聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想
——以“植樹(shù)問(wèn)題”為例

□廣州市黃埔區(qū)黃陂小學(xué) 莊琪

教育部提出的立德樹(shù)人的根本任務(wù)，是把核心素養(yǎng)和學(xué)業(yè)質(zhì)量要求落實(shí)到各學(xué)科教學(xué)中。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)離不開(kāi)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼睛觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，是許多教師的目標(biāo)。雖然不容易實(shí)施，但只要教師潛心教育，用心實(shí)施，一定能促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

2014 年3 月，《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》印發(fā)，提出“各級(jí)各類(lèi)學(xué)校要從實(shí)際情況和學(xué)生特點(diǎn)出發(fā)，把核心素養(yǎng)和學(xué)業(yè)質(zhì)量要求落實(shí)到各學(xué)科教學(xué)中”。史寧中教授在《推進(jìn)基于學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)改革》報(bào)告中指出，“學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，最終要落在學(xué)科核心素養(yǎng)的培育上”?！皵?shù)學(xué)核心素養(yǎng)”一詞也成為廣大數(shù)學(xué)教師耳熟能詳?shù)脑~，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》明確提出了10 個(gè)核心素養(yǎng)，但卻沒(méi)有加以闡釋。馬云鵬教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的有特定意義的綜合性能力，核心素養(yǎng)不是指具體的知識(shí)與技能，也不是一般意義上的數(shù)學(xué)能力。

核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能。核心素養(yǎng)反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性?！薄抖Y記》中提到“君子之教，喻也。道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開(kāi)而弗達(dá)。道而弗牽則和，強(qiáng)而弗抑則易，開(kāi)而弗達(dá)則思。和易以思，可謂善喻矣?！薄吧朴鳌钡莱隽私處煹摹敖獭钡淖罡呔辰纭虒W(xué)生悟思想，教師的“舉一”，學(xué)生學(xué)會(huì)“反三”。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)生知識(shí)——授之以魚(yú)，教學(xué)生解題方法——授之以漁，這些都可考查，可評(píng)價(jià)。授之以“喻”較前兩樣來(lái)說(shuō)難多了，要靠學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中只可意會(huì)、不可言傳地悟出來(lái)?！坝鳌睂?duì)于一線(xiàn)教師來(lái)說(shuō)就是要重視數(shù)學(xué)課堂培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。如何培養(yǎng)學(xué)生的思想是需要教師在課堂教學(xué)中解決的一個(gè)難題。史寧中教授指出：數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是，一個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后，即便這個(gè)人未來(lái)從事的工作和數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)，也應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“三會(huì)”），數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的確定要基于這個(gè)目標(biāo)。下面，筆者以人教版五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角“植樹(shù)問(wèn)題”為例，談?wù)剶?shù)學(xué)廣角中培養(yǎng)學(xué)生思想的一點(diǎn)見(jiàn)解。

一、設(shè)懸念，以疑促思

“學(xué)起于思，思源于疑”思維總是由于問(wèn)題引起的，問(wèn)題是思維的原動(dòng)力?，F(xiàn)在的學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)有多種途徑，學(xué)生不再是白紙一張，而是擁有不同的見(jiàn)解。如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的思考，也是教師需要考慮的問(wèn)題。課堂伊始，教師開(kāi)門(mén)見(jiàn)山地拋出問(wèn)題“對(duì)于植樹(shù)問(wèn)題，你已經(jīng)知道些什么？你有什么問(wèn)題？”“你知道其中的數(shù)學(xué)思想方法嗎？”個(gè)別學(xué)生在校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)學(xué)習(xí)了植樹(shù)問(wèn)題的知識(shí)，但校外機(jī)構(gòu)的學(xué)習(xí)更多的是讓學(xué)生記住公式，進(jìn)行大量的解題訓(xùn)練，讓學(xué)生掌握解題方法，對(duì)這部分知識(shí)能讓學(xué)生學(xué)到的數(shù)學(xué)思想方法并不重視。學(xué)生只知其然，卻不知其所以然，對(duì)所學(xué)內(nèi)容更多地處在“授之以魚(yú)”的狀態(tài)，只會(huì)依葫蘆畫(huà)瓢，解決和所學(xué)例題一樣的類(lèi)型題，稍做變化，便束手無(wú)策。教師可以通過(guò)提問(wèn)，激起學(xué)生的好奇心，如植樹(shù)問(wèn)題還有什么我們不知道的數(shù)學(xué)思想方法呢？讓學(xué)生帶著問(wèn)題開(kāi)始數(shù)學(xué)的探究之旅。

二、拋難題，化繁為簡(jiǎn)

課本例題（見(jiàn)圖1）“同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)100 米的小路一邊植樹(shù)，每隔5 米栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹(shù)？”再通過(guò)學(xué)生的對(duì)話(huà)“每隔5 米栽1 棵，共栽100 ÷ 5=20（棵）”“對(duì)嗎？怎樣檢驗(yàn)?zāi)兀俊钡贸霎?huà)線(xiàn)段圖檢驗(yàn)，“100 米太長(zhǎng)了，可以先用簡(jiǎn)單的數(shù)試試?！笨蠢}這樣的編排，不由得引發(fā)筆者的思考：例題為什么要用100 米的數(shù)據(jù)，不用20 米作為例題路長(zhǎng)的數(shù)據(jù)？從20 米開(kāi)始，接著再驗(yàn)證路長(zhǎng)25 米、30 米……的植樹(shù)棵數(shù)，這樣不是由淺入深、循序漸進(jìn)教學(xué)嗎？這里蘊(yùn)含編者什么意圖？

圖1 教材例題圖

帶著這些疑問(wèn)，筆者再次研讀《教師教學(xué)用書(shū)》，從書(shū)中可以找到編者的意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、猜測(cè)、試驗(yàn)、推理等活動(dòng)，初步體會(huì)解決植樹(shù)問(wèn)題的模型思想，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中探索解決問(wèn)題有效方法的能力。植樹(shù)問(wèn)題還承載著學(xué)生“化繁為簡(jiǎn)”“數(shù)形結(jié)合”“一一對(duì)應(yīng)”“數(shù)學(xué)建?！焙屯评淼葦?shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知過(guò)程，是一個(gè)把教材知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為自身數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。100 米的小路植樹(shù)比20 米更接近于生活實(shí)際，學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行畫(huà)圖驗(yàn)證時(shí)，會(huì)覺(jué)得100 米數(shù)據(jù)太大，不好畫(huà)圖，從而引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生迫切要改小數(shù)據(jù)的欲望，讓學(xué)生從解決生活實(shí)際問(wèn)題中融會(huì)貫通：碰到不能或不容易用已有的知識(shí)解決問(wèn)題時(shí)，嘗試著把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已學(xué)或比較容易解決的問(wèn)題，再進(jìn)行解決。如果用較小的數(shù)據(jù)20 米、30 米……枚舉驗(yàn)證，降低了難度，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生體會(huì)不到化繁為簡(jiǎn)應(yīng)用于解決問(wèn)題的妙處，難于達(dá)成化歸思想的滲透。

化歸思想是數(shù)學(xué)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的一種策略和藝術(shù)，也是人人應(yīng)該具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。如果說(shuō)數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，那么可以不夸張地說(shuō)化歸思想就是數(shù)學(xué)思想的核心，是數(shù)學(xué)思想的精髓?；瘹w思想，是將一個(gè)問(wèn)題由難化易，由繁化簡(jiǎn)，由陌生化熟悉，由抽象化具體的過(guò)程?；睘楹?jiǎn)是化歸思想一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中都會(huì)用到。但平時(shí)的課堂中學(xué)生更多地處于被動(dòng)接受的狀態(tài)，讓學(xué)生自發(fā)去做得相對(duì)少一些。在解讀教材的設(shè)計(jì)意圖后，筆者在設(shè)計(jì)例題時(shí)，特意把例題“同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)100 米的小路一邊植樹(shù)”的數(shù)字由100 米調(diào)整為200 米。因?yàn)?00 米的數(shù)據(jù)不大不小，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)畫(huà)20 格線(xiàn)段圖也不是一件麻煩的事情，但是改成200 米，要畫(huà)40 個(gè)格子學(xué)生就會(huì)覺(jué)得麻煩了，進(jìn)而逼著學(xué)生用更簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)來(lái)推出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律算出大的數(shù)據(jù)的結(jié)果。

教學(xué)片段：

“同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)200 米的小路一邊植樹(shù)，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹(shù)？”

教師：預(yù)測(cè)一下，可能種幾棵樹(shù)？

學(xué)生1：我認(rèn)為40 棵。

學(xué)生2：我認(rèn)為41 棵。

學(xué)生3：我認(rèn)為39 棵。

教師：種樹(shù)的棵數(shù)與什么有關(guān)？

學(xué)生4：路長(zhǎng)和間距有關(guān)。

教師：怎樣驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果？

學(xué)生（集體）：畫(huà)線(xiàn)段圖。

教師：怎么畫(huà)？畫(huà)200 米嗎？

學(xué)生5（搖頭）：太麻煩了，畫(huà)20 米。

教師：就只能畫(huà)20 米嗎？

學(xué)生：不是，可以畫(huà)15 米、30 米、40 米……

教師：為什么找15 米、20 米、30 米、40 米？

學(xué)生：這些數(shù)都是5 的倍數(shù)。

……

通過(guò)例題數(shù)據(jù)調(diào)整為較大的數(shù)據(jù)200 米，讓學(xué)生感到畫(huà)圖200 米存在困難，從而自覺(jué)地把大的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成較小的數(shù)據(jù)進(jìn)行解決，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)的目的，也讓學(xué)生從中收獲到在遇到比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)可以轉(zhuǎn)化成已有的知識(shí)或較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行解決，達(dá)到授之以“喻”的教學(xué)效果。

三、解問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合

如果說(shuō)化歸思想是數(shù)學(xué)思想的核心，是數(shù)學(xué)思想的精髓。數(shù)形結(jié)合就是化歸思想中實(shí)現(xiàn)從抽象化到具體的過(guò)程的重要橋梁。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解決問(wèn)題中必不可少的思想方法。“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬(wàn)事休?！蔽覈?guó)數(shù)學(xué)家華羅庚道出數(shù)形結(jié)合的重要性。

學(xué)生用畫(huà)線(xiàn)段圖驗(yàn)證結(jié)果，就是數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解題意，驗(yàn)證方法。學(xué)生每個(gè)人都舉2～3 個(gè)數(shù)據(jù)例子，進(jìn)行畫(huà)圖嘗試，驗(yàn)證結(jié)果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。學(xué)生發(fā)現(xiàn)20 米的路長(zhǎng)，4 個(gè)間隔，植樹(shù)5 棵（見(jiàn)圖2）；25米的路長(zhǎng)，5個(gè)間隔，植樹(shù)6棵；30米的路長(zhǎng)，6 個(gè)間隔，植樹(shù)7 棵……并根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律完成表格（見(jiàn)表1）。

圖2 學(xué)生探究過(guò)程圖

表1 學(xué)生探究過(guò)程表

通過(guò)數(shù)形結(jié)合，再讓學(xué)生在畫(huà)一畫(huà)、圈一圈，用一一對(duì)應(yīng)的方法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)出兩端都栽的方法：

路長(zhǎng)÷間距=間隔數(shù)；間隔數(shù)+1=棵數(shù)。

學(xué)生用總結(jié)出的規(guī)律求出：

200 ÷ 5=40；40+1=41（棵）。

對(duì)于抽象的植樹(shù)問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、圈一圈，用數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)的思想方法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，降低了學(xué)習(xí)的難度，在解決問(wèn)題中體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合的方法帶來(lái)的成功和解決問(wèn)題的樂(lè)趣。

四、促遷移，建立模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》在前言中指出：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型的過(guò)程有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。由此可見(jiàn)，模型思想在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中有著重要的意義，模型思想的滲透能夠幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)提升學(xué)生的思維抽象水平?！爸矘?shù)問(wèn)題”最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，讓學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出植樹(shù)問(wèn)題的模型是教學(xué)的難點(diǎn)。教材用形象的植樹(shù)線(xiàn)段圖過(guò)渡到抽象的線(xiàn)段圖教學(xué)，利用幾何直觀地幫助學(xué)生理解兩端都栽的植樹(shù)問(wèn)題的模型，讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)20 米、25 米……的線(xiàn)段圖，圈一圈棵數(shù)與間隔數(shù)，用數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)的思想方法發(fā)現(xiàn)棵數(shù)總比間隔數(shù)多1 的規(guī)律。學(xué)生抽象出兩端都栽的植樹(shù)問(wèn)題的模型：間隔數(shù)+1=棵數(shù)，并能遷移運(yùn)用到公共汽車(chē)站（地鐵站）的設(shè)立，架設(shè)電線(xiàn)桿、路燈的安裝，爬樓梯、敲鐘、鋸木頭等問(wèn)題上。用線(xiàn)段圖直觀地幫助學(xué)生理解植樹(shù)問(wèn)題的模型思想，還有一大好處：學(xué)生能看圖得出兩端都栽植樹(shù)問(wèn)題模型的逆運(yùn)用：（棵數(shù)-1）×間距=路長(zhǎng)。當(dāng)學(xué)生建立起兩端都栽的植樹(shù)問(wèn)題的模型后，兩端都不栽、一端栽另一端不栽、封閉曲線(xiàn)植樹(shù)問(wèn)題都能根據(jù)已有知識(shí)進(jìn)行遷移，從而建立植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

五、結(jié)語(yǔ)

總而言之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)課堂培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想并非一蹴而就的事，需要教師潛心教學(xué)，用心培養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)思想融進(jìn)課堂，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。