向量組的線性相關(guān)性與向量組的秩聯(lián)系到一起,利用性質(zhì)3進行證明.對于學生來講,該證明方法已經(jīng)將原問題進行了轉(zhuǎn)化和延伸,有利于培養(yǎng)學生綜合分析問題的能力.該方法已不屬于傳統(tǒng)方法.

方法5顯然向量組α1+α2,α2+2α3,α3+3α1可以由向量組α1,α2,α3線性表出.根據(jù)矩陣乘法,有

通過方法4到方法5講解,可以挖掘到下面思政元素和德育元素: 鼓勵學生要大膽探索,敢于追求真理,善于跳出固定思維,同時做到大膽假設(shè)、小心求證.告訴學生,解決問題的方法可能有多種,不要局限于書本上所講的方法,更不能拘泥于傳統(tǒng)方法.培養(yǎng)學生抽象思維能力和邏輯思維能力,特別是培養(yǎng)學生用抽象眼光看待世界的方法和為追求真理和理想而不斷探索、吃苦耐勞的拼搏精神.

將向量組的線性無關(guān)性與向量組的秩、矩陣的秩以及矩陣的初等變換結(jié)合起來.利用矩陣的秩等于其行(列)向量組的秩以及矩陣初等變換不改變矩陣的秩等性質(zhì)進行證明.對于學生來講,該方法已經(jīng)將原問題做了進一步轉(zhuǎn)化和拓展,不僅有利于培養(yǎng)學生綜合分析問題能力,有利于學生掌握以簡馭繁、化繁為簡等解決問題的方式,也有助于培養(yǎng)學生解決復(fù)雜問題的能力.該方法已不屬于傳統(tǒng)方法.

方法6把向量組α1,α2,α3看成矩陣A的列向量組,向量組α1+α2,α2+2α3,α3+3α1看成矩陣B的列向量組.對矩陣A做一系列的初等列變換

(7)

由(7)式知矩陣A經(jīng)過一系列初等列變換可得到矩陣B,利用矩陣初等變換不改變矩陣秩的性質(zhì),得矩陣A的秩等于矩陣B的秩.又因為矩陣的秩等于其列向量組的秩,因此向量組α1,α2,α3的秩等于向量組α1+α2,α2+2α3,α3+3α1的秩.由性質(zhì)3知向量組α1+α2,α2+2α3,α3+3α1線性無關(guān).

方法7把向量組α1,α2,α3看成矩陣A的行向量組,向量組α1+α2,α2+2α3,α3+3α1看成矩陣B的行向量組.對矩陣A做一系列的初等行變換

(8)

由(8)式知矩陣A經(jīng)過一系列初等行變換可得到矩陣B,利用矩陣初等變換不改變矩陣的秩的性質(zhì),得矩陣A的秩等于矩陣B的秩.又因為矩陣的秩等于其行向量組的秩,因此，向量組α1,α2,α3的秩等于向量組α1+α2,α2+2α3,α3+3α1的秩.由性質(zhì)3知向量組α1+α2,α2+2α3,α3+3α1線性無關(guān).

上述7種證明方法,證明過程從易到難,所運用知識點由少變多，綜合性也逐漸增強,有助于訓練學生的邏輯思維能力、綜合分析與解決數(shù)學問題的能力.從中可以提煉到思政元素為:現(xiàn)實世界是多姿多彩的,也是紛繁復(fù)雜的,在學習、生活和工作中會面臨各種各樣機遇、困難和挑戰(zhàn),掌握從易到難、以簡馭繁、化繁為簡、善于轉(zhuǎn)化等解決問題的方式,從而培養(yǎng)學生綜合分析問題能力和解決復(fù)雜問題能力.

3 結(jié)語

專業(yè)課教師是思政育人之魂的關(guān)鍵核心,發(fā)揮著課程思政的主導(dǎo)作用.教師要在課程思政的教學設(shè)計上下功夫,要在課堂教學和教學策略上下功夫,讓價值引導(dǎo)的成分融入課程設(shè)計和課堂教學,達到課程思政春風化雨和潤物無聲的育人效果.